Многообразие Гизекинга

В математике представляет многообразие Гизекинга собой гиперболическое 3-многообразие с каспами конечного объема. Оно неориентируемо и имеет наименьший объем среди некомпактных гиперболических многообразий, имея объем примерно $V\approx 1.0149416$ . Его открыл Хьюго Гизекинг ( 1912 ). Объем называется постоянной Гизекинга и имеет замкнутую форму:

V=\operatorname {Cl} _{2}\left({\frac {\pi }{3}}\right)={\frac {3{\sqrt {3}}}{4}}\left(\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(3n+1)^{2}}}-\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(3n+2)^{2}}}\right)=1.0149416\dots

где $\operatorname {Cl} _{2}\left(\varphi \right)$ — функция Клаузена . Точно так же константа Каталана может быть выражена через функцию Клаузена:

K=\operatorname {Cl} _{2}\left({\frac {\pi }{2}}\right)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(4n+1)^{2}}}-\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(4n+3)^{2}}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)^{2}}}=0.91596559\dots

а также проявляется как объем. Многообразие Гизекинга можно построить, удалив вершины тетраэдра , а затем склеив грани попарно с помощью аффинно-линейных отображений. Пометьте вершины 0, 1, 2, 3. Приклейте грань с вершинами 0, 1, 2 к грани с вершинами 3, 1, 0 в указанном порядке. Приклейте лицо 0, 2, 3 к лицу 3, 2, 1 в указанном порядке. В гиперболической структуре многообразия Гизекинга этот идеальный тетраэдр представляет собой каноническое многогранное разложение Дэвида Б. Эпштейна и Роберта К. Пеннера. При этом угол, образуемый гранями, равен $\pi /3$ . Триангуляция имеет один тетраэдр, две грани, одно ребро и не имеет вершин, поэтому все ребра исходного тетраэдра склеены.

Многообразие Гизекинга имеет двойное накрытие гомеоморфное дополнению узла восьмерки , . Базовое компактное многообразие имеет границу бутылки Клейна , а первая группа гомологии многообразия Гизекинга представляет собой целые числа.

Многообразие Гизекинга представляет собой расслоение над окружностью со слоем, представляющим собой однажды проколотый тор и монодромию, заданную формулой $(x,y)\to (x+y,x).$ Квадрат этой карты — это карта кошки Арнольда , и это дает еще один способ увидеть, что многообразие Гизекинга дважды покрыто дополнением узла восьмерки.