Преобразование Стирлинга

В комбинаторной математике последовательности преобразование Стирлинга { a b n _: n = 1, 2, 3, ... } чисел представляет собой последовательность { n _: n = 1, 2, 3, ... }, заданную формулой

b_{n}=\sum _{k=1}^{n}\left\{{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right\}a_{k},

где $\left\{{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right\}$ — число Стирлинга второго рода, также обозначаемое S ( n , k ) (с большой буквы S ), которое представляет собой число разбиений множества размера n на k частей.

Обратное преобразование

a_{n}=\sum _{k=1}^{n}s(n,k)b_{k},

где s ( n , k ) (с маленькой буквы s ) — число Стирлинга первого рода.

Берштейн и Слоан (цитируется ниже) заявляют: «Если a _n — это количество объектов в некотором классе с точками, помеченными 1, 2, ..., n (со всеми разными метками, то есть обычными помеченными структурами), то b _n — это число объектов с точками, обозначенными 1, 2, ..., n (с допустимыми повторениями)».

Если

f(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{a_{n} \over n!}x^{n}

является формальным степенным рядом и

g(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{b_{n} \over n!}x^{n}

с n _, и bn _{как указано выше} , тогда

g(x)=f(e^{x}-1).\,

Аналогично, обратное преобразование приводит к производящей функции тождеству

f(x)=g(\log(1+x)).

См. также

Ссылки

Бернштейн, М.; Слоан, Нью-Джерси (1995). «Некоторые канонические последовательности целых чисел». Линейная алгебра и ее приложения . 226/228: 57–72. arXiv : математика/0205301 . дои : 10.1016/0024-3795(94)00245-9 . S2CID 14672360 . .
Христо Н. Бояджиев, Заметки о биномиальном преобразовании, теории и таблице с приложением о преобразовании Стирлинга (2018), World Scientific.