Преобразование последовательности

В математике преобразование последовательности — это оператор , действующий на заданное пространство последовательностей ( пространство последовательностей ). Преобразования последовательностей включают в себя линейные отображения, такие как свертка с другой последовательностью и возобновление последовательности, и, в более общем смысле, обычно используются для ускорения ряда , то есть для улучшения скорости сходимости медленно сходящейся последовательности или ряда . Преобразования последовательностей также обычно используются для численного вычисления антипредела и расходящегося ряда используются в сочетании с методами экстраполяции .

Обзор

Классические примеры преобразований последовательностей включают биномиальное преобразование , преобразование Мёбиуса , преобразование Стирлинга и другие.

Определения

Для заданной последовательности

S=\{s_{n}\}_{n\in \mathbb {N} },\,

последовательность преобразованная

\mathbf {T} (S)=S'=\{s'_{n}\}_{n\in \mathbb {N} },\,

где члены преобразованной последовательности обычно вычисляются из некоторого конечного числа членов исходной последовательности, т.е.

s_{n}'=T(s_{n},s_{n+1},\dots ,s_{n+k})

для некоторых $k$ что часто зависит от $n$ (см., например, Биномиальное преобразование ). В простейшем случае $s_{n}$ и $s'_{n}$ действительные комплексные или числа . В более общем смысле они могут быть элементами некоторого векторного пространства или алгебры .

В контексте ускорения сходимости преобразованная последовательность считается сходящейся быстрее, чем исходная, если

\lim _{n\to \infty }{\frac {s'_{n}-\ell }{s_{n}-\ell }}=0

где $\ell$ это предел $S$ , предполагается сходящимся. В этом случае ускорение сходимости достигается . Если исходная последовательность расходится , преобразование последовательности действует как метод экстраполяции до антипредела. $\ell$ .

Если отображение $T$ линейна по каждому из своих аргументов, т. е. при

s'_{n}=\sum _{m=0}^{k}c_{m}s_{n+m}

для некоторых констант $c_{0},\dots ,c_{k}$ (которое может зависеть от n ), преобразование последовательности $\mathbf {T}$ называется преобразованием линейной последовательности . Преобразования последовательностей, которые не являются линейными, называются нелинейными преобразованиями последовательностей.

Примеры

Простейшие примеры (линейных) преобразований последовательностей включают сдвиг всех элементов, $s'_{n}=s_{n+k}$ (соответственно = 0, если n + k < 0) для фиксированного k и скалярное умножение последовательности.

Менее тривиальным примером может быть дискретная свертка с фиксированной последовательностью. Особенно базовой формой является оператор разности , который представляет собой свертку с последовательностью $(-1,1,0,\ldots ),$ и является дискретным аналогом производной . Биномиальное преобразование — это еще одно линейное преобразование еще более общего типа.

Примером преобразования нелинейной последовательности является процесс Эйткена с дельта-квадратом , используемый для улучшения скорости сходимости медленно сходящейся последовательности. Расширенной формой этого является преобразование Шанкса . Преобразование Мёбиуса также является нелинейным преобразованием, возможным только для целочисленных последовательностей .

См. также

Ссылки

Хью Дж. Гамильтон, « Теорема Мертенса и преобразования последовательностей », AMS (1947)

Внешние ссылки

Преобразования целочисленных последовательностей , подраздел онлайн-энциклопедии целочисленных последовательностей