Трансформация Стилтье

В математике S преобразование Стилтьеса $ρ (z) меры$ плотности $ρ$ на вещественном интервале $I$ представляет собой функцию комплексной переменной $z,$ определенной вне $I$ по формуле

$S_{\rho }(z)=\int _{I}{\frac {\rho (t)\,dt}{z-t}},\qquad z\in \mathbb {C} \setminus I.$

При определенных условиях мы можем восстановить функцию плотности $ρ,$ начиная с ее преобразования Стилтьеса, благодаря обратной формуле Стилтьеса-Перрона. Например, если плотность $ρ$ непрерывна во всем $I$ , внутри этого интервала будет иметься

$\rho (x)=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}{\frac {S_{\rho }(x-i\varepsilon )-S_{\rho }(x+i\varepsilon )}{2i\pi }}.$

Связи с моментами мер

Если мера плотности $ρ$ имеет моменты любого порядка, определяемые для каждого целого числа равенством $m_{n}=\int _{I}t^{n}\,\rho (t)\,dt,$

тогда Стилтьеса преобразование $ρ$ допускает для каждого целого числа $n$ асимптотическое формулой разложение в окрестности бесконечности, определяемое $S_{\rho }(z)=\sum _{k=0}^{n}{\frac {m_{k}}{z^{k+1}}}+o\left({\frac {1}{z^{n+1}}}\right).$

полное разложение в ряд Лорана При определенных условиях можно получить : $S_{\rho }(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {m_{n}}{z^{n+1}}}.$

Отношения с ортогональными полиномами

Переписка ${\textstyle (f,g)\mapsto \int _{I}f(t)g(t)\rho (t)\,dt}$ определяет скалярное произведение в пространстве непрерывных функций на интервале $I$ .

Если ${P n}$ — последовательность ортогональных полиномов для этого произведения, мы можем создать последовательность связанных вторичных полиномов по формуле $Q_{n}(x)=\int _{I}{\frac {P_{n}(t)-P_{n}(x)}{t-x}}\rho (t)\,dt.$

Похоже, что ${\textstyle F_{n}(z)={\frac {Q_{n}(z)}{P_{n}(z)}}}$ является Паде аппроксимацией $S ρ (z)$ в окрестности бесконечности в том смысле, что $S_{\rho }(z)-{\frac {Q_{n}(z)}{P_{n}(z)}}=O\left({\frac {1}{z^{2n}}}\right).$

Поскольку эти две последовательности многочленов удовлетворяют одному и тому же рекуррентному соотношению в трех терминах, мы можем разработать непрерывную дробь для преобразования Стилтьеса, последовательными подходящими дробями которой являются дроби $F n (z)$ .

Преобразование Стилтьеса также можно использовать для построения из плотности $ρ$ эффективной меры преобразования вторичных полиномов в ортогональную систему. (Подробнее см. статью «Вторичная мера ».)

См. также

Ссылки

Стена Х.С. (1948). Аналитическая теория цепных дробей . Компания Д. Ван Ностранд, Inc.