Карта кошек Арнольда

На рисунке показано, как линейная карта растягивает единичный квадрат и как его части переставляются при операции по модулю выполнении . Линии со стрелками показывают направление сужения и расширения собственных пространств.

В математике — карта кошки Арнольда это хаотическая карта из тора в себя, названная в честь Владимира Арнольда , который продемонстрировал свои эффекты в 1960-х годах, используя изображение кошки, отсюда и название. ^{[ 1 ]} Это простой и педагогический пример гиперболических торических автоморфизмов .

Думая о торе $\mathbb {T} ^{2}$ как факторпространство $\mathbb {R} ^{2}/\mathbb {Z} ^{2}$ , карта кота Арнольда – это трансформация $\Gamma :\mathbb {T} ^{2}\to \mathbb {T} ^{2}$ заданной формулой

\Gamma (x,y)=(2x+y,x+y){\bmod {1}}.

Эквивалентно в матричной записи это

\Gamma \left({\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}\right)={\begin{bmatrix}2&1\\1&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}{\bmod {1}}={\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0\\1&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}{\bmod {1}}.

То есть, если единица измерения равна ширине квадратного изображения, изображение сдвигается на одну единицу вверх, затем на две единицы вправо, а все, что лежит за пределами этого единичного квадрата, сдвигается назад на единицу, пока не окажется внутри квадрата. .

Имя

Карта получила свое название от рукописи Арнольда 1967 года с Андре Аллезом « Эргодические проблемы классической механики» . ^{[ 1 ]} в котором контур кошки использовался для иллюстрации действия карты на тор. В оригинальной книге это было подписано юмористической сноской:

Société Protectrice des Animaux разрешило воспроизводить это и другие изображения.

На родном русском языке Арнольда карта известна как « окрошка (холодный суп) от кошки» ( по-русски : окрошка из кошек ), что связано с ее смешивающими свойствами и представляет собой игру слов. Позже Арнольд написал, что он нашел имя «Кот Арнольда», под которым карта известна на английском и других языках, «странным». ^{[ 2 ]}

Характеристики

Γ обратим, матрицы поскольку определитель равен 1 и, следовательно, ее обратная имеет целые элементы ,
Γ — сохраняющий площадь ,
Г имеет единственную гиперболическую неподвижную точку ( вершины квадрата). Линейное преобразование, определяющее отображение, является гиперболическим: его собственные значения представляют собой иррациональные числа, одно больше, а другое меньше 1 (по абсолютной величине), поэтому они связаны соответственно с расширяющимся и сжимающимся собственным пространством , которые также являются стабильным и нестабильным многообразиями. . Собственные пространства ортогональны, поскольку матрица симметрична . Поскольку собственные векторы имеют рационально независимые компоненты, оба собственных пространства плотно покрывают тор. Карта кошки Арнольда — особенно известный пример гиперболического торального автоморфизма , который представляет собой автоморфизм тора, заданного квадратной унимодулярной матрицей, не имеющей собственных значений с абсолютным значением 1. ^{[ 3 ]}
Множество точек с периодической орбитой плотно на торе. На самом деле точка периодична тогда и только тогда, когда ее координаты рациональны .
Г топологически транзитивна (т.е. существует точка, орбита которой плотна ).
Количество точек с периодом $n$ это точно $|\lambda _{1}^{n}+\lambda _{2}^{n}-2|$ (где $\lambda _{1}$ и $\lambda _{2}$ — собственные значения матрицы). Например, первые несколько членов этого ряда — 1, 5, 16, 45, 121, 320, 841, 2205…. ^{[ 4 ]} (То же уравнение справедливо для любого унимодулярного гиперболического торального автоморфизма, если заменить собственные значения.)
Γ эргодичен и перемешивающий ,
Г — диффеоморфизм Аносова и, в частности, структурно устойчив .
Тор отображения Γ является солвмногообразием , и, как и другие диффеоморфизмы Аносова, это многообразие имеет решающую геометрию .

Дискретная карта кошек

От порядка к хаосу и обратно. Пример маппинга на картинку размером 150х150 пикселей. Число показывает шаг итерации; после 300 итераций возвращается исходное изображение.

Пример отображения на картинке пары вишен. Изображение имеет ширину 74 пикселя, и для его восстановления требуется 114 итераций, хотя в середине (57-я итерация) оно выглядит перевернутым.

Можно определить дискретный аналог карты кота. Одной из особенностей этой карты является то, что изображение, по-видимому, рандомизируется в результате преобразования, но возвращается в исходное состояние после ряда шагов. Как видно на соседнем рисунке, исходное изображение кошки обрезается , а затем оборачивается в первой итерации преобразования. После нескольких итераций результирующее изображение выглядит довольно случайным или беспорядочным, однако после дальнейших итераций изображение приобретает дальнейший порядок: призрачные изображения кошки, множество уменьшенных копий, расположенных в повторяющейся структуре, и даже перевернутые копии оригинала. изображение — и в конечном итоге возвращается к исходному изображению.

Дискретное отображение кота описывает поток в фазовом пространстве , соответствующий дискретной динамике прыжка шарика из узла q _t (0 ≤ q _t < N ) в узел q _{t +1} на круговом кольце с окружностью N в соответствии с уравнением второго порядка :

q_{t+1}-3q_{t}+q_{t-1}=0\mod N

Определив переменную импульса p _t = q _t − q _{t −1} , приведенную выше динамику второго порядка можно переписать как отображение квадрата 0 ≤ q , p < N ( фазового пространства дискретной динамической системы) на самого себя. :

q_{t+1}=2q_{t}+p_{t}\mod N

p_{t+1}=q_{t}+p_{t}\mod N

Это отображение кота Арнольда демонстрирует поведение смешивания , типичное для хаотических систем. Однако, поскольку преобразование имеет определитель, равный единице, оно сохраняет площадь и, следовательно, обратимо, обратное преобразование имеет вид:

q_{t-1}=q_{t}-p_{t}\mod N

p_{t-1}=-q_{t}+2p_{t}\mod N

Для вещественных переменных q и p обычно устанавливают N = 1. В этом случае получается отображение единичного квадрата с периодическими граничными условиями на самого себя.

Когда N установлено в целочисленное значение, переменные положения и импульса могут быть ограничены целыми числами, и отображение становится отображением тороидальной квадратной сетки точек на себя. Такая целочисленная карта кошек обычно используется для демонстрации смешивания поведения с повторением Пуанкаре с использованием цифровых изображений. Можно показать, что число итераций, необходимых для восстановления изображения, никогда не превышает 3N. ^{[ 5 ]}

Для изображения связь между итерациями может быть выражена следующим образом:

{\begin{array}{rrcl}n=0:\quad &T^{0}(x,y)&=&{\text{Input Image}}(x,y)\\n=1:\quad &T^{1}(x,y)&=&T^{0}\left({\bmod {(}}2x+y,N),{\bmod {(}}x+y,N)\right)\\&&\vdots \\n=k:\quad &T^{k}(x,y)&=&T^{k-1}\left({\bmod {(}}2x+y,N),{\bmod {(}}x+y,N)\right)\\&&\vdots \\n=m:\quad &{\text{Output Image}}(x,y)&=&T^{m}(x,y)\end{array}}

Модели

Код Python для карты кошек Арнольда

import os

from PIL.Image import open as load_pic, new as new_pic

def main(path, iterations, keep_all=False, name="arnold_cat-{name}-{index}.png"):
    """
    Params
        path:str
            path to photograph
        iterations:int
            number of iterations to compute
        name:str
            formattable string to use as template for file names
    """
    title = os.path.splitext(os.path.split(path)[1])[0]
    counter = 0
    while counter < iterations:
        with load_pic(path) as image:
            dim = width, height = image.size
            with new_pic(image.mode, dim) as canvas:
                for x in range(width):
                    for y in range(height):
                        nx = (2 * x + y) % width
                        ny = (x + y) % height

                        canvas.putpixel((nx, height-ny-1), image.getpixel((x, height-y-1)))

        if counter > 0 and not keep_all:
            os.remove(path)
        counter += 1
        print(counter, end="\r")
        path = name.format(name=title, index=counter)
        canvas.save(path)

    return canvas

if __name__ == "__main__":
    path = input("Enter the path to an image:\n\t")
    while not os.path.exists(path):
        path = input("Couldn't find your chosen image, please try again:\n\t")
    result = main(path, 3)
    result.show()

См. также

Ссылки

^ Перейти обратно: ^а ^б Владимир Иванович Арнольд ; А. Хаве (1967). Эргодические проблемы классической механики (на французском языке). Париж: Готье-Виллар. ; Английский перевод: В. И. Арнольд; А. Авез (1968). Эргодические задачи классической механики . Нью-Йорк: Бенджамин.
^ Арнольд, VI (2015). Лекции и задачи: подарок юным математикам . Беркли, Калифорния, США: Научно-исследовательский институт математических наук.
^ Фрэнкс, Джон М. (октябрь 1977 г.). «Инвариантные множества гиперболических торических автоморфизмов». Американский журнал математики . 99 (5). Издательство Университета Джонса Хопкинса: 1089–1095. дои : 10.2307/2374001 . ISSN 0002-9327 . JSTOR 2374001 .
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A004146» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС.
^ Дайсон, Фриман Джон ; Фальк, Гарольд (1992). «Период дискретного кошачьего картирования». Американский математический ежемесячник . 99 (7). Математическая ассоциация Америки: 603–614. дои : 10.2307/2324989 . ISSN 0002-9890 . JSTOR 2324989 .

Внешние ссылки

[Arnold-1] Перейти обратно: ^а ^б Владимир Иванович Арнольд ; А. Хаве (1967). Эргодические проблемы классической механики (на французском языке). Париж: Готье-Виллар. ; Английский перевод: В. И. Арнольд; А. Авез (1968). Эргодические задачи классической механики . Нью-Йорк: Бенджамин.

[2] Арнольд, VI (2015). Лекции и задачи: подарок юным математикам . Беркли, Калифорния, США: Научно-исследовательский институт математических наук.

[Franks-3] Фрэнкс, Джон М. (октябрь 1977 г.). «Инвариантные множества гиперболических торических автоморфизмов». Американский журнал математики . 99 (5). Издательство Университета Джонса Хопкинса: 1089–1095. дои : 10.2307/2374001 . ISSN 0002-9327 . JSTOR 2374001 .

[4] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A004146» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС.

[DysonFalk-5] Дайсон, Фриман Джон ; Фальк, Гарольд (1992). «Период дискретного кошачьего картирования». Американский математический ежемесячник . 99 (7). Математическая ассоциация Америки: 603–614. дои : 10.2307/2324989 . ISSN 0002-9890 . JSTOR 2324989 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]