каталонская константа

Не путать с каталонским номером .

В математике G константа Каталана определяется формулой

$G=\beta (2)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)^{2}}}={\frac {1}{1^{2}}}-{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{5^{2}}}-{\frac {1}{7^{2}}}+{\frac {1}{9^{2}}}-\cdots ,$

где β — бета-функция Дирихле . Его числовое значение примерно (последовательность A006752 в OEIS )

Г = 0,915 965 594 177 219 015 054 603 514 932 384 110 774 …

Нерешенная задача по математике :

Иррациональна ли константа Каталана? Если да, то трансцендентно ли оно?

(еще нерешенные задачи по математике)

Неизвестно, ли G является иррациональным , не говоря уже о трансцендентном . G называли «возможно, самой базовой константой, иррациональность и трансцендентность которой (хотя и сильно подозреваемые) остаются недоказанными».

Константа Каталана была названа в честь Эжена Шарля Каталана , который нашел быстро сходящиеся ряды для ее расчета и опубликовал о нем мемуары в 1865 году.

Использование

В низкоразмерной топологии константа Каталана составляет 1/4 объёма идеального гиперболического октаэдра и, следовательно, 1/4 гиперболического объёма дополнения зацепления Уайтхеда . Это 1/8 объема дополнения колец Борромео .

В комбинаторике и статистической механике оно возникает в связи со счётом разбиений домино . перекидные деревья , и гамильтоновы циклы сеточных графов .

В теории чисел константа Каталана появляется в предполагаемой формуле для асимптотического числа простых чисел вида $n^{2}+1$ согласно гипотезе Харди и Литтлвуда F. Однако остается нерешенной проблема (одна из проблем Ландау ), существует ли хотя бы бесконечное число простых чисел такого вида.

Постоянная Каталана также фигурирует в расчете распределения масс спиральных галактик .

Известные цифры

Количество известных цифр константы Каталана G резко возросло за последние десятилетия. Это связано как с увеличением производительности компьютеров, так и с усовершенствованием алгоритмов.

Количество известных десятичных цифр каталонской константы G

Дата	Десятичные цифры	Расчет выполнен
1832	16	Томас Клаузен
1858	19	Карл Йохан Дэниелссон Хилл
1864	14	Эжен Шарль Каталан
1877	20	Джеймс В.Л. Глейшер
1913	32	Джеймс В.Л. Глейшер
1990	20 000	Грег Дж. Фи
1996	50 000	Грег Дж. Фи
14 августа 1996 г.	100 000	Грег Дж. Фи и Саймон Плауфф
29 сентября 1996 г.	300 000	Томас Папаниколау
1996	1 500 000	Томас Папаниколау
1997	3 379 957	Патрик Демишель
4 января 1998 г.	12 500 000	Ксавье Гурдон
2001	100 000 500	Ксавье Гурдон и Паскаль Себах
2002	201 000 000	Ксавье Гурдон и Паскаль Себах
октябрь 2006 г.	5 000 000 000	Сигэру Кондо и Стив Пальяруло
август 2008 г.	10 000 000 000	Сигэру Кондо и Стив Пальяруло
31 января 2009 г.	15 510 000 000	Александр Дж. Йи и Рэймонд Чан
16 апреля 2009 г.	31 026 000 000	Александр Дж. Йи и Рэймонд Чан
7 июня 2015 г.	200 000 001 100	Роберт Дж. Сетти
12 апреля 2016 г.	250 000 000 000	Рон Уоткинс
16 февраля 2019 г.	300 000 000 000	Тициан Ханзельманн
29 марта 2019 г.	500 000 000 000	Майк А и Ян Катресс
16 июля 2019 г.	600 000 000 100	Сынмин Ким
6 сентября 2020 г.	1 000 000 001 337	Эндрю Сан
9 марта 2022 г.	1 200 000 000 100	Сынмин Ким

Интегральные идентичности

Как пишет Шон Стюарт: «Существует богатый и, казалось бы, бесконечный источник определенных интегралов, которые может быть приравнено к константе Каталана или выражено через нее». Некоторые из этих выражений включают в себя: $${\begin{aligned}G&=-{\frac {1}{\pi i}}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\ln \ln \tan x\ln \tan x\,dx\\[3pt]G&=\iint _{[0,1]^{2}}\!{\frac {1}{1+x^{2}y^{2}}}\,dx\,dy\\[3pt]G&=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1-x}{\frac {1}{1-x^{2}-y^{2}}}\,dy\,dx\\[3pt]G&=\int _{1}^{\infty }{\frac {\ln t}{1+t^{2}}}\,dt\\[3pt]G&=-\int _{0}^{1}{\frac {\ln t}{1+t^{2}}}\,dt\\[3pt]G&={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {t}{\sin t}}\,dt\\[3pt]G&=\int _{0}^{\frac {\pi }{4}}\ln \cot t\,dt\\[3pt]G&={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\ln \left(\sec t+\tan t\right)\,dt\\[3pt]G&=\int _{0}^{1}{\frac {\arccos t}{\sqrt {1+t^{2}}}}\,dt\\[3pt]G&=\int _{0}^{1}{\frac {\operatorname {arcsinh} t}{\sqrt {1-t^{2}}}}\,dt\\[3pt]G&={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\infty }{\frac {\operatorname {arctan} t}{t{\sqrt {1+t^{2}}}}}\,dt\\[3pt]G&={\frac {1}{2}}\int _{0}^{1}{\frac {\operatorname {arctanh} t}{\sqrt {1-t^{2}}}}\,dt\\[3pt]G&=\int _{0}^{\infty }\operatorname {arccot} e^{t}\,dt\\[3pt]G&={\frac {1}{4}}\int _{0}^{{\pi ^{2}}/{4}}\csc {\sqrt {t}}\,dt\\[3pt]G&={\frac {1}{16}}\left(\pi ^{2}+4\int _{1}^{\infty }\operatorname {arccsc} ^{2}t\,dt\right)\\[3pt]G&={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\infty }{\frac {t}{\cosh t}}\,dt\\[3pt]G&={\frac {\pi }{2}}\int _{1}^{\infty }{\frac {\left(t^{4}-6t^{2}+1\right)\ln \ln t}{\left(1+t^{2}\right)^{3}}}\,dt\\[3pt]G&={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\infty }{\frac {\arcsin \left(\sin t\right)}{t}}\,dt\\[3pt]G&=1+\lim _{\alpha \to {1^{-}}}\!\left\{\int _{0}^{\alpha }\!{\frac {\left(1+6t^{2}+t^{4}\right)\arctan {t}}{t\left(1-t^{2}\right)^{2}}}\,dt+2\operatorname {artanh} {\alpha }-{\frac {\pi \alpha }{1-\alpha ^{2}}}\right\}\\[3pt]G&=1-{\frac {1}{8}}\iint _{\mathbb {R} ^{2}}\!\!{\frac {x\sin \left(2xy/\pi \right)}{\,\left(x^{2}+\pi ^{2}\right)\cosh x\sinh y\,}}\,dx\,dy\\[3pt]G&=\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }{\frac {{\sqrt[{4}]{x}}\left({\sqrt {x}}{\sqrt {y}}-1\right)}{(x+1)^{2}{\sqrt[{4}]{y}}(y+1)^{2}\log(xy)}}dxdy\end{aligned}}$$

где последние три формулы относятся к интегралам Мальмстена .

Если K( k ) — полный эллиптический интеграл первого рода как функция эллиптического модуля k , то $$G={\tfrac {1}{2}}\int _{0}^{1}\mathrm {K} (k)\,dk$$

Если E( k ) — полный эллиптический интеграл второго рода как функция эллиптического модуля k , то $$G=-{\tfrac {1}{2}}+\int _{0}^{1}\mathrm {E} (k)\,dk$$

С гамма-функцией Γ( x + 1) = x ! $${\begin{aligned}G&={\frac {\pi }{4}}\int _{0}^{1}\Gamma \left(1+{\frac {x}{2}}\right)\Gamma \left(1-{\frac {x}{2}}\right)\,dx\\&={\frac {\pi }{2}}\int _{0}^{\frac {1}{2}}\Gamma (1+y)\Gamma (1-y)\,dy\end{aligned}}$$

Интеграл $$G=\operatorname {Ti} _{2}(1)=\int _{0}^{1}{\frac {\arctan t}{t}}\,dt$$ — это известная специальная функция, называемая интегралом обратного тангенса , которая была тщательно изучена Шринивасой Рамануджаном .

Связь с другими специальными функциями

G появляется в значениях второй полигамма-функции , также называемой тригамма-функцией , при дробных аргументах:

$${\begin{aligned}\psi _{1}\left({\tfrac {1}{4}}\right)&=\pi ^{2}+8G\\\psi _{1}\left({\tfrac {3}{4}}\right)&=\pi ^{2}-8G.\end{aligned}}$$

Саймон Плуфф дает бесконечный набор тождеств между тригамма-функцией π ² и каталонская константа; они выражаются как пути на графе.

Константа Каталана часто встречается в отношении функции Клаузена , интеграла обратного тангенса , обратного интеграла синуса , Барнса G -функции , а также интегралов и рядов, суммируемых через вышеупомянутые функции.

В качестве конкретного примера: сначала выражая обратный касательный интеграл в его замкнутой форме – через функции Клаузена – а затем выражая эти функции Клаузена через G -функцию Барнса, получается следующее выражение ( см. Функция Клаузена подробнее ) :

$$G=4\pi \log \left({\frac {G\left({\frac {3}{8}}\right)G\left({\frac {7}{8}}\right)}{G\left({\frac {1}{8}}\right)G\left({\frac {5}{8}}\right)}}\right)+4\pi \log \left({\frac {\Gamma \left({\frac {3}{8}}\right)}{\Gamma \left({\frac {1}{8}}\right)}}\right)+{\frac {\pi }{2}}\log \left({\frac {1+{\sqrt {2}}}{2\left(2-{\sqrt {2}}\right)}}\right).$$

Если определить трансцендент Лерха Φ( z , s , α ) (связанный с дзета-функцией Лерха ) по формуле $$\Phi (z,s,\alpha )=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{(n+\alpha )^{s}}},$$ затем $$G={\tfrac {1}{4}}\Phi \left(-1,2,{\tfrac {1}{2}}\right).$$

Быстро сходящийся ряд

Следующие две формулы включают быстро сходящиеся ряды и поэтому подходят для численных вычислений: $${\begin{aligned}G&=3\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{4n}}}\left(-{\frac {1}{2(8n+2)^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}(8n+3)^{2}}}-{\frac {1}{2^{3}(8n+5)^{2}}}+{\frac {1}{2^{3}(8n+6)^{2}}}-{\frac {1}{2^{4}(8n+7)^{2}}}+{\frac {1}{2(8n+1)^{2}}}\right)-\\&\qquad -2\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{12n}}}\left({\frac {1}{2^{4}(8n+2)^{2}}}+{\frac {1}{2^{6}(8n+3)^{2}}}-{\frac {1}{2^{9}(8n+5)^{2}}}-{\frac {1}{2^{10}(8n+6)^{2}}}-{\frac {1}{2^{12}(8n+7)^{2}}}+{\frac {1}{2^{3}(8n+1)^{2}}}\right)\end{aligned}}$$ и $$G={\frac {\pi }{8}}\log \left(2+{\sqrt {3}}\right)+{\frac {3}{8}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n+1)^{2}{\binom {2n}{n}}}}.$$

Теоретические основы таких рядов даны Бродхерстом для первой формулы: и Рамануджан для второй формулы. Алгоритмы быстрого вычисления константы Каталана были построены Э. Карацубой. Используя эти ряды, вычисление константы Каталана теперь происходит примерно так же быстро, как вычисление константы Апери . $\zeta (3)$.

Другие быстро сходящиеся ряды, созданные Гильерой и Пилерудом и используемые в программном обеспечении y-cruncher , включают:

$G={\frac {1}{2}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-8)^{k}(3k+2)}{(2k+1)^{3}{\binom {2k}{k}}^{3}}}$

$G={\frac {1}{64}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {256^{k}(580k^{2}-184k+15)}{k^{3}(2k-1){\binom {6k}{3k}}{\binom {6k}{4k}}{\binom {4k}{2k}}}}$

$G=-{\frac {1}{1024}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-4096)^{k}(45136k^{4}-57184k^{3}+21240k^{2}-3160k+165)}{k^{3}(2k-1)^{3}}}\left({\frac {(2k)!^{6}(3k)!^{3}}{k!^{3}(6k)!^{3}}}\right)$

Все эти ряды имеют временную сложность. $O(n\log(n)^{3})$.

Непрерывная дробь

G можно выразить в следующем виде

$G={\cfrac {1}{1+{\cfrac {1^{4}}{8+{\cfrac {3^{4}}{16+{\cfrac {5^{4}}{24+{\cfrac {7^{4}}{32+{\cfrac {9^{4}}{40+\ddots }}}}}}}}}}}}$

Простая цепная дробь имеет вид

$G={\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{10+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{8+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{88+\ddots }}}}}}}}}}}}$

Эта непрерывная дробь будет иметь бесконечные члены тогда и только тогда, когда $G$ иррациональна и до сих пор не решена.

См. также

• Многообразие Гизекинга
• Список математических констант
• Математическая константа
• Частные значения дзета-функции Римана

Дальнейшее чтение

• Адамчик, Виктор (2002). «Определенная серия, связанная с каталонской константой» . Журнал анализа и его приложений . 21 (3): 1–10. дои : 10.4171/ZAA/1110 . МР1929434  . Архивировано из оригинала 16 марта 2010 г. Проверено 14 июля 2005 г.
• Плата, Грегори Дж. (1990). «Вычисление константы Каталана по формуле Раманухана». В Ватанабэ, Сюнро; Нагата, Морио (ред.). Материалы Международного симпозиума по символьным и алгебраическим вычислениям, ISSAC '90, Токио, Япония, 20-24 августа 1990 г. АКМ. стр. 157–160. дои : 10.1145/96877.96917 . ISBN  0201548925 . S2CID   1949187 .
• Брэдли, Дэвид М. (1999). «Класс формул рядного ускорения для константы Каталана». Журнал Рамануджана . 3 (2): 159–173. arXiv : 0706.0356 . Бибкод : 2007arXiv0706.0356B . дои : 10.1023/A:1006945407723 . МР   1703281 . S2CID   5111792 .

Внешние ссылки

• Адамчик, Виктор. «33 представления константы Каталонии» . Архивировано из оригинала 7 августа 2016 г. Проверено 14 июля 2005 г.
• Плуфф, Саймон (1993). «Несколько тождеств (III) с каталонцами» . Архивировано из оригинала 26 июня 2019 г. Проверено 29 июля 2005 г. (Обеспечивает более ста различных личностей).
• Плуфф, Саймон (1999). «Несколько тождеств с каталонской константой и числом Пи^2» . Архивировано из оригинала 26 июня 2019 г. Проверено 29 июля 2005 г. (Дает графическую интерпретацию отношений)
• Плата, Грег (1996). Константа Каталана (формула Раманухана) . (Предоставляет первые 300 000 цифр каталонской константы)
• Брэдли, Дэвид М. (2001). Представления константы Каталана . CiteSeerX   10.1.1.26.1879 . {{citation}}: CS1 maint: переопределенная настройка ( ссылка )
• Йоханссон, Фредрик. "0.915965594177219015054603514932" . Орднер, каталог действительных чисел в Фунгриме . Проверено 21 апреля 2021 г.
• «Каталонская константа» . Ютуб . Давай учиться, Немо!. 10 августа 2020 г. Проверено 6 апреля 2021 г.
• Вайсштейн, Эрик В. «Каталонская константа» . Математический мир .
• «Каталонская константа: представления серий» . Wolfram . Сайт функций
• «Каталонская константа» . Энциклопедия математики . ЭМС Пресс . 2001 [1994]. {{citation}}: CS1 maint: переопределенная настройка ( ссылка )