Уравнение Эйлера–Лагранжа

В вариационном исчислении и классической механике уравнения Эйлера –Лагранжа представляют собой систему обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка , решениями которой являются стационарные точки заданного функционала действия . Уравнения были открыты в 1750-х годах швейцарским математиком Леонардом Эйлером и итальянским математиком Жозефом-Луи Лагранжем .

Поскольку дифференцируемый функционал стационарен в своих локальных экстремумах , уравнение Эйлера-Лагранжа полезно для решения задач оптимизации , в которых по заданному функционалу ищут функцию, минимизирующую или максимизирующую его. Это аналогично теореме Ферма в исчислении , утверждающей, что в любой точке, где дифференцируемая функция достигает локального экстремума, ее производная равна нулю. В лагранжевой механике , согласно принципу стационарного действия Гамильтона , эволюция физической системы описывается решениями уравнения Эйлера для действия системы. В этом контексте уравнения Эйлера обычно называют уравнениями Лагранжа . В классической механике это эквивалентно законам движения Ньютона ; действительно, уравнения Эйлера-Лагранжа дадут те же уравнения, что и законы Ньютона. Это особенно полезно при анализе систем, векторы сил которых особенно сложны. Его преимущество состоит в том, что он принимает одинаковую форму в любой системе обобщенных координат и лучше подходит для обобщений. В классической теории поля существует аналогичное уравнение для расчета динамики поля .

История

Уравнение Эйлера-Лагранжа было связано с исследованием проблемы таутохрона .

Уравнение Эйлера–Лагранжа было разработано в 1750-х годах Эйлером и Лагранжем в связи с исследованием ими проблемы таутохрона . Это задача определения кривой, по которой взвешенная частица упадет в фиксированную точку за фиксированный промежуток времени, независимо от начальной точки.

Лагранж решил эту задачу в 1755 году и отправил решение Эйлеру. Оба далее развили метод Лагранжа и применили его к механике , что привело к формулировке лагранжевой механики . Их переписка в конечном итоге привела к вариационному исчислению — термину, придуманному самим Эйлером в 1766 году.

Заявление

Позволять $(X,L)$ быть настоящей динамической системой с $n$ степени свободы. Здесь $X$ это конфигурационное пространство и $L=L(t,{\boldsymbol {q}}(t),{\boldsymbol {v}}(t))$ лагранжиан что , т.е. гладкая действительная функция такая, ${\boldsymbol {q}}(t)\in X,$ и ${\boldsymbol {v}}(t)$ это $n$-мерный «вектор скорости». (Для тех, кто знаком с дифференциальной геометрией , $X$ является гладким многообразием и $L:{\mathbb {R} }_{t}\times TX\to {\mathbb {R} },$ где $TX$ представляет собой касательное расслоение $X).$

Позволять ${\cal {P}}(a,b,{\boldsymbol {x}}_{a},{\boldsymbol {x}}_{b})$ быть набором гладких путей ${\boldsymbol {q}}:[a,b]\to X$ для чего ${\boldsymbol {q}}(a)={\boldsymbol {x}}_{a}$ и ${\boldsymbol {q}}(b)={\boldsymbol {x}}_{b}.$

действия Функционал $S:{\cal {P}}(a,b,{\boldsymbol {x}}_{a},{\boldsymbol {x}}_{b})\to \mathbb {R}$ определяется через

$$S[{\boldsymbol {q}}]=\int _{a}^{b}L(t,{\boldsymbol {q}}(t),{\dot {\boldsymbol {q}}}(t))\,dt.$$

Путь ${\boldsymbol {q}}\in {\cal {P}}(a,b,{\boldsymbol {x}}_{a},{\boldsymbol {x}}_{b})$ является стационарной точкой $S$ тогда и только тогда, когда

${\frac {\partial L}{\partial q^{i}}}(t,{\boldsymbol {q}}(t),{\dot {\boldsymbol {q}}}(t))-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}^{i}}}(t,{\boldsymbol {q}}(t),{\dot {\boldsymbol {q}}}(t))=0,\quad i=1,\dots ,n.$

Здесь, ${\dot {\boldsymbol {q}}}(t)$ является производной по времени ${\boldsymbol {q}}(t).$ Когда мы говорим «стационарная точка», мы имеем в виду стационарную точку $S$ по отношению к любому небольшому возмущению ${\boldsymbol {q}}$. Более подробную информацию см. в доказательствах ниже.

Вывод одномерного уравнения Эйлера–Лагранжа

Вывод одномерного уравнения Эйлера–Лагранжа является одним из классических доказательств в математике . Оно опирается на фундаментальную лемму вариационного исчисления .

Мы хотим найти функцию $f$ которое удовлетворяет граничным условиям $f(a)=A$, $f(b)=B$, и который экстремизирует функционал

$$J[f]=\int _{a}^{b}L(x,f(x),f'(x))\,\mathrm {d} x\ .$$

Мы предполагаем, что $L$ дважды непрерывно дифференцируема. Можно использовать более слабое предположение, но доказательство усложняется.

Если $f$ экстремизирует функционал с учетом граничных условий, то любое незначительное возмущение $f$ сохраняющий граничные значения, должен либо увеличиваться $J$ (если $f$ является минимизатором) или уменьшить $J$ (если $f$ является максимизатором).

Позволять $f+\varepsilon \eta$ быть результатом такого возмущения $\varepsilon \eta$ из $f$, где $\varepsilon$ маленький и $\eta$ является дифференцируемой функцией, удовлетворяющей $\eta (a)=\eta (b)=0$. Затем определите

$$\Phi (\varepsilon )=J[f+\varepsilon \eta ]=\int _{a}^{b}L(x,f(x)+\varepsilon \eta (x),f'(x)+\varepsilon \eta '(x))\,\mathrm {d} x\ .$$

Теперь мы хотим вычислить полную производную $\Phi$ относительно ε .

$${\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} \Phi }{\mathrm {d} \varepsilon }}&={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}\int _{a}^{b}L(x,f(x)+\varepsilon \eta (x),f'(x)+\varepsilon \eta '(x))\,\mathrm {d} x\\&=\int _{a}^{b}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}L(x,f(x)+\varepsilon \eta (x),f'(x)+\varepsilon \eta '(x))\,\mathrm {d} x\\&=\int _{a}^{b}\left[\eta (x){\frac {\partial L}{\partial {f}}}(x,f(x)+\varepsilon \eta (x),f'(x)+\varepsilon \eta '(x))+\eta '(x){\frac {\partial L}{\partial f'}}(x,f(x)+\varepsilon \eta (x),f'(x)+\varepsilon \eta '(x))\right]\mathrm {d} x\ .\end{aligned}}$$

Третья строка следует из того, что $x$ не зависит от $\varepsilon$, то есть ${\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} \varepsilon }}=0$.

Когда $\varepsilon =0$, $\Phi$ имеет экстремальное значение, так что

$$\left.{\frac {\mathrm {d} \Phi }{\mathrm {d} \varepsilon }}\right|_{\varepsilon =0}=\int _{a}^{b}\left[\eta (x){\frac {\partial L}{\partial f}}(x,f(x),f'(x))+\eta '(x){\frac {\partial L}{\partial f'}}(x,f(x),f'(x))\,\right]\,\mathrm {d} x=0\ .$$

Следующий шаг — использовать интегрирование по частям по второму члену подынтегральной функции, что дает

$$\int _{a}^{b}\left[{\frac {\partial L}{\partial f}}(x,f(x),f'(x))-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\frac {\partial L}{\partial f'}}(x,f(x),f'(x))\right]\eta (x)\,\mathrm {d} x+\left[\eta (x){\frac {\partial L}{\partial f'}}(x,f(x),f'(x))\right]_{a}^{b}=0\ .$$

Используя граничные условия $\eta (a)=\eta (b)=0$,

$$\int _{a}^{b}\left[{\frac {\partial L}{\partial f}}(x,f(x),f'(x))-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\frac {\partial L}{\partial f'}}(x,f(x),f'(x))\right]\eta (x)\,\mathrm {d} x=0\,.$$

Применение фундаментальной леммы вариационного исчисления теперь дает уравнение Эйлера – Лагранжа.

$${\frac {\partial L}{\partial f}}(x,f(x),f'(x))-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\frac {\partial L}{\partial f'}}(x,f(x),f'(x))=0\,.$$

Альтернативный вывод одномерного уравнения Эйлера – Лагранжа

Учитывая функционал

$$J=\int _{a}^{b}L(t,y(t),y'(t))\,\mathrm {d} t$$

на $C^{1}([a,b])$ с граничными условиями $y(a)=A$ и $y(b)=B$, приступим к аппроксимации экстремальной кривой ломаной с $n$ отрезков и переход к пределу при сколь угодно большом росте числа отрезков.

Разделите интервал $[a,b]$ в $n$ равные сегменты с конечными точками $t_{0}=a,t_{1},t_{2},\ldots ,t_{n}=b$ и пусть $\Delta t=t_{k}-t_{k-1}$. Вместо гладкой функции $y(t)$ рассмотрим ломаную с вершинами $(t_{0},y_{0}),\ldots ,(t_{n},y_{n})$, где $y_{0}=A$ и $y_{n}=B$. Соответственно, наш функционал становится реальной функцией $n-1$ переменные, заданные

$$J(y_{1},\ldots ,y_{n-1})\approx \sum _{k=0}^{n-1}L\left(t_{k},y_{k},{\frac {y_{k+1}-y_{k}}{\Delta t}}\right)\Delta t.$$

Экстремали этого нового функционала, определенные в дискретных точках $t_{0},\ldots ,t_{n}$ соответствуют точкам, где

$${\frac {\partial J(y_{1},\ldots ,y_{n})}{\partial y_{m}}}=0.$$

Обратите внимание, что изменение $y_{m}$ влияет на L не только при m, но и при m-1 для производной 3-го аргумента.

$$L({\text{3rd argument}})\left({\frac {y_{m+1}-(y_{m}+\Delta y_{m})}{\Delta t}}\right)=L\left({\frac {y_{m+1}-y_{m}}{\Delta t}}\right)-{\frac {\partial L}{\partial y'}}{\frac {\Delta y_{m}}{\Delta t}},L\left({\frac {(y_{m}+\Delta y_{m})-y_{m-1}}{\Delta t}}\right)=L\left({\frac {y_{m}-y_{m-1}}{\Delta t}}\right)+{\frac {\partial L}{\partial y'}}{\frac {\Delta y_{m}}{\Delta t}}$$

Оценка частной производной дает

$${\frac {\partial J}{\partial y_{m}}}=L_{y}\left(t_{m},y_{m},{\frac {y_{m+1}-y_{m}}{\Delta t}}\right)\Delta t+L_{y'}\left(t_{m-1},y_{m-1},{\frac {y_{m}-y_{m-1}}{\Delta t}}\right)-L_{y'}\left(t_{m},y_{m},{\frac {y_{m+1}-y_{m}}{\Delta t}}\right).$$

Разделив приведенное выше уравнение на $\Delta t$ дает

$${\frac {\partial J}{\partial y_{m}\Delta t}}=L_{y}\left(t_{m},y_{m},{\frac {y_{m+1}-y_{m}}{\Delta t}}\right)-{\frac {1}{\Delta t}}\left[L_{y'}\left(t_{m},y_{m},{\frac {y_{m+1}-y_{m}}{\Delta t}}\right)-L_{y'}\left(t_{m-1},y_{m-1},{\frac {y_{m}-y_{m-1}}{\Delta t}}\right)\right],$$

и принимая предел как $\Delta t\to 0$ правой части этого выражения дает

$$L_{y}-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}L_{y'}=0.$$

Левая часть предыдущего уравнения представляет собой функциональную производную $\delta J/\delta y$ функционального $J$. Необходимым условием того, чтобы дифференцируемый функционал имел экстремум на некоторой функции, является то, что его функциональная производная в этой функции обращается в нуль, что обеспечивается последним уравнением.

Пример

Стандартный пример находит действительную функцию y ( x ) на интервале [ a , b ], такую, что y ( a ) = c и y ( b ) = d , для которой пути длина вдоль кривой, прослеживаемой y, так же коротка насколько это возможно.

${\text{s}}=\int _{a}^{b}{\sqrt {\mathrm {d} x^{2}+\mathrm {d} y^{2}}}=\int _{a}^{b}{\sqrt {1+y'^{2}}}\,\mathrm {d} x,$

подынтегральная функция ${\textstyle L(x,y,y')={\sqrt {1+y'^{2}}}}$.

Частные производные L :

${\frac {\partial L(x,y,y')}{\partial y'}}={\frac {y'}{\sqrt {1+y'^{2}}}}\quad {\text{and}}\quad {\frac {\partial L(x,y,y')}{\partial y}}=0.$

Подставив их в уравнение Эйлера–Лагранжа, получим

${\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\frac {y'(x)}{\sqrt {1+(y'(x))^{2}}}}&=0\\{\frac {y'(x)}{\sqrt {1+(y'(x))^{2}}}}&=C={\text{constant}}\\\Rightarrow y'(x)&={\frac {C}{\sqrt {1-C^{2}}}}=:A\\\Rightarrow y(x)&=Ax+B\end{aligned}}$

то есть функция должна иметь постоянную первую производную, и, следовательно, ее график представляет собой прямую линию .

Обобщения

Единая функция одной переменной

Стационарные значения функционала

$I[f]=\int _{x_{0}}^{x_{1}}{\mathcal {L}}(x,f,f',f'',\dots ,f^{(k)})~\mathrm {d} x~;~~f':={\cfrac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}},~f'':={\cfrac {\mathrm {d} ^{2}f}{\mathrm {d} x^{2}}},~f^{(k)}:={\cfrac {\mathrm {d} ^{k}f}{\mathrm {d} x^{k}}}$

можно получить из уравнения Эйлера–Лагранжа

${\cfrac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f}}-{\cfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left({\cfrac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f'}}\right)+{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} x^{2}}}\left({\cfrac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f''}}\right)-\dots +(-1)^{k}{\cfrac {\mathrm {d} ^{k}}{\mathrm {d} x^{k}}}\left({\cfrac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f^{(k)}}}\right)=0$

при фиксированных граничных условиях как для самой функции, так и для первого $k-1$ производные (т.е. для всех $f^{(i)},i\in \{0,...,k-1\}$). Конечные значения высшей производной $f^{(k)}$ оставаться гибкими.

Несколько функций одной переменной с одной производной

Если задача заключается в поиске нескольких функций ( $f_{1},f_{2},\dots ,f_{m}$) одной независимой переменной ( $x$), определяющие экстремум функционала

$I[f_{1},f_{2},\dots ,f_{m}]=\int _{x_{0}}^{x_{1}}{\mathcal {L}}(x,f_{1},f_{2},\dots ,f_{m},f_{1}',f_{2}',\dots ,f_{m}')~\mathrm {d} x~;~~f_{i}':={\cfrac {\mathrm {d} f_{i}}{\mathrm {d} x}}$

то соответствующие уравнения Эйлера–Лагранжа имеют вид

${\begin{aligned}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{i}}}-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{i}'}}\right)=0;\quad i=1,2,...,m\end{aligned}}$

Единая функция нескольких переменных с одной производной

Многомерное обобщение происходит при рассмотрении функции от n переменных. Если $\Omega$ является некоторой поверхностью, то

$I[f]=\int _{\Omega }{\mathcal {L}}(x_{1},\dots ,x_{n},f,f_{1},\dots ,f_{n})\,\mathrm {d} \mathbf {x} \,\!~;~~f_{j}:={\cfrac {\partial f}{\partial x_{j}}}$

экстремизируется только в том случае, если f удовлетворяет уравнению в частных производных

${\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f}}-\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{j}}}\right)=0.$

При n = 2 и функционале ${\mathcal {I}}$ – функционал энергии мыльной пленки , это приводит к проблеме минимальной поверхности .

Несколько функций нескольких переменных с одной производной

Если имеется несколько неизвестных функций, которые необходимо определить, и несколько переменных таких, что

$I[f_{1},f_{2},\dots ,f_{m}]=\int _{\Omega }{\mathcal {L}}(x_{1},\dots ,x_{n},f_{1},\dots ,f_{m},f_{1,1},\dots ,f_{1,n},\dots ,f_{m,1},\dots ,f_{m,n})\,\mathrm {d} \mathbf {x} \,\!~;~~f_{i,j}:={\cfrac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}$

система уравнений Эйлера–Лагранжа имеет вид

${\begin{aligned}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{1}}}-\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{1,j}}}\right)&=0_{1}\\{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{2}}}-\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{2,j}}}\right)&=0_{2}\\\vdots \qquad \vdots \qquad &\quad \vdots \\{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{m}}}-\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{m,j}}}\right)&=0_{m}.\end{aligned}}$

Единая функция двух переменных

одну неизвестную функцию f Если необходимо определить , которая зависит от двух переменных x ₁ и x _2, и если функционал зависит от высших производных f до n -го порядка, таких что

${\begin{aligned}I[f]&=\int _{\Omega }{\mathcal {L}}(x_{1},x_{2},f,f_{1},f_{2},f_{11},f_{12},f_{22},\dots ,f_{22\dots 2})\,\mathrm {d} \mathbf {x} \\&\qquad \quad f_{i}:={\cfrac {\partial f}{\partial x_{i}}}\;,\quad f_{ij}:={\cfrac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}\;,\;\;\dots \end{aligned}}$

тогда уравнение Эйлера–Лагранжа имеет вид

${\begin{aligned}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f}}&-{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{1}}}\right)-{\frac {\partial }{\partial x_{2}}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{2}}}\right)+{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{1}^{2}}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{11}}}\right)+{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{1}\partial x_{2}}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{12}}}\right)+{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{2}^{2}}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{22}}}\right)\\&-\dots +(-1)^{n}{\frac {\partial ^{n}}{\partial x_{2}^{n}}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{22\dots 2}}}\right)=0\end{aligned}}$

что коротко можно представить как:

${\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f}}+\sum _{j=1}^{n}\sum _{\mu _{1}\leq \ldots \leq \mu _{j}}(-1)^{j}{\frac {\partial ^{j}}{\partial x_{\mu _{1}}\dots \partial x_{\mu _{j}}}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{\mu _{1}\dots \mu _{j}}}}\right)=0$

где $\mu _{1}\dots \mu _{j}$ являются индексами, охватывающими количество переменных, то есть здесь они идут от 1 до 2. Здесь суммирование по $\mu _{1}\dots \mu _{j}$ индексы только закончились $\mu _{1}\leq \mu _{2}\leq \ldots \leq \mu _{j}$ чтобы избежать многократного счета одной и той же частной производной, например $f_{12}=f_{21}$ появляется только один раз в предыдущем уравнении.

Несколько функций нескольких переменных с высшими производными

Если имеется p неизвестных функций f _i, подлежащих определению, которые зависят от m переменных x ₁ ... x _m , и если функционал зависит от высших производных f i _до n -го порядка таких, что

${\begin{aligned}I[f_{1},\ldots ,f_{p}]&=\int _{\Omega }{\mathcal {L}}(x_{1},\ldots ,x_{m};f_{1},\ldots ,f_{p};f_{1,1},\ldots ,f_{p,m};f_{1,11},\ldots ,f_{p,mm};\ldots ;f_{p,1\ldots 1},\ldots ,f_{p,m\ldots m})\,\mathrm {d} \mathbf {x} \\&\qquad \quad f_{i,\mu }:={\cfrac {\partial f_{i}}{\partial x_{\mu }}}\;,\quad f_{i,\mu _{1}\mu _{2}}:={\cfrac {\partial ^{2}f_{i}}{\partial x_{\mu _{1}}\partial x_{\mu _{2}}}}\;,\;\;\dots \end{aligned}}$

где $\mu _{1}\dots \mu _{j}$ — это индексы, охватывающие количество переменных, то есть они идут от 1 до m. Тогда уравнение Эйлера–Лагранжа имеет вид

${\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{i}}}+\sum _{j=1}^{n}\sum _{\mu _{1}\leq \ldots \leq \mu _{j}}(-1)^{j}{\frac {\partial ^{j}}{\partial x_{\mu _{1}}\dots \partial x_{\mu _{j}}}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{i,\mu _{1}\dots \mu _{j}}}}\right)=0$

где суммирование по $\mu _{1}\dots \mu _{j}$ избегает подсчета одной и той же производной $f_{i,\mu _{1}\mu _{2}}=f_{i,\mu _{2}\mu _{1}}$ несколько раз, как и в предыдущем подразделе. Более компактно это можно выразить как

$\sum _{j=0}^{n}\sum _{\mu _{1}\leq \ldots \leq \mu _{j}}(-1)^{j}\partial _{\mu _{1}\ldots \mu _{j}}^{j}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{i,\mu _{1}\dots \mu _{j}}}}\right)=0$

Обобщение на многообразия

Позволять $M$ — гладкое многообразие , и пусть $C^{\infty }([a,b])$ обозначим пространство гладких функций $f\colon [a,b]\to M$. Тогда для функционалов $S\colon C^{\infty }([a,b])\to \mathbb {R}$ формы

$S[f]=\int _{a}^{b}(L\circ {\dot {f}})(t)\,\mathrm {d} t$

где $L\colon TM\to \mathbb {R}$ является лагранжианом, утверждение $\mathrm {d} S_{f}=0$ эквивалентно утверждению, что для всех $t\in [a,b]$ каждой системы координат , тривиализация $(x^{i},X^{i})$ окрестностей ${\dot {f}}(t)$ дает следующее $\dim M$ уравнения:

$\forall i:{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial L}{\partial X^{i}}}{\bigg |}_{{\dot {f}}(t)}={\frac {\partial L}{\partial x^{i}}}{\bigg |}_{{\dot {f}}(t)}.$

Уравнения Эйлера-Лагранжа также можно записать в бескоординатной форме как

${\mathcal {L}}_{\Delta }\theta _{L}=dL$

где $\theta _{L}$ — каноническая 1-форма импульсов , соответствующая лагранжиану $L$. Векторное поле, генерирующее временные трансляции, обозначается $\Delta$ а производная Ли обозначается ${\mathcal {L}}$. Можно использовать локальные карты $(q^{\alpha },{\dot {q}}^{\alpha })$ в котором $\theta _{L}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}^{\alpha }}}dq^{\alpha }$ и $\Delta :={\frac {d}{dt}}={\dot {q}}^{\alpha }{\frac {\partial }{\partial q^{\alpha }}}+{\ddot {q}}^{\alpha }{\frac {\partial }{\partial {\dot {q}}^{\alpha }}}$ и используйте координатные выражения для производной Ли, чтобы увидеть эквивалентность координатным выражениям уравнения Эйлера-Лагранжа. Свободная координатная форма особенно подходит для геометрической интерпретации уравнений Эйлера-Лагранжа.

См. также

• Лагранжева механика
• гамильтонова механика
• Аналитическая механика
• Личность Бельтрами
• Функциональная производная

Ссылки

• «Уравнения Лагранжа (в механике)» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Вайсштейн, Эрик В. «Дифференциальное уравнение Эйлера-Лагранжа» . Математический мир .
• Вариационное исчисление в PlanetMath .
• Гельфанд, Израиль Моисеевич (1963). Вариационное исчисление . Дувр. ISBN  0-486-41448-5 .
• Рубичек Т.: Вариационное исчисление . Глава 17 в: Математические инструменты для физиков . (Ред. М. Гринфельд) Дж. Уайли, Вайнхайм, 2014 г., ISBN   978-3-527-41188-7 , стр. 551–588.