Аппроксимант Паде

Анри Паде

В математике — аппроксимация Паде это «лучшее» приближение функции вблизи определенной точки рациональной функцией заданного порядка. аппроксиманта Согласно этому методу степенной ряд согласуется со степенным рядом функции, которую он аппроксимирует. Методика была разработана около 1890 года Анри Паде , но восходит к Георгу Фробениусу , который ввёл идею и исследовал особенности рациональных аппроксимаций степенных рядов.

Аппроксимация Паде часто дает лучшее приближение функции, чем усечение ее ряда Тейлора , и оно все еще может работать там, где ряд Тейлора не сходится . По этим причинам аппроксимации Паде широко используются в компьютерных расчетах . Они также использовались в качестве вспомогательных функций в диофантовой аппроксимации и теории трансцендентных чисел , хотя для получения точных результатов специальные методы - в некотором смысле вдохновленные теорией Паде - обычно заменяют их. Поскольку аппроксимация Паде является рациональной функцией, в качестве аппроксимации может возникнуть искусственная особая точка, но этого можно избежать с помощью анализа Бореля – Паде .

Причина, по которой аппроксимация Паде имеет тенденцию быть лучшим приближением, чем укороченный ряд Тейлора, ясна с точки зрения метода многоточечного суммирования. Поскольку во многих случаях асимптотическое разложение на бесконечности становится равным 0 или константой, его можно интерпретировать как «неполное двухточечное приближение Паде», в котором обычное приближение Паде улучшает метод усечения ряда Тейлора.

Определение

Учитывая функцию f и два целых числа m ≥ 0 и n ≥ 1 , аппроксимация Паде порядка [ m / n ] является рациональной функцией

$$R(x)={\frac {\sum _{j=0}^{m}a_{j}x^{j}}{1+\sum _{k=1}^{n}b_{k}x^{k}}}={\frac {a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\dots +a_{m}x^{m}}{1+b_{1}x+b_{2}x^{2}+\dots +b_{n}x^{n}}},$$ что согласуется с f ( x ) в максимально возможном порядке, что составляет $${\begin{aligned}f(0)&=R(0),\\f'(0)&=R'(0),\\f''(0)&=R''(0),\\&\mathrel {\;\vdots } \\f^{(m+n)}(0)&=R^{(m+n)}(0).\end{aligned}}$$

Эквивалентно, если $R(x)$ разлагается в ряд Маклорена ( ряд Тейлора в нуле), его первый $m+n$ термины будут равны первому $m+n$ условия $f(x)$, и таким образом $$f(x)-R(x)=c_{m+n+1}x^{m+n+1}+c_{m+n+2}x^{m+n+2}+\cdots$$

Если аппроксимация Паде существует, она уникальна как формальный степенной ряд для данных m и n .

Определенная выше аппроксимация Паде также обозначается как $$[m/n]_{f}(x).$$

Вычисление

Для заданного x аппроксимации Паде могут быть вычислены с помощью . эпсилон-алгоритма Винна а также другие преобразования последовательностей из частичных сумм $$T_{N}(x)=c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}+\cdots +c_{N}x^{N}$$ ряда Тейлора функции f , т. е. имеем $$c_{k}={\frac {f^{(k)}(0)}{k!}}.$$ f также может быть формальным степенным рядом , и, следовательно, аппроксимации Паде также могут применяться к суммированию расходящихся рядов .

Один из способов вычисления аппроксиманта Паде — использование расширенного алгоритма Евклида для определения наибольшего общего делителя полинома . Отношение $$R(x)=P(x)/Q(x)=T_{m+n}(x){\bmod {x}}^{m+n+1}$$ эквивалентно существованию некоторого фактора $K(x)$ такой, что $$P(x)=Q(x)T_{m+n}(x)+K(x)x^{m+n+1},$$ которое можно интерпретировать как тождество Безу одного шага вычисления расширенного наибольшего общего делителя многочленов $T_{m+n}(x)$ и $x^{m+n+1}$.

Напомним, что для вычисления наибольшего общего делителя двух многочленов p и q необходимо вычислить путем деления в столбик остаточную последовательность $$r_{0}=p,\;r_{1}=q,\quad r_{k-1}=q_{k}r_{k}+r_{k+1},$$ k = 1, 2, 3, ... с $\deg r_{k+1}<\deg r_{k}\,$, до $r_{k+1}=0$. Для тождеств Безу расширенного наибольшего общего делителя вычисляются одновременно две полиномиальные последовательности $$u_{0}=1,\;v_{0}=0,\quad u_{1}=0,\;v_{1}=1,\quad u_{k+1}=u_{k-1}-q_{k}u_{k},\;v_{k+1}=v_{k-1}-q_{k}v_{k}$$ чтобы на каждом шаге получить тождество Безу $$r_{k}(x)=u_{k}(x)p(x)+v_{k}(x)q(x).$$

Таким образом, для аппроксиманта [ m / n ] выполняется расширенный алгоритм Евклида для $$r_{0}=x^{m+n+1},\;r_{1}=T_{m+n}(x)$$ и останавливает его в последний момент, когда $v_{k}$ имеет степень n или меньше.

Тогда полиномы $P=r_{k},\;Q=v_{k}$ дайте аппроксимант Паде [ m / n ] . Если бы нужно было вычислить все шаги расширенного вычисления наибольшего общего делителя, можно было бы получить антидиагональ таблицы Паде .

Дзета-функция Римана – Паде

Чтобы изучить возобновление расходящегося ряда , скажем, $$\sum _{z=1}^{\infty }f(z),$$ может быть полезно ввести Паде или просто рациональную дзета-функцию как $$\zeta _{R}(s)=\sum _{z=1}^{\infty }{\frac {R(z)}{z^{s}}},$$ где $$R(x)=[m/n]_{f}(x)$$ является аппроксимацией Паде порядка ( m , n ) функции f ( x ) . Значение дзета-регуляризации при s = 0 принимается за сумму расходящегося ряда.

Функциональное уравнение для этой дзета-функции Паде: $$\sum _{j=0}^{n}a_{j}\zeta _{R}(s-j)=\sum _{j=0}^{m}b_{j}\zeta _{0}(s-j),$$ где a _j и b _j — коэффициенты приближения Паде. Индекс «0» означает, что Паде имеет порядок [0/0] и, следовательно, мы имеем дзета-функцию Римана .

Метод DLog Паде

Аппроксимации Паде можно использовать для извлечения критических точек и показателей функций. В термодинамике, если функция f ( x ) ведет себя неаналитическим образом вблизи точки x = r, например $f(x)\sim |x-r|^{p}$ называют , x = r критической точкой, а p — соответствующим критическим показателем f . в ряд Если известны достаточные члены разложения f , можно приближенно извлечь критические точки и критические показатели соответственно из полюсов и вычетов аппроксимаций Паде. $[n/n+1]_{g}(x)$, где $g=f'/f$.

Обобщения

Аппроксимация Паде аппроксимирует функцию одной переменной. Аппроксимант с двумя переменными называется аппроксимантом Чисхолма (от JSR Chisholm ), во многих переменных аппроксимант Кентербери (по Грейвсу-Моррису из Кентского университета).

Двухточечная аппроксимация Паде

Обычное приближение Паде предназначено для воспроизведения разложения Маклорена до заданного порядка. Следовательно, аппроксимация значения, не считая точки расширения, может быть плохой. Этого можно избежать с помощью двухточечной аппроксимации Паде, которая представляет собой разновидность метода многоточечного суммирования. В $x=0$, рассмотрим случай, когда функция $f(x)$ что выражается асимптотическим поведением $f_{0}(x)$: $$f\sim f_{0}(x)+o{\big (}f_{0}(x){\big )},\quad x\to 0,$$ и в $x\to \infty$, дополнительное асимптотическое поведение $f_{\infty }(x)$: $$f(x)\sim f_{\infty }(x)+o{\big (}f_{\infty }(x){\big )},\quad x\to \infty .$$

Выбрав основное поведение $f_{0}(x),f_{\infty }(x)$, приближенные функции $F(x)$ такие, которые одновременно воспроизводят асимптотическое поведение путем развития приближения Паде, можно найти в различных случаях. В результате в точке $x\to \infty$, где точность аппроксимации может быть худшей в обычном приближении Паде, гарантируется хорошая точность 2-точечного аппроксиманта Паде. Следовательно, двухточечная аппроксимация Паде может быть методом, который дает хорошее глобальное приближение для $x=0\sim \infty$.

В случаях, когда $f_{0}(x),f_{\infty }(x)$ выражаются полиномами или рядами отрицательных степеней, показательной функцией, логарифмической функцией или $x\ln x$, мы можем применить двухточечную аппроксимацию Паде к $f(x)$. Существует метод использования этого метода для получения приближенного решения дифференциального уравнения с высокой точностью. Кроме того, для нетривиальных нулей дзета-функции Римана первый нетривиальный нуль можно с некоторой точностью оценить по асимптотике на вещественной оси.

Многоточечная аппроксимация Паде

Дальнейшим расширением двухточечной аппроксимации Паде является многоточечная аппроксимация Паде. Этот метод обрабатывает точки сингулярности $x=x_{j}(j=1,2,3,\dots ,N)$ функции $f(x)$ который подлежит аппроксимации. Рассмотрим случаи, когда особенности функции выражаются индексом $n_{j}$ к $$f(x)\sim {\frac {A_{j}}{(x-x_{j})^{n_{j}}}},\quad x\to x_{j}.$$

Помимо двухточечной аппроксимации Паде, которая включает информацию по $x=0,x\to \infty$, этот метод приближается к уменьшению свойства расхождения при $x\sim x_{j}$. В результате, поскольку информация об особенности функции уловлена, аппроксимация функции $f(x)$ можно выполнить с большей точностью.

Примеры

грех( х )

$$\sin(x)\approx {\frac {{\frac {12671}{4363920}}x^{5}-{\frac {2363}{18183}}x^{3}+x}{1+{\frac {445}{12122}}x^{2}+{\frac {601}{872784}}x^{4}+{\frac {121}{16662240}}x^{6}}}$$

эксп( х )

$$\exp(x)\approx {\frac {1+{\frac {1}{2}}x+{\frac {1}{9}}x^{2}+{\frac {1}{72}}x^{3}+{\frac {1}{1008}}x^{4}+{\frac {1}{30240}}x^{5}}{1-{\frac {1}{2}}x+{\frac {1}{9}}x^{2}-{\frac {1}{72}}x^{3}+{\frac {1}{1008}}x^{4}-{\frac {1}{30240}}x^{5}}}$$

пер(1+ х )

$$\ln(1+x)\approx {\frac {x+{\frac {1}{2}}x^{2}}{1+x+{\frac {1}{6}}x^{2}}}$$

Якоби sn( z |3)

$$\mathrm {sn} (z|3)\approx {\frac {-{\frac {9851629}{283609260}}z^{5}-{\frac {572744}{4726821}}z^{3}+z}{1+{\frac {859490}{1575607}}z^{2}-{\frac {5922035}{56721852}}z^{4}+{\frac {62531591}{2977897230}}z^{6}}}$$

Бессель Дж ₅ ( х )

$$J_{5}(x)\approx {\frac {-{\frac {107}{28416000}}x^{7}+{\frac {1}{3840}}x^{5}}{1+{\frac {151}{5550}}x^{2}+{\frac {1453}{3729600}}x^{4}+{\frac {1339}{358041600}}x^{6}+{\frac {2767}{120301977600}}x^{8}}}$$

двор( х )

$$\operatorname {erf} (x)\approx {\frac {2}{15{\sqrt {\pi }}}}\cdot {\frac {49140x+3570x^{3}+739x^{5}}{165x^{4}+1330x^{2}+3276}}$$

Френель С ( х )

$$C(x)\approx {\frac {1}{135}}\cdot {\frac {990791\pi ^{4}x^{9}-147189744\pi ^{2}x^{5}+8714684160x}{1749\pi ^{4}x^{8}+523536\pi ^{2}x^{4}+64553216}}$$

См. также

• Стол Паде
• Формула аппроксимации синуса Бхаскары I - формула для оценки греха (x), найденная Бхаскарой I. Страницы, отображающие описания викиданных в качестве запасного варианта.
• Теория приближений - Теория получения приемлемо близких неточных математических расчетов.
• Аппроксимация функции - аппроксимация произвольной функции хорошо работающей.

Литература

• Бейкер, Джорджия, младший; и Грейвс-Моррис, Аппроксиманты П. Паде . Кембриджский университет , 1996.
• Бейкер, Джорджия, аппроксимант Паде -младший , Scholarpedia , 7(6):9756.
• Брезински, К.; Редиво Залья, М. Методы экстраполяции. Теория и практика . Северная Голландия , 1991 год. ISBN   978-0444888143
• Пресс, WH; Теукольский, С.А.; Феттерлинг, WT; Фланнери, BP (2007), «Раздел 5.12 Аппроксиманты Паде» , Численные рецепты: искусство научных вычислений (3-е изд.), Нью-Йорк: Cambridge University Press , ISBN  978-0-521-88068-8 , заархивировано из оригинала 03 марта 2016 г. , получено 9 августа 2011 г.
• Фробениус, Г.; О соотношениях между приближенными дробями степенных рядов , [Журнал чистой и прикладной математики (Crelle's Journal)]. Том 1881, выпуск 90, страницы 1–17.
• Грэгг, Всемирный банк; Таблица Паде и ее связь с некоторыми алгоритмами численного анализа [обзор SIAM], Vol. 14, № 1, 1972, стр. 1–62.
• Паде, Х.; О приближенном представлении функции рациональными дробями , Диссертация, [Анн. Ни Школа. (3), 9, 1892, стр. 1–93 дополнение.
• Винн, П. (1966), «О системах рекурсий, которые получаются среди частных таблицы Паде», Numerische Mathematik , 8 (3): 264–269, doi : 10.1007/BF02162562 , S2CID   123789548 .

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Аппроксимант Паде» . Математический мир .
• Аппроксиманты Паде , Александр Павлик, Демонстрационный проект Вольфрама .
• Краткий справочник по анализу данных: аппроксимация Паде , Европейская лаборатория физики элементарных частиц имени Рудольфа К. Бока , ЦЕРН .
• Sinewave , Скотт Даттало, последний раз обращались к нему 11 ноября 2010 г.
• Функция MATLAB для аппроксимации Паде моделей с задержками.