Голоморфное функциональное исчисление

В математике голоморфное функциональное исчисление — это функциональное исчисление с голоморфными функциями . То есть, учитывая голоморфную функцию f комплексного ( аргумента z и оператор T в том, чтобы построить оператор f , цель состоит T ), который естественным образом расширяет функцию f от комплексного аргумента до аргумента оператора. окрестности спектра T к Точнее, функциональное исчисление определяет гомоморфизм непрерывной алгебры голоморфных функций в ограниченным операторам.

В этой статье будет обсуждаться случай, когда T — ограниченный линейный оператор в некотором банаховом пространстве . В частности, T может быть квадратной матрицей со сложными элементами, и этот случай будет использоваться для иллюстрации функционального исчисления и предоставления некоторого эвристического понимания допущений, включенных в общую конструкцию.

Мотивация

Необходимость

В этом разделе T предполагается, что представляет собой матрицу размера n × n с комплексными элементами.

Если данная функция f имеет определенный специальный тип, существуют естественные способы определения f ( T ). Например, если

$p(z)=\sum _{i=0}^{m}a_{i}z^{i}$

является комплексным полиномом , можно просто заменить T на z и определить

$p(T)=\sum _{i=0}^{m}a_{i}T^{i}$

где Т ⁰ = I , единичная матрица . Это полиномиальное функциональное исчисление . Это гомоморфизм кольца многочленов в кольцо матриц размера n × n .

Немного расширяя полиномы, если f : C → C голоморфна всюду, т. е. целая функция , с рядом Маклорена

$f(z)=\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}z^{i},$

имитация полиномиального случая предполагает, что мы определяем

$f(T)=\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}T^{i}.$

Поскольку ряд Маклорена сходится всюду, указанный выше ряд будет сходиться в выбранной операторной норме . Примером этого является экспонента матрицы. Замена z на T в ряду Маклорена f ( z ) = e ^С дает

$f(T)=e^{T}=I+T+{\frac {T^{2}}{2!}}+{\frac {T^{3}}{3!}}+\cdots .$

Требование, чтобы ряд Маклорена функции f сходился всюду, можно несколько ослабить. Из вышесказанного видно, что все, что действительно необходимо, — это чтобы радиус сходимости ряда МакЛорена был больше ρ T ρ, операторной нормы T . Это несколько расширяет семейство f, для которого f ( T ) можно определить с использованием описанного выше подхода. Однако это не совсем удовлетворительно. Например, из теории матриц является фактом, что каждое неособое T имеет логарифм S в том смысле, что e ^С = Т. ​Желательно иметь функциональное исчисление, позволяющее определить для неособого T ln( T что оно совпадает с S. ) такое , Этого нельзя сделать с помощью степенного ряда , например логарифмического ряда.

$\ln(z+1)=z-{\frac {z^{2}}{2}}+{\frac {z^{3}}{3}}-\cdots ,$

сходится только на открытом единичном диске. Замена T на z в ряду не дает четко определенного выражения для ln( T + I ) для обратимого T + I с ρ T ρ ≥ 1. Таким образом, необходимо более общее функциональное исчисление.

спектр

Ожидается, что необходимым условием того, чтобы f ( T ) имело смысл, является то, определена в спектре T. что f Например, спектральная теорема для нормальных матриц утверждает, что каждая нормальная матрица унитарно диагонализуема. Это приводит к определению f ( T ), когда T является нормальным. Трудности возникают, если f (λ) не определена для некоторого собственного значения λ оператора T .

Другие указания также подкрепляют идею о том, что f ( T ) может быть определена только в том случае, если определена в спектре T. f Если T не обратима, то (напоминая, что T — матрица размера nxn) 0 — собственное значение. Поскольку натуральный логарифм не определен в точке 0, можно было бы ожидать, что ln( T ) не может быть определена естественным путем. Это действительно так. В качестве другого примера, для

$f(z)={\frac {1}{(z-2)(z-5)}}$

разумный способ вычисления f ( T ), казалось бы, был бы

$f(T)=(T-2I)^{-1}(T-5I)^{-1}.\,$

Однако это выражение не определено, если значения в правой части не существуют, то есть если 2 или 5 являются собственными значениями T обратные .

Для данной матрицы T собственные значения T определяют, в какой степени может быть определено f ( T ); т. е. f (λ) должно быть определено для всех собственных значений λ оператора T . Для общего ограниченного оператора это условие переводится как « должно быть определено в спектре T f ». Это предположение оказывается необходимым условием того, что отображение функционального исчисления f → f ( T ) обладает определенными желательными свойствами.

Функциональное исчисление для ограниченного оператора

Спектр σ(T) обозначен голубым цветом, а путь γ — красным.

Случай, когда спектр имеет несколько компонент связности и соответствующий путь γ.

Случай, когда спектр не является односвязным .

Пусть X комплексное банахово пространство, а L ( X ) обозначает семейство ограниченных операторов на X. —

Вспомним интегральную формулу Коши из классической теории функций. Пусть f : C → C голоморфна на некотором открытом множестве D ⊂ C и Γ — спрямляемая жорданова кривая в D , т. е. замкнутая кривая конечной длины без самопересечений. Предположим, что множество U точек, лежащих внутри Γ , т. е. таких, что число витков Γ вокруг z равно 1, содержится в D . Интегральная формула Коши гласит:

$f(z)={\frac {1}{2\pi i}}\int \nolimits _{\Gamma }{\frac {f(\zeta )}{\zeta -z}}\,d\zeta$

для z в U. любого

Идея состоит в том, чтобы распространить эту формулу на функции, принимающие значения в банаховом пространстве L ( X ). Интегральная формула Коши предполагает следующее определение (пока чисто формальное):

$f(T)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\Gamma }{\frac {f(\zeta )}{\zeta -T}}\,d\zeta ,$

где (ζ− T ) ⁻¹ является резольвентой T в точке ζ.

Предполагая, что этот банахов пространственнозначный интеграл определен соответствующим образом, предлагаемое функциональное исчисление подразумевает следующие необходимые условия:

1. Поскольку скалярная версия интегральной формулы Коши применима к голоморфному f , мы ожидаем, что это также относится и к случаю банахового пространства, где должно существовать подходящее понятие голоморфности для функций, принимающих значения в банаховом пространстве L ( X ).
2. Поскольку резольвентное отображение ζ → (ζ− T ) ⁻¹ не определена на спектре T , σ( T ), жордановая кривая Γ не должна пересекать σ( T ). Теперь резольвентное отображение будет голоморфным на дополнении к σ( T ). Таким образом, чтобы получить нетривиальное функциональное исчисление, Γ должен включать в себя (по крайней мере часть) σ( T ).
3. Функциональное исчисление должно быть четко определено в том смысле, что f ( T ) не должно зависеть от Γ.

Полное определение функционального исчисления выглядит следующим образом: Для T ∈ L ( X ) определите

$f(T)={\frac {1}{2\pi i}}\int \nolimits _{\Gamma }{\frac {f(\zeta )}{\zeta -T}}\,d\zeta ,$

где f — голоморфная функция, определенная на открытом множестве D ⊂ C , содержащем σ( T ), а Γ = {γ ₁ , ..., γ _m } — набор непересекающихся жордановых кривых в D, ограничивающий «внутреннее» множество U такой, что σ( T ) лежит в U и каждый γ _i ориентирован в граничном смысле.

Открытое множество D может меняться в зависимости от f и не обязательно быть связным или просто связным , как показано на рисунках справа.

Следующие подразделы уточняют понятия, использованные в определении, и показывают, что f ( T ) действительно хорошо определено при данных предположениях.

Банахов интеграл со значениями в пространстве

См. Интеграл Бохнера

Для непрерывной функции g, определенной в открытой окрестности Γ и принимающей значения в L ( X ), контурный интеграл ∫ _Γ g определяется так же, как и для скалярного случая. Можно параметризовать каждое γi _∈ Γ вещественным интервалом [ a , b ], а интеграл является пределом сумм Римана, полученных из все более мелких разбиений [ a , b ]. Суммы Римана сходятся в равномерной операторной топологии . Мы определяем

$\int _{\Gamma }g=\sum \nolimits _{i}\int _{\gamma _{i}}g.$

В определении функционального исчисления f предполагается голоморфной в открытой окрестности Γ. Ниже будет показано, что резольвентное отображение голоморфно на резольвентном множестве. Следовательно, интеграл

${\frac {1}{2\pi i}}\int _{\Gamma }{\frac {f(\zeta )}{\zeta -T}}\,d\zeta$

имеет смысл.

Резольвентное отображение

Отображение ζ → (ζ− T ) ⁻¹ называется отображением T . резольвентным Оно определено в дополнении к σ( и обозначается ρ ( T), называется резольвентным множеством T T ) .

Большая часть классической теории функций зависит от свойств интеграла

${\frac {1}{2\pi i}}\int _{\Gamma }{\frac {d\zeta }{\zeta -z}}.$

Голоморфное функциональное исчисление аналогично тому, что резольвентное отображение играет решающую роль в получении свойств, необходимых для хорошего функционального исчисления. В этом подразделе описываются свойства резольвентной карты, которые важны в этом контексте.

1-я резольвентная формула

Непосредственный расчет показывает, что для z ₁ , z ₂ ∈ ρ( T )

$(z_{1}-T)^{-1}-(z_{2}-T)^{-1}=(z_{1}-T)^{-1}(z_{2}-z_{1})(z_{2}-T)^{-1}.\,$

Поэтому,

$(z_{1}-T)^{-1}(z_{2}-T)^{-1}={\frac {(z_{1}-T)^{-1}-(z_{2}-T)^{-1}}{(z_{2}-z_{1})}}.$

Это уравнение называется первой резольвентной формулой . Формула показывает ( z ₁ - T ) ⁻¹ и ( z ₂ - Т ) ⁻¹ коммутировать, что намекает на то, что образом функционального исчисления будет коммутативная алгебра. Полагая , что z ₂ → z ₁ , резольвентное отображение (комплексно) дифференцируемо при каждом z ₁ ∈ ρ( T ); поэтому интеграл в выражении функционального исчисления сходится в L ( X ).

Аналитика

В отношении резольвентного отображения можно сделать более сильное утверждение, чем дифференцируемость. Резольвентное множество ρ( T ) на самом деле является открытым множеством, на котором резольвентное отображение является аналитическим. Это свойство будет использоваться в последующих рассуждениях функционального исчисления. Для проверки этого утверждения пусть z ₁ ∈ ρ( T ) и обратим внимание на формальное выражение

${\frac {1}{z_{2}-T}}={\frac {1}{z_{1}-T}}\cdot {\frac {1}{1-{\frac {z_{1}-z_{2}}{z_{1}-T}}}}$

предлагает нам рассмотреть

$(z_{1}-T)^{-1}\sum _{n\geq 0}\left((z_{1}-z_{2})(z_{1}-T)^{-1}\right)^{n}$

для ( z ₂ - Т ) ⁻¹ . Приведенный выше ряд сходится в L ( X ), из чего следует существование ( z ₂ − T ) ⁻¹ , если

$|z_{1}-z_{2}|<{\frac {1}{\left\|(z_{1}-T)^{-1}\right\|}}.$

Следовательно, резольвентное множество ρ( T ) открыто, и выражение степенного ряда на открытом диске с центром в точке z ₁ ∈ ρ( T ) показывает, что резольвентное отображение аналитично на ρ( T ).

Серия Неймана

Другое выражение для ( z − T ) ⁻¹ тоже будет полезно. Формальное выражение

${\frac {1}{z-T}}={\frac {1}{z}}\cdot {\frac {1}{1-{\frac {T}{z}}}}$

заставляет задуматься

${\frac {1}{z}}\sum _{n\geq 0}\left({\frac {T}{z}}\right)^{n}.$

Этот ряд, ряд Неймана , сходится к ( z − T ) ⁻¹ если

$\left\|{\frac {T}{z}}\right\|<1,\;{\text{i.e.}}\;|z|>\|T\|.$

Компактность σ( T )

Из двух последних свойств резольвенты можно вывести, что спектр σ( ) ограниченного оператора T является компактным подмножеством C. T Следовательно, для любого открытого множества D такого, что σ( T ) ⊂ D , существует положительно ориентированная и гладкая система жордановых кривых Γ = {γ ₁ , ..., γ _m } такая, что σ( T ) находится внутри Γ содержится и дополнение к D вне Γ. Следовательно, для определения функционального исчисления действительно можно найти подходящее семейство жордановых кривых для каждого f , голоморфного на некотором D .

Четкая определенность

Предыдущее обсуждение показало, что интеграл имеет смысл, т.е. подходящий набор жордановых кривых Γ существует для каждого f и интеграл сходится в соответствующем смысле. Не было показано, что определение функционального исчисления однозначно, т. е. не зависит от выбора Γ. Эту проблему мы сейчас пытаемся решить.

Предварительный факт

Для набора жордановых кривых Γ = {γ ₁ , ..., γ _m } и точки a ∈ C число витков Γ относительно a является суммой чисел витков его элементов. Если мы определим:

$n(\Gamma ,a)=\sum \nolimits _{i}n(\gamma _{i},a),$

следующая теорема принадлежит Коши:

Теорема. Пусть G ⊂ C — открытое множество и Γ ⊂ G . Если g : G → C голоморфно и для всех a в дополнении к n G ( Γ, a ) = 0, то контурный интеграл от g на Γ равен нулю.

Нам понадобится векторный аналог этого результата, когда g принимает значения в L ( X ). Для этого пусть g : G → L ( X ) голоморфен с теми же предположениями на Γ. Идея состоит в том, чтобы использовать двойственное пространство L ( X )*, к L ( X ), и перейти к теореме Коши для скалярного случая.

Рассмотрим интеграл

$\int _{\Gamma }g\in L(X),$

если мы сможем показать, что все φ ∈ L ( X )* равны нулю в этом интеграле, то сам интеграл должен быть равен нулю. Поскольку φ ограничен и интеграл сходится по норме, имеем:

$\phi \left(\int _{\Gamma }g\right)=\int _{\Gamma }\phi (g).$

Но g голоморфна, следовательно, композиция φ( g ): G ⊂ C → C голоморфна и, следовательно, по теореме Коши

$\int _{\Gamma }\phi (g)=0.$

Главный аргумент

Теперь ясность определения функционального исчисления является простым следствием. Пусть D — открытое множество, содержащее σ( T ). Предположим, что Γ = {γ _i } и Ω = {ω _j } — два (конечных) набора жордановых кривых, удовлетворяющих предположению, данному для функционального исчисления. Мы хотим показать

$\int _{\Gamma }{\frac {f(\zeta )}{\zeta -T}}\,d\zeta =\int _{\Omega }{\frac {f(\zeta )}{\zeta -T}}\,d\zeta .$

Пусть Ω′ получена из Ω путем изменения ориентации каждого ω _j , тогда

$\int _{\Omega }{\frac {f(\zeta )}{\zeta -T}}\,d\zeta =-\int _{\Omega '}{\frac {f(\zeta )}{\zeta -T}}\,d\zeta .$

Рассмотрим объединение двух наборов Γ ∪ Ω′. И Γ ∪ Ω′, и σ( T ) компактны. Итак, существует некоторое открытое множество U, содержащее Γ ∪ Ω′ такое, что σ( T ) лежит в дополнении к U . Любой a в дополнении к U имеет номер обмотки n (Γ ∪ Ω′, a ) = 0 и функция

$\zeta \rightarrow {\frac {f(\zeta )}{\zeta -T}}$

голоморфен на U . Таким образом, векторная версия теоремы Коши дает

$\int _{\Gamma \cup \Omega '}{\frac {f(\zeta )}{\zeta -T}}\,d\zeta =0$

т.е.

$\int _{\Gamma }{\frac {f(\zeta )}{\zeta -T}}\,d\zeta +\int _{\Omega '}{\frac {f(\zeta )}{\zeta -T}}\,d\zeta =\int _{\Gamma }{\frac {f(\zeta )}{\zeta -T}}\,d\zeta -\int _{\Omega }{\frac {f(\zeta )}{\zeta -T}}\,d\zeta =0.$

Следовательно, функциональное исчисление четко определено.

Следовательно, если f1 ₎ и f2 _T — две голоморфные функции, определенные в окрестностях D1 _точки и D2 _{) ,} σ( T они равны на открытом множестве, содержащем σ( , то ( _f1 T ) = f2 _и ( T). ). Более того, даже несмотря на то, что D ₁ может не быть D ₂ , оператор ( f ₁ + f ₂ ) ( T ) четко определен. То же самое справедливо и для определения ( f ₁ · f ₂ )( T ).

В предположении, что f голоморфна над открытой окрестностью σ( T )

До сих пор полная сила этого предположения не была использована. Для сходимости интеграла использовалась только непрерывность. Для корректности нам нужно было только, чтобы f была голоморфной на открытом множестве U, содержащем контуры Γ ∪ Ω′, но не обязательно σ( T ). Это предположение будет применено во всей его полноте при показе свойства гомоморфизма функционального исчисления.

Свойства

Полиномиальный случай

Линейность отображения f ↦ f ( T ) следует из сходимости интеграла и непрерывности линейных операций в банаховом пространстве.

Мы восстанавливаем полиномиальное функциональное исчисление, когда f ( z ) = Σ _{0 ≤ i ≤ m} a _i z ^я является полиномом. Чтобы доказать это, достаточно показать, что для k ≥ 0 и f ( z ) = z ^к , верно, что f ( T ) = T ^к , то есть

${\frac {1}{2\pi i}}\int _{\Gamma }{\frac {\zeta ^{k}}{\zeta -T}}\,d\zeta =T^{k}$

для любого подходящего Γ, содержащего σ( T ). Выберите Γ как круг радиуса, превышающего операторную норму T . Как указано выше, на таком Γ резольвентное отображение допускает представление степенного ряда

$(z-T)^{-1}={\frac {1}{z}}\sum _{n\geq 0}\left({\frac {T}{z}}\right)^{n}.$

Замена дает

$f(T)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\Gamma }\left(\sum _{n\geq 0}{\frac {T^{n}}{\zeta ^{n+1-k}}}\right)\,d\zeta$

который

$\sum _{n\geq 0}T^{n}\cdot {\frac {1}{2\pi i}}\left(\int _{\Gamma }{\frac {d\zeta }{\zeta ^{n+1-k}}}\right)=\sum _{n\geq 0}T^{n}\cdot \delta _{nk}=T^{k}.$

δ — это символ дельты Кронекера.

Свойство гомоморфизма

Для любых f ₁ и f _2, удовлетворяющих соответствующим предположениям, свойство гомоморфизма гласит:

$f_{1}(T)f_{2}(T)=(f_{1}\cdot f_{2})(T).\,$

Мы обрисуем аргумент, который использует первую резольвентную формулу и предположения, наложенные на f . Сначала выберем жордановые кривые так, чтобы Γ ₁ лежала внутри Γ ₂ . Причина этого станет ясна ниже. Начните с непосредственного расчета

${\begin{aligned}f_{1}(T)f_{2}(T)&=\left({\frac {1}{2\pi i}}\int _{\Gamma _{1}}{\frac {f_{1}(\zeta )}{\zeta -T}}d\zeta \right)\left({\frac {1}{2\pi i}}\int _{\Gamma _{2}}{\frac {f_{2}(\omega )}{\omega -T}}\,d\omega \right)\\&={\frac {1}{(2\pi i)^{2}}}\int _{\Gamma _{1}}\int _{\Gamma _{2}}{\frac {f_{1}(\zeta )f_{2}(\omega )}{(\zeta -T)(\omega -T)}}\;d\omega \,d\zeta \\&={\frac {1}{(2\pi i)^{2}}}\int _{\Gamma _{1}}\int _{\Gamma _{2}}f_{1}(\zeta )f_{2}(\omega )\left({\frac {(\zeta -T)^{-1}-(\omega -T)^{-1}}{\omega -\zeta }}\right)d\omega \,d\zeta &&{\text{First Resolvent Formula}}\\&={\frac {1}{(2\pi i)^{2}}}\left\{\left(\int _{\Gamma _{1}}{\frac {f_{1}(\zeta )}{\zeta -T}}\left[\int _{\Gamma _{2}}{\frac {f_{2}(\omega )}{\omega -\zeta }}d\omega \right]d\zeta \right)-\left(\int _{\Gamma _{2}}{\frac {f_{2}(\omega )}{\omega -T}}\left[\int _{\Gamma _{1}}{\frac {f_{1}(\zeta )}{\omega -\zeta }}d\zeta \right]d\omega \right)\right\}\\&={\frac {1}{(2\pi i)^{2}}}\int _{\Gamma _{1}}{\frac {f_{1}(\zeta )}{\zeta -T}}\left[\int _{\Gamma _{2}}{\frac {f_{2}(\omega )}{\omega -\zeta }}d\omega \right]d\zeta \end{aligned}}$

Последняя строка следует из того, что ω ∈ Γ ₂ лежит вне Γ ₁ и f ₁ голоморфна в некоторой открытой окрестности σ( T ), и поэтому второе слагаемое обращается в нуль. Таким образом, мы имеем:

${\begin{aligned}f_{1}(T)f_{2}(T)&={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\Gamma _{1}}{\frac {f_{1}(\zeta )}{\zeta -T}}\left[{\frac {1}{2\pi i}}\int _{\Gamma _{2}}{\frac {f_{2}(\omega )}{\omega -\zeta }}d\omega \right]d\zeta \\&={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\Gamma _{1}}{\frac {f_{1}(\zeta )}{\zeta -T}}\left[f_{2}(\zeta )\right]d\zeta &&{\text{Cauchy's Integral Formula}}\\&={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\Gamma _{1}}{\frac {f_{1}(\zeta )f_{2}(\zeta )}{\zeta -T}}d\zeta \\&=(f_{1}\cdot f_{2})(T)\end{aligned}}$

относительно

Пусть G ⊂ C открыт с σ( T ) ⊂ G . Предположим, что последовательность { fk _G } голоморфных функций на G сходится равномерно на компактных подмножествах ( иногда это называют компактной сходимостью ). Тогда { fk _: ( T )} сходится в L ( X )

Предположим для простоты, что Γ состоит только из одной жордановой кривой. Мы оцениваем

${\begin{aligned}\left\|f_{k}(T)-f_{l}(T)\right\|&={\frac {1}{2\pi }}\left\|\int _{\Gamma }{\frac {(f_{k}-f_{l})(\zeta )}{\zeta -T}}d\zeta \right\|\\&\leq {\frac {1}{2\pi }}\int _{\Gamma }\left|(f_{k}-f_{l})(\zeta )\right|\cdot \left\|(\zeta -T)^{-1}\right\|d\zeta \end{aligned}}$

Объединив предположение равномерной сходимости и различные соображения непрерывности, мы видим, что приведенное выше стремится к 0 при k , l → ∞. Итак, { f _k ( T )} является Коши, следовательно, сходится.

Уникальность

Подводя итог, мы показали, что голоморфное функциональное исчисление f → f ( T ) обладает следующими свойствами:

1. Он расширяет полиномиальное функциональное исчисление.
2. Это гомоморфизм алгебры алгебры голоморфных функций, определенных в окрестности σ( T ) в L ( X ).
3. Он сохраняет равномерную сходимость на компактах.

Можно доказать, что исчисление, удовлетворяющее указанным выше свойствам, уникально.

что обсуждалось до сих пор, остается дословным, если семейство ограниченных операторов L ( X ) заменить банаховой алгеброй A. Заметим, что все , же для элемента из A. Функциональное исчисление может быть определено точно так

соображения

Теорема

Известно, что теорема о спектральном отображении для полиномиального функционального исчисления справедлива : для любого полинома p ( σ ) p ( T )) = p ( σ ( T ). Это можно распространить на голоморфное исчисление. Чтобы показать f ( σ ( T )) ⊂ σ ( f ( T )), пусть µ — любое комплексное число. В результате комплексного анализа существует функция g, голоморфная в окрестности σ ( T ), такая, что

$f(z)-f(\mu )=(z-\mu )g(z).\,$

Согласно свойству гомоморфизма, f ( T ) − f ( µ ) = ( T − µ ) g ( T ). Следовательно, µ ∈ σ ( T ) влечет f ( µ ) ∈ σ ( f ( T )).

Что касается другого включения, если µ не принадлежит f ( σ ( T )), то функциональное исчисление применимо к

$g(z)={\frac {1}{f(z)-\mu }}.$

Итак, грамм ( Т )( ж ( Т ) - μ ) знак равно я . Следовательно, µ не лежит в σ ( f ( T )).

Спектральные проекции

Основная идея заключается в следующем. Предположим, что K — подмножество σ ( T ) и U , V — непересекающиеся окрестности K и σ ( T ) \ K соответственно. Определим е ( z ) = 1, если z ∈ U , и е ( z ) = 0, если z ∈ V . Тогда e — голоморфная функция с [ e ( z )] ² = e ( z ), и поэтому для подходящего контура Γ, лежащего в U ∪ V и охватывающего σ( T ), линейный оператор

$e(T)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\Gamma }{\frac {e(z)}{z-T}}\,dz$

будет ограниченной проекцией, которая коммутирует с T и предоставляет много полезной информации.

Оказывается, этот сценарий возможен тогда и только тогда, когда K одновременно открыт и замкнут в топологии подпространства на σ ( T ). Более того, множество V можно смело игнорировать, поскольку e на нем равно нулю и, следовательно, не дает вклада в интеграл. Проекция e ( T ) называется спектральной проекцией T в точке K и обозначается P ( K ; T ). Таким образом, каждое подмножество K σ формулой ( T ), которое является одновременно открытым и замкнутым в топологии подпространства, имеет связанный спектральный проектор, заданный

$P(K;T)={\frac {1}{2\pi i}}\int \nolimits _{\Gamma }{\frac {dz}{z-T}}$

где Γ — контур, охватывающий K , но не охватывающий другие точки σ( T ).

Поскольку P = P ( K ; T ) ограничено и коммутирует с T, это позволяет T выразить в форме U ⊕ V , где U = T | _PX и V = Т | _{(1- п ) Икс} . И PX , и (1 − P ) X являются инвариантными подпространствами T, причем σ ( U ) = K и σ ( V ) = σ ( T ) \ K . Ключевым свойством является взаимная ортогональность. Если L — другое открытое и замкнутое множество в топологии подпространства на σ ( T ), то P ( K ; T ) P ( L ; T ) = P ( L ; T ) P ( K ; T ) = P ( K ∩ L ; T ), который равен нулю, если K и L не пересекаются.

Спектральные проекции имеют множество применений. Любая изолированная точка σ( T ) одновременно открыта и замкнута в топологии подпространства и, следовательно, имеет соответствующую спектральную проекцию. Когда X имеет конечную размерность, σ( T ) состоит из изолированных точек, и результирующие спектральные проекции приводят к варианту жордановой нормальной формы , в которой все жордановые блоки, соответствующие одному и тому же собственному значению, объединяются. Другими словами, на каждое собственное значение приходится ровно один блок. В следующем разделе это разложение рассматривается более подробно.

Иногда спектральные проекции наследуют свойства своих родительских операторов. Например, если T — положительная матрица со спектральным радиусом r, то теорема Перрона–Фробениуса утверждает, что r ∈ σ ( T ). Соответствующая спектральная проекция P = P ( r ; T ) также положительна, и по взаимной ортогональности ни одна другая спектральная проекция не может иметь положительную строку или столбец. Фактически TP = rP и ( T / r ) ^н → P при n → ∞, поэтому эта проекция P (которая называется проекцией Перрона) аппроксимирует ( T / r ) ^н по мере увеличения n , и каждый из его столбцов является собственным вектором T .

В более общем смысле, если T — компактный оператор, то все ненулевые точки в σ( T ) изолированы, и поэтому любое их конечное подмножество можно использовать для разложения T . Соответствующая спектральная проекция всегда имеет конечный ранг. Эти операторы из L ( X ) со схожими спектральными характеристиками известны как операторы Рисса . Многие классы операторов Рисса (включая компактные операторы) являются идеалами в L ( X ) и предоставляют богатое поле для исследований. Однако если X — гильбертово пространство, существует ровно один замкнутый идеал, зажатый между операторами Рисса и операторами конечного ранга.

Большую часть предыдущего обсуждения можно провести в более общем контексте комплексной банаховой алгебры . Здесь спектральные проекции называются спектральными идемпотентами, поскольку для них больше не может быть места, на которое они могли бы проецироваться.

Инвариантное разложение подпространства

Если спектр σ ( T ) несвязен, X можно разложить на инвариантные подпространства T с помощью функционального исчисления. Пусть σ ( T ) — дизъюнктное объединение

$\sigma (T)=\bigcup _{i=1}^{m}F_{i}.$

Определим e _i некоторой окрестности, которая содержит только компонент Fi _{равным 1 в} и 0 в другом месте. свойству гомоморфизма ei _T ( По ) является проектором для всех i . самом деле это просто спектральная проекция P ( Fi _На ; T ), описанная выше. Отношение e _i ( T ) T = Te _i ( T ) означает, что диапазон каждого e _i ( T ), обозначенный X _i , является инвариантным подпространством T . С

$\sum _{i}e_{i}(T)=I,\,$

X можно выразить через эти дополнительные подпространства:

$X=\sum _{i}X_{i}.\,$

Аналогично, T _i ограничен X i если _, то

$T=\sum _{i}T_{i}.\,$

Рассмотрим прямую сумму

$X'=\bigoplus _{i}X_{i}.$

С нормой

$\left\|\bigoplus _{i}x_{i}\right\|=\sum _{i}\|x_{i}\|,$

X' — банахово пространство. Отображение R : X' → X , определенное формулой

$R\left(\bigoplus _{i}x_{i}\right)=\sum _{i}x_{i}$

является изоморфизмом банахового пространства, и мы видим, что

$RTR^{-1}=\bigoplus _{i}T_{i}.$

Это можно рассматривать как блочную диагонализацию T .

Когда X конечномерен, σ ( T ) = { λ _i } — конечное множество точек на комплексной плоскости. Выберите e _i равным 1 на открытом диске, содержащем только λ _i из спектра. Соответствующая блочно-диагональная матрица

$\bigoplus _{i}T_{i}$

является канонической формой T жордановой .

Связанные результаты

При более сильных предположениях, когда T — нормальный оператор, действующий в гильбертовом пространстве , область функционального исчисления может быть расширена. При сравнении двух результатов можно провести грубую аналогию со связью между спектральной теоремой для нормальных матриц и жордановой канонической формой. Когда T является нормальным оператором, можно получить непрерывное функциональное исчисление , то есть можно вычислить f ( T ), где f является непрерывной функцией, определенной на σ ( T ). Используя аппарат теории меры, это можно распространить на функции, которые только измеримы (см. Борелевское функциональное исчисление ). В этом контексте, если E ⊂ σ( T ) является борелевским множеством и 1 _E является характеристической функцией E , оператор проектирования 1 _E (T) является уточнением ei _{) ,} (T обсуждавшегося выше.

Функциональное исчисление Бореля распространяется на неограниченные самосопряженные операторы в гильбертовом пространстве.

Говоря немного более абстрактным языком, голоморфное функциональное исчисление можно распространить на любой элемент банаховой алгебры , используя по существу те же аргументы, что и выше. Аналогично непрерывное функциональное исчисление справедливо для нормальных элементов в любой C*-алгебре и измеримое функциональное исчисление для нормальных элементов в любой алгебре фон Неймана .

Неограниченные операторы

Голоморфное функциональное исчисление можно определить аналогичным образом для неограниченных замкнутых операторов с непустым резольвентным множеством.

См. также

• Резольвентный формализм
• Жордановая каноническая форма , где довольно подробно обсуждается конечномерный случай.

Ссылки

• Н. Данфорд и Дж. Т. Шварц, Линейные операторы, Часть I: Общая теория , Interscience, 1958.
• Стивен Дж. Кранц. Словарь алгебры, арифметики и тригонометрии . ЦРК Пресс, 2000. ISBN   1-58488-052-X .
• Исраэль Гоберг, Сеймур Голдберг и Маринус А. Каашук, Классы линейных операторов: Том 1 . Биркхаузер, 1991. ISBN   978-0817625313 .