Вторичная мера

В математике вторичная мера, связанная с мерой положительной плотности ρ, если таковая имеется, является мерой положительной плотности µ, превращая вторичные полиномы , связанные с ортогональными полиномами для ρ, в ортогональную систему.

Введение

При некоторых предположениях, которые мы уточним далее, можно получить существование вторичной меры и даже выразить ее.

Например, если работать в гильбертовом пространстве L ² ([0, 1], R , р)

$\forall x\in [0,1],\qquad \mu (x)={\frac {\rho (x)}{{\frac {\varphi ^{2}(x)}{4}}+\pi ^{2}\rho ^{2}(x)}}$

с

$\varphi (x)=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}2\int _{0}^{1}{\frac {(x-t)\rho (t)}{(x-t)^{2}+\varepsilon ^{2}}}\,dt$

в общем случае, или:

$\varphi (x)=2\rho (x){\text{ln}}\left({\frac {x}{1-x}}\right)-2\int _{0}^{1}{\frac {\rho (t)-\rho (x)}{t-x}}\,dt$

когда ρ удовлетворяет условию Липшица .

Это приложение φ называется редуктором ρ.

В более общем смысле, µ et ρ связаны преобразованием Стилтьеса со следующей формулой:

$S_{\mu }(z)=z-c_{1}-{\frac {1}{S_{\rho }(z)}}$

в котором c ₁ — момент первого порядка меры ρ.

Эти вторичные меры и теория вокруг них приводят к некоторым удивительным результатам и позволяют элегантным способом найти довольно много традиционных формул анализа, в основном вокруг гамма-функции Эйлера , дзета-функции Римана и константы Эйлера .

Они также позволили с огромной эффективностью разъяснять интегралы и ряды, хотя это априори сложно.

Наконец, они позволяют решать интегральные уравнения вида

$f(x)=\int _{0}^{1}{\frac {g(t)-g(x)}{t-x}}\rho (t)\,dt$

где g — неизвестная функция, и приводят к теоремам сходимости к мерам Чебышева и Дирака .

Общие очертания теории

Пусть ρ — мера положительной плотности на интервале I, допускающая моменты любого порядка. Мы можем построить семейство { Pn _{индуцированного} } ортогональных полиномов для скалярного произведения, ρ. Назовем { Qn _{семейством} последовательностью вторичных полиномов, связанных с P. } При определенных условиях существует мера, для которой семейство Q ортогонально. Эта мера, которую мы можем выяснить из ρ, называется вторичной мерой, ассоциированной с начальной мерой ρ.

Когда ρ является функцией плотности вероятности , достаточным условием того, что µ, допуская моменты любого порядка, может быть вторичной мерой, связанной с ρ, является то, что ее преобразование Стилтьеса задается равенством типа:

$S_{\mu }(z)=a\left(z-c_{1}-{\frac {1}{S_{\rho }(z)}}\right),$

a — произвольная константа, а c ₁ указывает момент первого порядка ρ.

При a = 1 мы получаем меру известную как вторичная, примечательная тем, что при n ≥ 1 норма полинома Pn _при для ρ точно совпадает с нормой ассоциированного вторичного многочлена Qn _, использовании меры µ.

В этом важном случае, а также если пространство, порожденное ортогональными полиномами, плотно в L ² ( I , R , ρ), оператор T _ρ, определенный формулой

$f(x)\mapsto \int _{I}{\frac {f(t)-f(x)}{t-x}}\rho (t)dt$

создание вторичных полиномов может быть преобразовано в линейную карту, соединяющую пространство L ² ( I , R , ρ) в L ² ( I , R , µ) и становится изометрическим, если ограничиться гиперплоскостью H ρ _{ортогональных} функций с P ₀ = 1.

Для неуказанных функций, интегрируемых с квадратом по ρ, мы получаем более общую формулу ковариации :

$\langle f/g\rangle _{\rho }-\langle f/1\rangle _{\rho }\times \langle g/1\rangle _{\rho }=\langle T_{\rho }(f)/T_{\rho }(g)\rangle _{\mu }.$

Теория продолжается введением понятия приводимой меры, означающего, что фактор ρ/μ является элементом L ² ( Я , Р , мкм). Затем устанавливаются следующие результаты:

Редуктор φ для ρ является антецедентом ρ/μ для оператора T _ρ . принадлежащий Hρ _{(Фактически единственный антецедент ,} ).

Для любой функции, интегрируемой с квадратом относительно ρ, существует равенство, известное как формула приведения:

$\langle f/\varphi \rangle _{\rho }=\langle T_{\rho }(f)/1\rangle _{\rho }$.

Оператор

$f\mapsto \varphi \times f-T_{\rho }(f)$

определенное на полиномах, продолжается в изометрии S _ρ, связывающей замыкание пространства этих полиномов в L ² ( Я , Р , п ² м ⁻¹ ) к гиперплоскости H _ρ, снабженной нормой, индуцированной ρ.

При некоторых ограничительных условиях оператор S _ρ действует как сопряженный оператор T _ρ для скалярного произведения, индуцированного ρ.

Наконец, два оператора также связаны, при условии, что рассматриваемые изображения определены фундаментальной формулой композиции:

$T_{\rho }\circ S_{\rho }\left(f\right)={\frac {\rho }{\mu }}\times (f).$

Случай меры Лебега и некоторые другие примеры

Мера Лебега на стандартном интервале [0, 1] получается путем принятия постоянной плотности ρ( x ) = 1.

Соответствующие ортогональные полиномы называются полиномами Лежандра и их можно уточнить с помощью

$P_{n}(x)={\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left(x^{n}(1-x)^{n}\right).$

Норма ​ П ​ _н стоит

${\frac {n!}{\sqrt {2n+1}}}.$

Рекуррентное соотношение в трёх терминах записывается:

$2(2n+1)XP_{n}(X)=-P_{n+1}(X)+(2n+1)P_{n}(X)-n^{2}P_{n-1}(X).$

Редуктор этой меры Лебега имеет вид

$\varphi (x)=2\ln \left({\frac {x}{1-x}}\right).$

Соответствующая вторичная мера затем поясняется как

$\mu (x)={\frac {1}{\ln ^{2}\left({\frac {x}{1-x}}\right)+\pi ^{2}}}$.

Если мы нормализуем полиномы Лежандра, коэффициенты Фурье редуктора φ, связанного с этой ортонормированной системой, будут равны нулю для четного индекса и будут равны

$C_{n}(\varphi )=-{\frac {4{\sqrt {2n+1}}}{n(n+1)}}$

для нечетного индекса n .

Полиномы Лагерра связаны с плотностью ρ( x ) = e ^-х на интервале I = [0, ∞). Их уточняет

$L_{n}(x)={\frac {e^{x}}{n!}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}(x^{n}e^{-x})=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}(-1)^{k}{\frac {x^{k}}{k!}}$

и нормируются.

Связанный редуктор определяется

$\varphi (x)=2\left(\ln(x)-\int _{0}^{\infty }e^{-t}\ln |x-t|dt\right).$

Коэффициенты Фурье редуктора φ, связанные с полиномами Лагерра, имеют вид

$C_{n}(\varphi )=-{\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {1}{\binom {n-1}{k}}}.$

Этот коэффициент Cn _{(φ) есть не что иное ,} как противоположность сумме элементов строки индекса n в таблице гармонических треугольных чисел Лейбница .

Полиномы Эрмита связаны с плотностью Гаусса.

$\rho (x)={\frac {e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}}{\sqrt {2\pi }}}$

на Я = Р. ​

Их уточняет

$H_{n}(x)={\frac {1}{\sqrt {n!}}}e^{\frac {x^{2}}{2}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left(e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}\right)$

и нормируются.

Связанный редуктор определяется

$\varphi (x)=-{\frac {2}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }te^{-{\frac {t^{2}}{2}}}\ln |x-t|\,dt.$

Коэффициенты Фурье редуктора φ, относящиеся к системе полиномов Эрмита, равны нулю для четного индекса и имеют вид

$C_{n}(\varphi )=(-1)^{\frac {n+1}{2}}{\frac {\left({\frac {n-1}{2}}\right)!}{\sqrt {n!}}}$

для нечетного индекса n .

Мера Чебышева второго вида. Это определяется плотностью

$\rho (x)={\frac {8}{\pi }}{\sqrt {x(1-x)}}$

на интервале [0, 1].

Она единственная совпадает со своей вторичной мерой, нормированной на этот стандартный интервал. При определенных условиях оно возникает как предел последовательности нормированных вторичных мер заданной плотности.

Примеры несводимых мер

Мера Якоби на (0, 1) плотности

$\rho (x)={\frac {2}{\pi }}{\sqrt {\frac {1-x}{x}}}.$

Мера Чебышева на (−1, 1) первой формы плотности

$\rho (x)={\frac {1}{\pi {\sqrt {1-x^{2}}}}}.$

Последовательность вторичных мер

Вторичная мера µ, связанная с функцией плотности вероятности ρ, имеет момент порядка 0, определяемый формулой

$d_{0}=c_{2}-c_{1}^{2},$

где c ₁ и c ₂ обозначают соответствующие моменты порядка 1 и 2 ρ.

Затем, чтобы иметь возможность повторить процесс, «нормализуют» µ, определяя ρ ₁ = µ/ d ₀ , которая, в свою очередь, становится плотностью вероятности, естественно называемой нормализованной вторичной мерой, связанной с ρ.

Затем мы можем создать из ρ1 _{вторичную} нормализованную меру ρ2 _, затем определить ρ3 _из ρ2 _и так далее. Таким образом, мы можем видеть, что последовательность последовательных вторичных мер, созданная из ρ ₀ = ρ, такова, что ρ _{n +1} является вторичной нормализованной мерой, выведенной из ρ _n.

можно уточнить, _{Плотность ρ n} используя ортогональные полиномы P _n для ρ, вторичные полиномы Q _n и связанный с ними редуктор φ. Это дает формулу

$\rho _{n}(x)={\frac {1}{d_{0}^{n-1}}}{\frac {\rho (x)}{\left(P_{n-1}(x){\frac {\varphi (x)}{2}}-Q_{n-1}(x)\right)^{2}+\pi ^{2}\rho ^{2}(x)P_{n-1}^{2}(x)}}.$

Коэффициент $d_{0}^{n-1}$ легко получается, исходя из старших коэффициентов многочленов P _{n −1} и P _n . Мы также можем уточнить редуктор φ _n, связанный с ρ _n , а также ортогональные полиномы, соответствующие ρ _n .

Очень красивый результат связывает эволюцию этих плотностей, когда индекс стремится к бесконечности, а носителем меры является стандартный интервал [0, 1].

Позволять

$xP_{n}(x)=t_{n}P_{n+1}(x)+s_{n}P_{n}(x)+t_{n-1}P_{n-1}(x)$

быть классическим рекуррентным соотношением в трех терминах. Если

$\lim _{n\mapsto \infty }t_{n}={\tfrac {1}{4}},\quad \lim _{n\mapsto \infty }s_{n}={\tfrac {1}{2}},$

то последовательность {ρ _n } полностью сходится к плотности Чебышева второй формы

$\rho _{tch}(x)={\frac {8}{\pi }}{\sqrt {x(1-x)}}$.

Эти условия о пределах проверяются очень широким классом традиционных плотностей.Вывод последовательности вторичных мер и сходимости можно найти в

Эквинормальные меры

Называются две меры, приводящие таким образом к одной и той же нормированной вторичной плотности. Замечательно, что элементы данного класса, имеющие одинаковый момент порядка 1, связаны гомотопией. Точнее, если функция плотности ρ имеет момент порядка 1, равный c ₁ , то эти плотности, эквинормальные с ρ, задаются формулой вида:

$\rho _{t}(x)={\frac {t\rho (x)}{\left({\tfrac {1}{2}}(t-1)(x-c_{1})\varphi (x)-t\right)^{2}+\pi ^{2}\rho ^{2}(x)(t-1)^{2}(x-c_{1})^{2}}},$

t, описывающий интервал, содержащий ]0, 1].

Если µ является вторичной мерой ρ, то мерой ρt _будет t µ .

Редуктор _t ρ

$\varphi _{t}(x)={\frac {2(x-c_{1})-tG(x)}{\left((x-c_{1})-t{\tfrac {1}{2}}G(x)\right)^{2}+t^{2}\pi ^{2}\mu ^{2}(x)}}$

отметив G ( x ) редуктор µ.

Ортогональные многочлены для меры ρ _t уточняются от n = 1 по формуле

$P_{n}^{t}(x)={\frac {tP_{n}(x)+(1-t)(x-c_{1})Q_{n}(x)}{\sqrt {t}}}$

с Q _n вторичным полиномом, связанным с P _n .

Примечательно также, что в смысле распределений предел, когда t стремится к 0 при более высоком значении ρ _t, является мерой Дирака, сосредоточенной в c ₁ .

Например, эквинормальные плотности с мерой Чебышева второй формы определяются следующим образом:

$\rho _{t}(x)={\frac {2t{\sqrt {1-x^{2}}}}{\pi \left[t^{2}+4(1-t)x^{2}\right]}},$

где t описывает ]0, 2]. Значение t = 2 дает меру Чебышева первого вида.

Несколько красивых приложений

В формулах ниже G — константа Каталана , γ — константа Эйлера , β _{2 n} — число Бернулли порядка 2 n , H _{2 n +1} — гармоническое число порядка 2 n +1, а Ei — экспоненциальная интегральная функция.

${\frac {1}{\ln(p)}}={\frac {1}{p-1}}+\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{(x+p)(\ln ^{2}(x)+\pi ^{2})}}dx\qquad \qquad \forall p>1$

$\gamma =\int _{0}^{\infty }{\frac {\ln(1+{\frac {1}{x}})}{\ln ^{2}(x)+\pi ^{2}}}dx$

$\gamma ={\frac {1}{2}}+\int _{0}^{\infty }{\frac {\overline {(x+1)\cos(\pi x)}}{x+1}}dx$

Обозначения $x\mapsto {\overline {(x+1)\cos(\pi x)}}$ указывающее на 2-ю периодическую функцию, совпадающую с $x\mapsto (x+1)\cos(\pi x)$ на (−1, 1).

$\gamma ={\frac {1}{2}}+\sum _{k=1}^{n}{\frac {\beta _{2k}}{2k}}-{\frac {\beta _{2n}}{\zeta (2n)}}\int _{1}^{\infty }\lfloor t\rfloor \cos(2\pi t)t^{-2n-1}dt$

$\beta _{k}={\frac {(-1)^{k}k!}{\pi }}{\text{Im}}\left(\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {e^{x}}{(1+e^{x})(x-i\pi )^{k}}}dx\right)$

$\int _{0}^{1}\ln ^{2n}\left({\frac {x}{1-x}}\right)\,dx=(-1)^{n+1}(2^{2n}-2)\beta _{2n}\pi ^{2n}$

$\int _{0}^{1}\cdots \int _{0}^{1}\left(\sum _{k=1}^{2n}{\frac {\ln(t_{k})}{\prod _{i\neq k}(t_{k}-t_{i})}}\right)\,dt_{1}\cdots dt_{2n}={\tfrac {1}{2}}(-1)^{n+1}(2\pi )^{2n}\beta _{2n}$

$\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-\alpha x}}{\Gamma (x+1)}}dx=e^{e^{-\alpha }}-1+\int _{0}^{\infty }{\frac {1-e^{-x}}{(\ln(x)+\alpha )^{2}+\pi ^{2}}}{\frac {dx}{x}}\qquad \qquad \forall \alpha \in \mathbf {R}$

$\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {1}{\binom {n-1}{k}}}\right)^{2}={\tfrac {4}{9}}\pi ^{2}=\int _{0}^{\infty }4\left(\mathrm {Ei} (1,-x)+i\pi \right)^{2}e^{-3x}\,dx.$

${\frac {23}{15}}-\ln(2)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1575}{2(n+1)(2n+1)(4n-3)(4n-1)(4n+1)(4n+5)(4n+7)(4n+9)}}$

$G=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{4^{k+1}}}\left({\frac {1}{(4k+3)^{2}}}+{\frac {2}{(4k+2)^{2}}}+{\frac {2}{(4k+1)^{2}}}\right)+{\frac {\pi }{8}}\ln(2)$

$G={\frac {\pi }{8}}\ln(2)+\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {H_{2n+1}}{2n+1}}.$

Если мера ρ приводима и пусть φ — ассоциированный редуктор, имеет место равенство

$\int _{I}\varphi ^{2}(x)\rho (x)\,dx={\frac {4\pi ^{2}}{3}}\int _{I}\rho ^{3}(x)\,dx.$

Если мера ρ приводима с помощью µ, связанного с ней редьюсера, то если f интегрируема с квадратом для µ, и если g интегрируема с квадратом для ρ и ортогональна с P ₀ = 1, то существует эквивалентность:

$f(x)=\int _{I}{\frac {g(t)-g(x)}{t-x}}\rho (t)dt\Leftrightarrow g(x)=(x-c_{1})f(x)-T_{\mu }(f(x))={\frac {\varphi (x)\mu (x)}{\rho (x)}}f(x)-T_{\rho }\left({\frac {\mu (x)}{\rho (x)}}f(x)\right)$

c ₁ указывает момент первого порядка ρ, а T _ρ — оператор

$g(x)\mapsto \int _{I}{\frac {g(t)-g(x)}{t-x}}\rho (t)\,dt.$

Кроме того, последовательность вторичных мер имеет приложения в квантовой механике. Эта последовательность порождает так называемую последовательность остаточных спектральных плотностей для специализированных гамильтонианов Паули-Фирца. Это также обеспечивает физическую интерпретацию последовательности вторичных мер.

См. также

• Ортогональные полиномы
• Вероятность

Внешние ссылки

• персональная страница Ролана Гру о теории вторичных мер