Эластичный маятник

«Весенний маятник» перенаправляется сюда. Не путать с одномерной вертикальной системой пружина-масса с гравитацией, ср. также Простое гармоническое движение#Масса на пружине .

В физике и математике , в области динамических систем , упругий маятник. (также называемый пружинным маятником или качающаяся пружина ) — физическая система , в которой кусок массы соединен с пружиной так, что результирующее движение содержит элементы как простого маятника , так и одномерной системы пружина-масса . При определенных значениях энергии система демонстрирует все признаки хаотического поведения и чувствительна к начальным условиям . При очень низкой и очень высокой энергии также наблюдается регулярное движение. Движение упругого маятника определяется набором связанных обыкновенных дифференциальных уравнений . Такое поведение предполагает сложное взаимодействие между энергетическими состояниями и динамикой системы .

и

Упругий маятник с 2 степенями свободы и графиками в полярных координатах.

Система намного сложнее, чем простой маятник, поскольку свойства пружины добавляют системе дополнительное измерение свободы. Например, когда пружина сжимается, меньший радиус заставляет пружину двигаться быстрее из-за сохранения углового момента . Также возможно, что пружина имеет диапазон, охватываемый движением маятника, что делает ее практически нейтральной по отношению к движению маятника.

Лагранжиан

Пружина имеет оставшуюся длину $l_{0}$ и его можно растянуть на длину $x$. Угол колебания маятника равен $\theta$.

Лагранжиан ​ $L$ является:

$L=T-V$

где $T$ это кинетическая энергия и $V$ это потенциальная энергия .

Закон Гука – это потенциальная энергия самой пружины:

$V_{k}={\frac {1}{2}}kx^{2}$

где $k$ это константа пружины.

С другой стороны, потенциальная энергия гравитации определяется высотой массы. Для данного угла и смещения потенциальная энергия равна:

$V_{g}=-gm(l_{0}+x)\cos \theta$

где $g$ это гравитационное ускорение .

Кинетическая энергия определяется выражением:

$T={\frac {1}{2}}mv^{2}$

где $v$ это скорость массы. Связать $v$ для остальных переменных скорость записывается как комбинация движения вдоль и перпендикулярно пружине:

$T={\frac {1}{2}}m({\dot {x}}^{2}+(l_{0}+x)^{2}{\dot {\theta }}^{2})$

Таким образом, лагранжиан становится:

$L=T-V_{k}-V_{g}$

$L[x,{\dot {x}},\theta ,{\dot {\theta }}]={\frac {1}{2}}m({\dot {x}}^{2}+(l_{0}+x)^{2}{\dot {\theta }}^{2})-{\frac {1}{2}}kx^{2}+gm(l_{0}+x)\cos \theta$

Уравнения движения

Имея две степени свободы , для $x$ и $\theta$, уравнения движения можно найти с помощью двух уравнений Эйлера-Лагранжа :

${\partial L \over \partial x}-{\operatorname {d} \over \operatorname {d} t}{\partial L \over \partial {\dot {x}}}=0$

${\partial L \over \partial \theta }-{\operatorname {d} \over \operatorname {d} t}{\partial L \over \partial {\dot {\theta }}}=0$

Для $x$:

$m(l_{0}+x){\dot {\theta }}^{2}-kx+gm\cos \theta -m{\ddot {x}}=0$

${\ddot {x}}$ изолированный:

${\ddot {x}}=(l_{0}+x){\dot {\theta }}^{2}-{\frac {k}{m}}x+g\cos \theta$

И для $\theta$:

$-gm(l_{0}+x)\sin \theta -m(l_{0}+x)^{2}{\ddot {\theta }}-2m(l_{0}+x){\dot {x}}{\dot {\theta }}=0$

${\ddot {\theta }}$ изолированный:

${\ddot {\theta }}=-{\frac {g}{l_{0}+x}}\sin \theta -{\frac {2{\dot {x}}}{l_{0}+x}}{\dot {\theta }}$

Упругий маятник теперь описывается двумя связанными обыкновенными дифференциальными уравнениями . Их можно решить численно . Кроме того, можно использовать аналитические методы для изучения интригующего явления порядка-хаоса-порядка. в этой системе.

См. также

• Двойной маятник
• Осциллятор Даффинга
• Маятник (математика)
• Пружинно-массовая система

Дальнейшее чтение

• Покорный, Павел (2008). «Условие устойчивости вертикального колебания трехмерного упругого маятника с тяжелой пружиной» (PDF) . Регулярная и хаотическая динамика . 13 (3): 155–165. Бибкод : 2008RCD....13..155P . дои : 10.1134/S1560354708030027 . S2CID   56090968 .
• Покорный, Павел (2009). «Продолжение периодических решений диссипативных и консервативных систем: приложение к упругому маятнику» (PDF) . Математические проблемы в технике . 2009 : 1–15. дои : 10.1155/2009/104547 .

Внешние ссылки

• Головацкий В., Головацкая Ю. (2019) «Колебания упругого маятника» (интерактивная анимация), Wolfram Demonstrations Project, опубликовано 19 февраля 2019 г.
• Головацкий В., Головацкий И., Головацкая Я., Струк Я. Колебания резонансного упругого маятника. Физика и образовательные технологии, 2023, 1, 10–17, https://doi.org/10.32782/pet-2023-1-2 http://journals.vnu.volyn.ua/index.php/physical/article/ просмотр/1093