Полная производная

В математике полная производная функции $f$ в точке — это наилучшее линейное приближение вблизи этой точки функции по ее аргументам. В отличие от частных производных , полная производная аппроксимирует функцию по всем ее аргументам, а не только по одному. Во многих ситуациях это то же самое, что рассматривать все частные производные одновременно. Термин «полная производная» в основном используется, когда $f$ является функцией нескольких переменных, потому что, когда $f$ является функцией одной переменной, полная производная такая же, как и обычная производная функции. ^[1]^{: 198–203}

Полная производная как линейная карта [ править ]

Позволять $U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ быть открытым подмножеством . Тогда функция $f:U\to \mathbb {R} ^{m}$ называется ( полностью ) дифференцируемым в точке $a\in U$ если существует линейное преобразование $df_{a}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}$ такой, что

\lim _{x\to a}{\frac {\|f(x)-f(a)-df_{a}(x-a)\|}{\|x-a\|}}=0.

Линейная карта $df_{a}$ называется ( полной ) производной или полным ) дифференциалом ( $f$ в $a$ . Другие обозначения полной производной включают $D_{a}f$ и $Df(a)$ . Функция является ( полностью ) дифференцируемой , если ее полная производная существует в каждой точке ее области определения.

Концептуально определение полной производной выражает идею о том, что $df_{a}$ является лучшим линейным приближением к $f$ в точку $a$ . Это можно уточнить, определив количественно ошибку в линейном приближении, определяемую формулой $df_{a}$ . Для этого напишите

f(a+h)=f(a)+df_{a}(h)+\varepsilon (h),

где $\varepsilon (h)$ равна ошибке аппроксимации. Сказать, что производная от $f$ в $a$ является $df_{a}$ эквивалентно утверждению

\varepsilon (h)=o(\lVert h\rVert ),

где $o$ представляет собой обозначение «маленькое о» и указывает, что $\varepsilon (h)$ намного меньше, чем $\lVert h\rVert$ как $h\to 0$ . Полная производная $df_{a}$ — это единственное линейное преобразование, для которого член ошибки настолько мал, и в этом смысле оно является лучшим линейным приближением к $f$ .

Функция $f$ дифференцируема тогда и только тогда, когда каждая из ее компонент $f_{i}\colon U\to \mathbb {R}$ дифференцируема, поэтому при изучении полных производных часто можно работать по одной координате в кодомене. Однако то же самое нельзя сказать о координатах в области. Это правда, что если $f$ дифференцируема в $a$ , то каждая частная производная $\partial f/\partial x_{i}$ существует в $a$ . Обратное неверно: может случиться так, что все частные производные $f$ в $a$ существуют, но $f$ не дифференцируема при $a$ . Это означает, что функция очень «грубая» при $a$ , до такой степени, что его поведение не может быть адекватно описано его поведением в координатных направлениях. Когда $f$ не так уж и грубо, такого не может быть. Точнее, если все частные производные $f$ в $a$ существуют и непрерывны в окрестности $a$ , затем $f$ дифференцируема в $a$ . Когда это происходит, то, кроме того, полная производная от $f$ — линейное преобразование, соответствующее матрице Якоби частных производных в этой точке. ^[2]

Полная производная как дифференциальная форма [ править ]

Когда рассматриваемая функция имеет действительное значение, полную производную можно преобразовать с использованием дифференциальных форм . Например, предположим, что $f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ является дифференцируемой функцией переменных $x_{1},\ldots ,x_{n}$ . Полная производная от $f$ в $a$ может быть записана в терминах матрицы Якобиана, которая в данном случае представляет собой матрицу-строку:

Df_{a}={\begin{bmatrix}{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}(a)&\cdots &{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}(a)\end{bmatrix}}.

Свойство линейной аппроксимации полной производной означает, что если

\Delta x={\begin{bmatrix}\Delta x_{1}&\cdots &\Delta x_{n}\end{bmatrix}}^{\mathsf {T}}

небольшой вектор (где ${\mathsf {T}}$ обозначает транспонирование, так что этот вектор является вектор-столбцом), тогда

f(a+\Delta x)-f(a)\approx Df_{a}\cdot \Delta x=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(a)\cdot \Delta x_{i}.

Эвристически это означает, что если $dx_{1},\ldots ,dx_{n}$ являются бесконечно малыми приращениями в координатных направлениях, то

df_{a}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(a)\cdot dx_{i}.

Фактически, понятие бесконечно малого, которое здесь носит чисто символический характер, может быть снабжено обширной математической структурой. Такие методы, как теория дифференциальных форм , эффективно дают аналитические и алгебраические описания объектов, таких как бесконечно малые приращения, $dx_{i}$ . Например, $dx_{i}$ можно вписать как линейный функционал в векторном пространстве $\mathbb {R} ^{n}$ . Оценка $dx_{i}$ по вектору $h$ в $\mathbb {R} ^{n}$ измеряет, насколько $h$ точки в $i$ координатное направление. Полная производная $df_{a}$ представляет собой линейную комбинацию линейных функционалов и, следовательно, сам является линейным функционалом. Оценка $df_{a}(h)$ измеряет, насколько $h$ точки в направлении, определенном $f$ в $a$ , и это направление является градиентом . Эта точка зрения делает полную производную экземпляром внешней производной .

Предположим теперь, что $f$ является векторной функцией, то есть $f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}$ . В этом случае компоненты $f_{i}$ из $f$ являются вещественными функциями, поэтому им соответствуют дифференциальные формы $df_{i}$ . Полная производная $df$ объединяет эти формы в один объект и, следовательно, является экземпляром векторнозначной дифференциальной формы .

Цепное правило деривативов для полных

Цепное правило имеет особенно элегантное выражение в терминах полных производных. Он говорит, что для двух функций $f$ и $g$ , полная производная сложной функции $f\circ g$ в $a$ удовлетворяет

d(f\circ g)_{a}=df_{g(a)}\cdot dg_{a}.

Если полные производные $f$ и $g$ отождествляются со своими матрицами Якоби, то композиция в правой части представляет собой простое умножение матриц. Это чрезвычайно полезно в приложениях, поскольку позволяет учитывать по существу произвольные зависимости между аргументами составной функции.

Пример: Дифференциация с прямыми зависимостями [ править ]

Предположим, что f — функция двух переменных, x и y . Если эти две переменные независимы, так что область определения f равна $\mathbb {R} ^{2}$ , то поведение f можно понять с точки зрения ее частных производных по направлениям x и y . Однако в некоторых ситуациях x и y могут быть зависимыми. Например, может случиться так, что f ограничено кривой $y=y(x)$ . В данном случае нас на самом деле интересует поведение сложной функции $f(x,y(x))$ . Частная производная f по x не дает истинной скорости изменения f по отношению к изменению x , поскольку изменение x обязательно меняет y . Однако цепное правило для полной производной учитывает такие зависимости. Писать $\gamma (x)=(x,y(x))$ . Тогда правило цепочки гласит:

d(f\circ \gamma )_{x_{0}}=df_{(x_{0},y(x_{0}))}\cdot d\gamma _{x_{0}}.

Выразив полную производную с помощью матриц Якоби, получим:

{\frac {df(x,y(x))}{dx}}(x_{0})={\frac {\partial f}{\partial x}}(x_{0},y(x_{0}))\cdot {\frac {\partial x}{\partial x}}(x_{0})+{\frac {\partial f}{\partial y}}(x_{0},y(x_{0}))\cdot {\frac {\partial y}{\partial x}}(x_{0}).

Подавление оценки на $x_{0}$ для наглядности мы можем также написать это как

{\frac {df(x,y(x))}{dx}}={\frac {\partial f}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial x}}+{\frac {\partial f}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial x}}.

Это дает простую формулу для производной $f(x,y(x))$ в терминах частных производных $f$ и производная от $y(x)$ .

Например, предположим

f(x,y)=xy.

Скорость изменения f по отношению к x обычно является частной производной f по x ; в этом случае,

{\frac {\partial f}{\partial x}}=y.

Однако, если y зависит от x , частная производная не дает истинной скорости изменения f при изменении x , поскольку частная производная предполагает, что y фиксирован. Предположим, мы ограничены линией

y=x.

Затем

f(x,y)=f(x,x)=x^{2},

а полная производная f по x равна

{\frac {df}{dx}}=2x,

который, как мы видим, не равен частной производной $\partial f/\partial x$ . Однако вместо того, чтобы сразу заменять y на x , мы также можем использовать правило цепочки, как указано выше:

{\frac {df}{dx}}={\frac {\partial f}{\partial x}}+{\frac {\partial f}{\partial y}}{\frac {dy}{dx}}=y+x\cdot 1=x+y=2x.

Пример: Дифференциация с помощью косвенных зависимостей [ править ]

Хотя часто можно выполнить замены для устранения косвенных зависимостей, правило цепочки обеспечивает более эффективный и общий метод. Предполагать $L(t,x_{1},\dots ,x_{n})$ является функцией времени $t$ и $n$ переменные $x_{i}$ которые сами зависят от времени. Тогда производная по времени $L$ является

{\frac {dL}{dt}}={\frac {d}{dt}}L{\bigl (}t,x_{1}(t),\ldots ,x_{n}(t){\bigr )}.

Цепное правило выражает эту производную через частные производные $L$ и производные по времени функций $x_{i}$ :

{\frac {dL}{dt}}={\frac {\partial L}{\partial t}}+\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial L}{\partial x_{i}}}{\frac {dx_{i}}{dt}}={\biggl (}{\frac {\partial }{\partial t}}+\sum _{i=1}^{n}{\frac {dx_{i}}{dt}}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}{\biggr )}(L).

используется в физике для калибровочного преобразования лагранжиана Это выражение часто как двух лагранжианов, которые отличаются только полной производной по времени функции времени и $n$ обобщенные координаты приводят к тем же уравнениям движения. Интересный пример касается разрешения причинности в отношении симметричной во времени теории Уилера-Фейнмана . Оператор в скобках (в последнем выражении выше) также называется оператором полной производной (по отношению к $t$ ).

Например, полная производная от $f(x(t),y(t))$ является

{\frac {df}{dt}}={\partial f \over \partial x}{dx \over dt}+{\partial f \over \partial y}{dy \over dt}.

Здесь нет $\partial f/\partial t$ срок с $f$ сам по себе не зависит от независимой переменной $t$ напрямую.

дифференциальное уравнение Полное

Полное дифференциальное уравнение — это дифференциальное уравнение, выраженное через полные производные. Поскольку внешняя производная не имеет координат, в том смысле, что этому можно придать технический смысл, такие уравнения являются внутренними и геометрическими .

к уравнений Приложение системам

В экономике общая производная обычно возникает в контексте системы уравнений. ^[1]^{: стр. 217–220.}Например, простая система спроса-предложения может определять количество q требуемого продукта как функцию D от его цены p и дохода потребителей I , причем последний является экзогенной переменной , и может определять количество, поставляемое производителями, как функцию S его цены и две экзогенные переменные стоимости ресурса r и w . Полученная система уравнений

q=D(p,I),

q=S(p,r,w),

определяет рыночное равновесное значение переменных p и q . Полная производная $dp/dr$ Например, соотношение p по отношению к r дает знак и величину реакции рыночной цены на экзогенную переменную r . В указанной системе всего шесть возможных полных производных, также известных в данном контексте как сравнительные статические производные : $dp / dr$ , $dp / dw$ , $dp / dI$ , $dq / dr$ , $dq / dw$ и $dq / dI$ . Полные производные находятся путем полного дифференцирования системы уравнений, деления, скажем, на $dr$ , рассмотрения $dq / dr$ и $dp / dr$ как неизвестных, установки $dI = dw = 0$ и решения двух полностью дифференцированных уравнений одновременно, обычно с помощью используя правило Крамера .

См. также [ править ]

Производная по направлению – мгновенная скорость изменения функции.
Производная Фреше - производная, определенная в нормированных пространствах - обобщение полной производной.
Производная Гато - обобщение концепции производной по направлению.
Обобщения производной - Фундаментальная конструкция дифференциального исчисления
Градиент # Полная производная - Многомерная производная (математика)

Ссылки [ править ]

^ Перейти обратно: ^а ^б Чан, Альфа К. (1984). Фундаментальные методы математической экономики (Третье изд.). МакГроу-Хилл. ISBN 0-07-010813-7 .
^ Авраам, Ральф ; Марсден, JE ; Ратиу, Тюдор (2012). Многообразия, тензорный анализ и приложения . Springer Science & Business Media. п. 78. ИСБН 9781461210290 .

А. Д. Полянин и В. Ф. Зайцев, Справочник по точным решениям обыкновенных дифференциальных уравнений (2-е издание) , Chapman & Hall/CRC Press, Бока-Ратон, 2003. ISBN 1-58488-297-2
С сайта thesaurus.maths.org полная производная.

Внешние ссылки [ править ]

[Chiang-1] Перейти обратно: ^а ^б Чан, Альфа К. (1984). Фундаментальные методы математической экономики (Третье изд.). МакГроу-Хилл. ISBN 0-07-010813-7 .

[2] Авраам, Ральф ; Марсден, JE ; Ратиу, Тюдор (2012). Многообразия, тензорный анализ и приложения . Springer Science & Business Media. п. 78. ИСБН 9781461210290 .

[1]

[2]

v т Это Анализ в топологических векторных пространствах
Basic concepts	Abstract Wiener space Classical Wiener space Bochner space Convex series Cylinder set measure Infinite-dimensional vector function Matrix calculus Vector calculus
Derivatives	Differentiable vector–valued functions from Euclidean space Differentiation in Fréchet spaces Fréchet derivative Total Functional derivative Gateaux derivative Directional Generalizations of the derivative Hadamard derivative Holomorphic Quasi-derivative
Measurability	Besov measure Cylinder set measure Canonical Gaussian Classical Wiener measure Measure like set functions infinite-dimensional Gaussian measure Projection-valued Vector Bochner / Weakly / Strongly measurable function Radonifying function
Integrals	Bochner Direct integral Dunford Gelfand–Pettis/Weak Regulated Paley–Wiener
Results	Cameron–Martin theorem Inverse function theorem Nash–Moser theorem Feldman–Hájek theorem No infinite-dimensional Lebesgue measure Sazonov's theorem Structure theorem for Gaussian measures
Related	Crinkled arc Covariance operator
Functional calculus	Borel functional calculus Continuous functional calculus Holomorphic functional calculus
Applications	Banach manifold (bundle) Convenient vector space Choquet theory Fréchet manifold Hilbert manifold