Обратимая матрица

В линейной алгебре nxn называется невырожденной размером матрица размером обратимой ( также неособой , A или редко регулярной ), если существует nxn что квадратная квадратная матрица B такая,

$$\mathbf {AB} =\mathbf {BA} =\mathbf {I} _{n},$$

где I _n обозначает n на размером n единичную матрицу , а используемое умножение является обычным матричным умножением . Если это так, то матрица B однозначно определяется A и называется (мультипликативной) обратной матрицей A , обозначаемой A. ⁻¹ . Инверсия матрицы — это процесс поиска матрицы, которая при умножении на исходную матрицу дает единичную матрицу.

Над полем квадратная матрица, не являющаяся обратимой, называется сингулярной или вырожденной . Квадратная матрица с элементами в поле сингулярна тогда и только тогда, когда ее определитель равен нулю. Сингулярные матрицы встречаются редко в том смысле, что если элементы квадратной матрицы случайно выбраны из любой ограниченной области на числовой прямой или комплексной плоскости , вероятность того, что матрица сингулярна, равна 0, то есть она «почти никогда» не будет сингулярной. Неквадратные матрицы, т. е. m матрицы размером на n , для которых m ≠ n , не имеют обратной. Однако в некоторых случаях такая матрица может иметь левую обратную или правую обратную . Если A имеет размер m - n и ранг A m равен n , ( n ≤ ) , то A имеет левую обратную, размера n - m матрицу B такую, что BA = I _n . Если A имеет ранг m ( m ≤ n ), то у него есть правая обратная размером n x m матрица B такая, что AB = I _m .

Хотя наиболее распространенным случаем являются матрицы над действительными или комплексными числами, все эти определения могут быть даны для матриц над любой алгебраической структурой, оснащенной операциями сложения и умножения (т. е. кольцами ). Однако в случае коммутативности кольца условием обратимости квадратной матрицы является то, что ее определитель обратим в кольце, что, как правило, является более строгим требованием, чем то, что она не равна нулю. Для некоммутативного кольца обычный определитель не определен. Условия существования левообратных или правообратных более сложны, поскольку над кольцами не существует понятия ранга.

Набор обратимых матриц размера n × n вместе с операцией умножения матриц и элементами из кольца R образует группу — общую линейную группу степени n , обозначаемую GL _n ( R ) .

Свойства

Теорема об обратимой матрице

Пусть A — квадратная матрица размера n × n над полем K (например, поле $\mathbb {R}$ действительных чисел). Следующие утверждения эквивалентны, т.е. они либо все истинны, либо все ложны для любой данной матрицы:

• A обратима, т. е. она имеет обратную относительно умножения матриц, т. е. существует B такой, что AB = I _n = BA . (В этом утверждении «обратимый» можно эквивалентно заменить на «обратимый влево» или «обратимый в правую сторону», в которых рассматриваются односторонние инверсии.)
• Линейное преобразование, отображающее x в Ax , обратимо, т. е. имеет обратное относительно композиции функций. (Здесь опять же слово «обратимый» можно эквивалентно заменить либо «обратимым влево», либо «обратимым вправо»)
• Транспонирование ​ А ^Т является обратимой матрицей.
• A эквивалентен строкам по n размером на n единичной матрице I _n .
• A эквивалентен столбцам по n размером на n единичной матрице I _n .
• A имеет n поворотных позиций .
• A имеет полный ранг : ранг A = n .
• A имеет тривиальное ядро : ker( A ) = {0} .
• Линейное преобразование, отображающее x в Ax, является биективным; то есть уравнение Ax = b имеет ровно одно решение для каждого b из K ^н . (Здесь слово «биективное» можно эквивалентно заменить на « инъективное » или « сюръективное »).
• Столбцы A образуют основу ​ K ^н . (В этом утверждении «базис» можно эквивалентно заменить либо «линейно независимым набором», либо «охватывающим набором»).
• Строки A образуют основу K ^н . (Аналогично здесь «базис» можно эквивалентно заменить либо «линейно независимым множеством», либо «охватывающим множеством»).
• Определитель 0 A : не равен нулю det A ≠ . (В общем, квадратная матрица над коммутативным кольцом обратима тогда и только тогда, когда ее определитель является единицей (т.е. мультипликативно обратимым элементом) этого кольца.
• Число 0 не является значением A . собственным (В более общем смысле, ряд $\lambda$ является собственным значением матрицы A, если матрица $\mathbf {A} -\lambda \mathbf {I}$ имеет единственное число, где I — единичная матрица.)
• Матрица A может быть выражена как конечное произведение элементарных матриц .

Другая недвижимость

выполняются следующие свойства Кроме того, для обратимой матрицы A :

• $(\mathbf {A} ^{-1})^{-1}=\mathbf {A}$
• $(k\mathbf {A} )^{-1}=k^{-1}\mathbf {A} ^{-1}$ для ненулевого скаляра k
• $(\mathbf {Ax} )^{+}=\mathbf {x} ^{+}\mathbf {A} ^{-1}$ если A имеет ортонормированные столбцы, где ⁺ обозначает обратную операцию Мура – ​​Пенроуза , а x - вектор
• $(\mathbf {A} ^{\mathrm {T} })^{-1}=(\mathbf {A} ^{-1})^{\mathrm {T} }$
• Для любых обратимых × n n A и B размером матриц $(\mathbf {AB} )^{-1}=\mathbf {B} ^{-1}\mathbf {A} ^{-1}.$ В более общем смысле, если $\mathbf {A} _{1},\dots ,\mathbf {A} _{k}$ являются обратимыми n матрицами размера на n , то $(\mathbf {A} _{1}\mathbf {A} _{2}\cdots \mathbf {A} _{k-1}\mathbf {A} _{k})^{-1}=\mathbf {A} _{k}^{-1}\mathbf {A} _{k-1}^{-1}\cdots \mathbf {A} _{2}^{-1}\mathbf {A} _{1}^{-1}.$
• $\det \mathbf {A} ^{-1}=(\det \mathbf {A} )^{-1}.$

Строки обратной матрицы V матрицы U ортонормированы . столбцам U (и наоборот, меняя местами строки на столбцы) Чтобы убедиться в этом, предположим, что UV = VU = I , где строки V обозначены как $v_{i}^{\mathrm {T} }$ и столбцы U как $u_{j}$ для $1\leq i,j\leq n.$ Тогда очевидно, что евклидов внутренний продукт любых двух $v_{i}^{\mathrm {T} }u_{j}=\delta _{i,j}.$ набор ортогональных векторов (но не обязательно ортонормированных векторов) столбцам U. Это свойство также может быть полезно при построении обратной квадратной матрицы в некоторых случаях, когда известен В этом случае можно применить итерационный процесс Грама – Шмидта к этому исходному набору, чтобы определить строки обратного V .

Матрица, обратная самой себе (т. е. матрица A такая, что A = A ⁻¹ , и, следовательно, A ² = I ), называется инволютивной матрицей .

По отношению к своему адъюгату

Сопряжение можно матрицы A использовать для нахождения обратной матрицы A следующим образом:

Если A — обратимая матрица, то

$\mathbf {A} ^{-1}={\frac {1}{\det(\mathbf {A} )}}\operatorname {adj} (\mathbf {A} ).$

По отношению к единичной матрице

следует Из ассоциативности умножения матриц , что если

$\mathbf {AB} =\mathbf {I} \$

для конечных квадратных матриц A и B , то также

$\mathbf {BA} =\mathbf {I} \$

Плотность

В поле действительных чисел набор сингулярных матриц размером n × n , рассматриваемый подмножество как $\mathbb {R} ^{n\times n},$ является нулевым множеством , то есть имеет Лебега нулевую меру . Это верно, поскольку сингулярные матрицы являются корнями определяющей функции. Это непрерывная функция , поскольку она является полиномом от элементов матрицы. на языке теории меры Таким образом , почти все матрицы размером n × n обратимы.

Более того, n на обратимые матрицы размером n представляют собой плотное открытое множество в топологическом пространстве всех n матриц размером на n . Эквивалентно, множество сингулярных матриц замкнуто и нигде не плотно в пространстве n -n матриц .

Однако на практике можно встретить необратимые матрицы. А в численных расчетах матрицы, которые являются обратимыми, но близкими к необратимой матрице, все же могут быть проблематичными; такие матрицы называются плохо обусловленными .

Примеры

Примером ранга n - 1 является необратимая матрица.

$\mathbf {A} ={\begin{pmatrix}2&4\\2&4\end{pmatrix}}.$

Мы видим, что ранг этой матрицы 2х2 равен 1, что соответствует n - 1 ≠ n , поэтому она необратима.

Рассмотрим следующую матрицу 2х2:

$\mathbf {B} ={\begin{pmatrix}-1&{\tfrac {3}{2}}\\1&-1\end{pmatrix}}.$

Матрица $\mathbf {B}$ является обратимым. Чтобы проверить это, можно вычислить, что ${\textstyle \det \mathbf {B} =-{\frac {1}{2}}}$, что не равно нулю.

В качестве примера необратимой или сингулярной матрицы рассмотрим матрицу

$\mathbf {C} ={\begin{pmatrix}-1&{\tfrac {3}{2}}\\{\tfrac {2}{3}}&-1\end{pmatrix}}.$

Определитель $\mathbf {C}$ равно 0, что является необходимым и достаточным условием необратимости матрицы.

Методы обращения матрицы

Исключение по Гауссу

Метод исключения Гаусса — полезный и простой способ вычисления обратной матрицы. Чтобы вычислить обратную матрицу с помощью этого метода, сначала создается расширенная матрица , левая часть которой является матрицей для инвертирования, а правая часть — единичной матрицей . Затем используется метод исключения Гаусса для преобразования левой части в единичную матрицу, в результате чего правая часть становится обратной входной матрице.

Например, возьмем следующую матрицу: $\mathbf {A} ={\begin{pmatrix}-1&{\tfrac {3}{2}}\\1&-1\end{pmatrix}}.$

Первым шагом для вычисления обратной является создание расширенной матрицы $\left({\begin{array}{cc|cc}-1&{\tfrac {3}{2}}&1&0\\1&-1&0&1\end{array}}\right).$

Вызовите первую строку этой матрицы $R_{1}$ и второй ряд $R_{2}$. Затем добавьте строку 1 к строке 2. $(R_{1}+R_{2}\to R_{2}).$ Это дает $\left({\begin{array}{cc|cc}-1&{\tfrac {3}{2}}&1&0\\0&{\tfrac {1}{2}}&1&1\end{array}}\right).$

Затем вычтите строку 2, умноженную на 3, из строки 1. $(R_{1}-3\,R_{2}\to R_{1}),$ что дает $\left({\begin{array}{cc|cc}-1&0&-2&-3\\0&{\tfrac {1}{2}}&1&1\end{array}}\right).$

Наконец, умножьте строку 1 на −1. $(-R_{1}\to R_{1})$ и ряд 2 на 2 $(2\,R_{2}\to R_{2}).$ Это дает единичную матрицу слева и обратную матрицу справа: $\left({\begin{array}{cc|cc}1&0&2&3\\0&1&2&2\end{array}}\right).$

Таким образом, $\mathbf {A} ^{-1}={\begin{pmatrix}2&3\\2&2\end{pmatrix}}.$

Причина, по которой это работает, заключается в том, что процесс исключения Гаусса можно рассматривать как последовательность применения умножения левой матрицы с использованием элементарных операций над строками с использованием элементарных матриц ( $\mathbf {E} _{n}$), такой как $\mathbf {E} _{n}\mathbf {E} _{n-1}\cdots \mathbf {E} _{2}\mathbf {E} _{1}\mathbf {A} =\mathbf {I} .$

Применяя правильное умножение с помощью $\mathbf {A} ^{-1},$ мы получаем $\mathbf {E} _{n}\mathbf {E} _{n-1}\cdots \mathbf {E} _{2}\mathbf {E} _{1}\mathbf {I} =\mathbf {I} \mathbf {A} ^{-1}.$ И правая сторона $\mathbf {I} \mathbf {A} ^{-1}=\mathbf {A} ^{-1},$ что является обратным, что мы хотим.

Чтобы получить $\mathbf {E} _{n}\mathbf {E} _{n-1}\cdots \mathbf {E} _{2}\mathbf {E} _{1}\mathbf {I} ,$ мы создаем расширенную матрицу, комбинируя A с I и применяя метод исключения Гаусса . Две части будут преобразованы с использованием одной и той же последовательности элементарных операций над строками. Когда левая часть станет I , правая часть, к которой применяется та же последовательность операций элементарной строки, станет A. ⁻¹ .

Метод Ньютона

Обобщение метода Ньютона , используемого для мультипликативного обратного алгоритма, может быть удобным, если удобно найти подходящее начальное начальное число:

$X_{k+1}=2X_{k}-X_{k}AX_{k}.$

Виктор Пэн и Джон Рейф проделали работу, включающую способы создания стартового семени.

Метод Ньютона особенно полезен при работе с семействами связанных матриц, которые ведут себя достаточно похоже на последовательность, созданную для гомотопии, указанной выше: иногда хорошей отправной точкой для уточнения приближения для новой обратной матрицы может быть уже полученная обратная матрица предыдущей, которая почти соответствует текущая матрица, например, пара последовательностей обратных матриц, используемых при получении квадратных корней матрицы с помощью итерации Денмана – Биверса ; для этого может потребоваться более одного прохода итерации для каждой новой матрицы, если они не расположены достаточно близко друг к другу, чтобы было достаточно только одного. Метод Ньютона также полезен для «подправки» поправок к алгоритму Гаусса – Джордана, который содержит небольшие ошибки из-за несовершенства компьютерной арифметики .

Метод Кэли-Гамильтона

Теорема Кэли-Гамильтона позволяет выразить обратную величину A через det( A ) , следы и степени A :

$\mathbf {A} ^{-1}={\frac {1}{\det(\mathbf {A} )}}\sum _{s=0}^{n-1}\mathbf {A} ^{s}\sum _{k_{1},k_{2},\ldots ,k_{n-1}}\prod _{l=1}^{n-1}{\frac {(-1)^{k_{l}+1}}{l^{k_{l}}k_{l}!}}\operatorname {tr} \left(\mathbf {A} ^{l}\right)^{k_{l}},$

где n — размер A , а tr( A ) — след матрицы A, заданный суммой главной диагонали . Сумма берется по s и множествам всех $k_{l}\geq 0$ удовлетворяющее линейному диофантовому уравнению

$s+\sum _{l=1}^{n-1}lk_{l}=n-1.$

Формулу можно переписать в терминах полных полиномов Белла от аргументов. $t_{l}=-(l-1)!\operatorname {tr} \left(A^{l}\right)$ как

$\mathbf {A} ^{-1}={\frac {1}{\det(\mathbf {A} )}}\sum _{s=1}^{n}\mathbf {A} ^{s-1}{\frac {(-1)^{n-1}}{(n-s)!}}B_{n-s}(t_{1},t_{2},\ldots ,t_{n-s}).$

Более подробно это описано в разделе « Метод Кэли – Гамильтона» .

Собственная декомпозиция

Основная статья: Собственное разложение матрицы

Если матрица A может быть разложена по собственным значениям и ни одно из ее собственных значений не равно нулю, то A обратима, а ее обратная величина определяется формулой

$\mathbf {A} ^{-1}=\mathbf {Q} \mathbf {\Lambda } ^{-1}\mathbf {Q} ^{-1},$

где Q — квадратная ( N × N ) матрица, i -й столбец которой является собственным вектором $q_{i}$ A Λ , а , - диагональная матрица диагональные элементы которой являются соответствующими собственными значениями, то есть $\Lambda _{ii}=\lambda _{i}.$ Если A симметрична, Q гарантированно будет ортогональной матрицей , поэтому $\mathbf {Q} ^{-1}=\mathbf {Q} ^{\mathrm {T} }.$ Более того, поскольку Λ — диагональная матрица, ее обратную легко вычислить:

$\left[\Lambda ^{-1}\right]_{ii}={\frac {1}{\lambda _{i}}}.$

Разложение Холецкого

Основная статья: разложение Холецкого

Если матрица A положительно определена , то ее обратную можно получить как

$\mathbf {A} ^{-1}=\left(\mathbf {L} ^{*}\right)^{-1}\mathbf {L} ^{-1},$

где L — треугольное разложение Холецкого A , а L * обозначает транспонирование L. нижнее сопряженное

Аналитическое решение

Основная статья: правило Крамера

Запись транспонирования матрицы кофакторов , известной как сопряженная матрица , также может быть эффективным способом вычисления обратной маленькой матрицы, но этот рекурсивный метод неэффективен для больших матриц. Для определения обратного вычисляем матрицу кофакторов:

$\mathbf {A} ^{-1}={1 \over {\begin{vmatrix}\mathbf {A} \end{vmatrix}}}\mathbf {C} ^{\mathrm {T} }={1 \over {\begin{vmatrix}\mathbf {A} \end{vmatrix}}}{\begin{pmatrix}\mathbf {C} _{11}&\mathbf {C} _{21}&\cdots &\mathbf {C} _{n1}\\\mathbf {C} _{12}&\mathbf {C} _{22}&\cdots &\mathbf {C} _{n2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\mathbf {C} _{1n}&\mathbf {C} _{2n}&\cdots &\mathbf {C} _{nn}\\\end{pmatrix}}$

так что

$\left(\mathbf {A} ^{-1}\right)_{ij}={1 \over {\begin{vmatrix}\mathbf {A} \end{vmatrix}}}\left(\mathbf {C} ^{\mathrm {T} }\right)_{ij}={1 \over {\begin{vmatrix}\mathbf {A} \end{vmatrix}}}\left(\mathbf {C} _{ji}\right)$

где | А | — определитель A C , C — сомножителей , а матрица ^Т матрицы представляет транспонирование .

Инверсия матриц 2×2

Уравнение сомножителя, указанное выше, дает следующий результат для 2 × 2 матриц . Обращение этих матриц можно выполнить следующим образом:

$\mathbf {A} ^{-1}={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\\\end{bmatrix}}^{-1}={\frac {1}{\det \mathbf {A} }}{\begin{bmatrix}\,\,\,d&\!\!-b\\-c&\,a\\\end{bmatrix}}={\frac {1}{ad-bc}}{\begin{bmatrix}\,\,\,d&\!\!-b\\-c&\,a\\\end{bmatrix}}.$

Это возможно, потому что 1/( ad − bc ) является обратной величиной определителя рассматриваемой матрицы, и ту же стратегию можно использовать для других размеров матрицы.

Метод Кэли – Гамильтона дает

$\mathbf {A} ^{-1}={\frac {1}{\det \mathbf {A} }}\left[\left(\operatorname {tr} \mathbf {A} \right)\mathbf {I} -\mathbf {A} \right].$

Инверсия матриц 3×3

Вычислительно эффективная инверсия матрицы 3 × 3 определяется выражением

$\mathbf {A} ^{-1}={\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\\\end{bmatrix}}^{-1}={\frac {1}{\det(\mathbf {A} )}}{\begin{bmatrix}\,A&\,B&\,C\\\,D&\,E&\,F\\\,G&\,H&\,I\\\end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }={\frac {1}{\det(\mathbf {A} )}}{\begin{bmatrix}\,A&\,D&\,G\\\,B&\,E&\,H\\\,C&\,F&\,I\\\end{bmatrix}}$

(где скаляр A не следует путать с матрицей A ).

Если определитель ненулевой, матрица обратима, а элементы промежуточной матрицы в правой части выше заданы формулой

${\begin{alignedat}{6}A&={}&(ei-fh),&\quad &D&={}&-(bi-ch),&\quad &G&={}&(bf-ce),\\B&={}&-(di-fg),&\quad &E&={}&(ai-cg),&\quad &H&={}&-(af-cd),\\C&={}&(dh-eg),&\quad &F&={}&-(ah-bg),&\quad &I&={}&(ae-bd).\\\end{alignedat}}$

Определитель A можно вычислить, применив правило Саррюса следующим образом:

$\det(\mathbf {A} )=aA+bB+cC.$

Разложение Кэли – Гамильтона дает

$\mathbf {A} ^{-1}={\frac {1}{\det(\mathbf {A} )}}\left({\frac {1}{2}}\left[(\operatorname {tr} \mathbf {A} )^{2}-\operatorname {tr} (\mathbf {A} ^{2})\right]\mathbf {I} -\mathbf {A} \operatorname {tr} \mathbf {A} +\mathbf {A} ^{2}\right).$

Общее обратное 3 × 3 можно кратко выразить через векторное произведение и тройное произведение . Если матрица $\mathbf {A} ={\begin{bmatrix}\mathbf {x} _{0}&\mathbf {x} _{1}&\mathbf {x} _{2}\end{bmatrix}}$ (состоящий из трех векторов-столбцов, $\mathbf {x} _{0}$, $\mathbf {x} _{1}$, и $\mathbf {x} _{2}$) обратим, его инверсия определяется выражением

$\mathbf {A} ^{-1}={\frac {1}{\det(\mathbf {A} )}}{\begin{bmatrix}{(\mathbf {x} _{1}\times \mathbf {x} _{2})}^{\mathrm {T} }\\{(\mathbf {x} _{2}\times \mathbf {x} _{0})}^{\mathrm {T} }\\{(\mathbf {x} _{0}\times \mathbf {x} _{1})}^{\mathrm {T} }\end{bmatrix}}.$

Определитель A , det( A ) , равен тройному произведению x ₀ , x ₁ и x ₂ — объема параллелепипеда , образованного строками или столбцами:

$\det(\mathbf {A} )=\mathbf {x} _{0}\cdot (\mathbf {x} _{1}\times \mathbf {x} _{2}).$

Правильность формулы можно проверить, используя свойства перекрестного и тройного произведения и отметив, что для групп левые и правые обратные всегда совпадают. Интуитивно, из-за перекрестных произведений каждая строка A ^–1 ортогонален несоответствующим двум столбцам A (вызывая недиагональные члены $\mathbf {I} =\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {A}$ быть нулевым). Деление на

$\det(\mathbf {A} )=\mathbf {x} _{0}\cdot (\mathbf {x} _{1}\times \mathbf {x} _{2})$

вызывает диагональные записи I = A ⁻¹ Быть единством. Например, первая диагональ:

$1={\frac {1}{\mathbf {x_{0}} \cdot (\mathbf {x} _{1}\times \mathbf {x} _{2})}}\mathbf {x_{0}} \cdot (\mathbf {x} _{1}\times \mathbf {x} _{2}).$

Инверсия матриц 4×4

С увеличением размерности выражения, обратные к A, усложняются. Для n = 4 метод Кэли-Гамильтона приводит к выражению, которое все еще понятно:

$\mathbf {A} ^{-1}={\frac {1}{\det(\mathbf {A} )}}\left({\frac {1}{6}}\left[(\operatorname {tr} \mathbf {A} )^{3}-3\operatorname {tr} \mathbf {A} \operatorname {tr} (\mathbf {A} ^{2})+2\operatorname {tr} (\mathbf {A} ^{3})\right]\mathbf {I} -{\frac {1}{2}}\mathbf {A} \left[(\operatorname {tr} \mathbf {A} )^{2}-\operatorname {tr} (\mathbf {A} ^{2})\right]+\mathbf {A} ^{2}\operatorname {tr} \mathbf {A} -\mathbf {A} ^{3}\right).$

Блочная инверсия

Матрицы также можно инвертировать поблочно, используя следующую аналитическую формулу обращения:

${\begin{bmatrix}\mathbf {A} &\mathbf {B} \\\mathbf {C} &\mathbf {D} \end{bmatrix}}^{-1}={\begin{bmatrix}\mathbf {A} ^{-1}+\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {B} \left(\mathbf {D} -\mathbf {CA} ^{-1}\mathbf {B} \right)^{-1}\mathbf {CA} ^{-1}&-\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {B} \left(\mathbf {D} -\mathbf {CA} ^{-1}\mathbf {B} \right)^{-1}\\-\left(\mathbf {D} -\mathbf {CA} ^{-1}\mathbf {B} \right)^{-1}\mathbf {CA} ^{-1}&\left(\mathbf {D} -\mathbf {CA} ^{-1}\mathbf {B} \right)^{-1}\end{bmatrix}},$ ( 1 )

где A , B , C и D — подблоки матрицы произвольного размера. ( A должен быть квадратным, чтобы его можно было перевернуть. Кроме того, A и D − CA ⁻¹ B должен быть неособым. ) Эта стратегия особенно выгодна, если A диагональная и D − CA ⁻¹ B ( дополнение Шура к A ) — небольшая матрица, поскольку это единственные матрицы, требующие обращения.

Эту технику несколько раз изобретали заново, и она принадлежит Гансу Больцу (1923). который использовал его для обращения геодезических матриц, и Тадеуш Банакевич (1937), который обобщил его и доказал его правильность.

Теорема о недействительности гласит, что недействительность A равна недействительности подблока в правом нижнем углу обратной матрицы, а недействительность B равна недействительности подблока в правом верхнем углу обратной матрицы.

Процедура инверсии, которая привела к уравнению ( 1 ), выполняла операции с блоками матриц, которые работали с C и D. сначала Вместо этого, если A и B активируются первыми и при условии, что D и A − BD ⁻¹ C неособы, результат

${\begin{bmatrix}\mathbf {A} &\mathbf {B} \\\mathbf {C} &\mathbf {D} \end{bmatrix}}^{-1}={\begin{bmatrix}\left(\mathbf {A} -\mathbf {BD} ^{-1}\mathbf {C} \right)^{-1}&-\left(\mathbf {A} -\mathbf {BD} ^{-1}\mathbf {C} \right)^{-1}\mathbf {BD} ^{-1}\\-\mathbf {D} ^{-1}\mathbf {C} \left(\mathbf {A} -\mathbf {BD} ^{-1}\mathbf {C} \right)^{-1}&\quad \mathbf {D} ^{-1}+\mathbf {D} ^{-1}\mathbf {C} \left(\mathbf {A} -\mathbf {BD} ^{-1}\mathbf {C} \right)^{-1}\mathbf {BD} ^{-1}\end{bmatrix}}.$ ( 2 )

Приравнивание уравнений ( 1 ) и ( 2 ) приводит к

${\begin{aligned}\left(\mathbf {A} -\mathbf {BD} ^{-1}\mathbf {C} \right)^{-1}&=\mathbf {A} ^{-1}+\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {B} \left(\mathbf {D} -\mathbf {CA} ^{-1}\mathbf {B} \right)^{-1}\mathbf {CA} ^{-1}\\\left(\mathbf {A} -\mathbf {BD} ^{-1}\mathbf {C} \right)^{-1}\mathbf {BD} ^{-1}&=\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {B} \left(\mathbf {D} -\mathbf {CA} ^{-1}\mathbf {B} \right)^{-1}\\\mathbf {D} ^{-1}\mathbf {C} \left(\mathbf {A} -\mathbf {BD} ^{-1}\mathbf {C} \right)^{-1}&=\left(\mathbf {D} -\mathbf {CA} ^{-1}\mathbf {B} \right)^{-1}\mathbf {CA} ^{-1}\\\mathbf {D} ^{-1}+\mathbf {D} ^{-1}\mathbf {C} \left(\mathbf {A} -\mathbf {BD} ^{-1}\mathbf {C} \right)^{-1}\mathbf {BD} ^{-1}&=\left(\mathbf {D} -\mathbf {CA} ^{-1}\mathbf {B} \right)^{-1}\end{aligned}}$ ( 3 )

где уравнение ( 3 ) представляет собой матричное тождество Вудбери , которое эквивалентно биномиальной обратной теореме .

Если A и D обратимы, то две приведенные выше обратные блочные матрицы можно объединить, чтобы обеспечить простую факторизацию.

${\begin{bmatrix}\mathbf {A} &\mathbf {B} \\\mathbf {C} &\mathbf {D} \end{bmatrix}}^{-1}={\begin{bmatrix}\left(\mathbf {A} -\mathbf {B} \mathbf {D} ^{-1}\mathbf {C} \right)^{-1}&\mathbf {0} \\\mathbf {0} &\left(\mathbf {D} -\mathbf {C} \mathbf {A} ^{-1}\mathbf {B} \right)^{-1}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {I} &-\mathbf {B} \mathbf {D} ^{-1}\\-\mathbf {C} \mathbf {A} ^{-1}&\mathbf {I} \end{bmatrix}}.$ ( 2 )

Согласно тождеству Вайнштейна – Ароншайна , одна из двух матриц в блочно-диагональной матрице обратима ровно тогда, когда обратима другая.

Эта формула значительно упрощается, когда верхняя правая блочная матрица B является нулевой матрицей . Эта формулировка полезна, когда матрицы A и D имеют относительно простые обратные формулы (или псевдообратные в случае, когда блоки не все квадратные. В этом особом случае формула обращения блочной матрицы, сформулированная в полной общности выше, принимает вид

${\begin{bmatrix}\mathbf {A} &\mathbf {0} \\\mathbf {C} &\mathbf {D} \end{bmatrix}}^{-1}={\begin{bmatrix}\mathbf {A} ^{-1}&\mathbf {0} \\-\mathbf {D} ^{-1}\mathbf {CA} ^{-1}&\mathbf {D} ^{-1}\end{bmatrix}}.$

Если данная обратимая матрица является симметричной матрицей с обратимым блоком A, справедлива следующая формула обратного блока:

${\begin{bmatrix}\mathbf {A} &\mathbf {C} ^{T}\\\mathbf {C} &\mathbf {D} \end{bmatrix}}^{-1}={\begin{bmatrix}\mathbf {A} ^{-1}+\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {C} ^{T}\mathbf {S} ^{-1}\mathbf {C} \mathbf {A} ^{-1}&-\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {C} ^{T}\mathbf {S} ^{-1}\\-\mathbf {S} ^{-1}\mathbf {C} \mathbf {A} ^{-1}&\mathbf {S} ^{-1}\end{bmatrix}},$ ( 4 )

где $\mathbf {S} =\mathbf {D} -\mathbf {C} \mathbf {A} ^{-1}\mathbf {C} ^{T}$. Для этого требуется 2 инверсии матриц половинного размера A и S и всего 4 умножения матриц половинного размера, если они организованы правильно. $\mathbf {W} _{1}=\mathbf {C} \mathbf {A} ^{-1},$ $\mathbf {W} _{2}=\mathbf {W} _{1}\mathbf {C} ^{T}=\mathbf {C} \mathbf {A} ^{-1}\mathbf {C} ^{T},$ $\mathbf {W} _{3}=\mathbf {S} ^{-1}\mathbf {W} _{1}=\mathbf {S} ^{-1}\mathbf {C} \mathbf {A} ^{-1},$ $\mathbf {W} _{4}=\mathbf {W} _{1}^{T}\mathbf {W} _{3}=\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {C} ^{T}\mathbf {S} ^{-1}\mathbf {C} \mathbf {A} ^{-1},$ вместе с некоторыми сложениями, вычитаниями, отрицаниями и транспозициями незначительной сложности. Любая матрица $\mathbf {M}$ имеет связанную положительно полуопределенную симметричную матрицу $\mathbf {M} ^{T}\mathbf {M}$, который в точности обратим (и положительно определен), тогда и только тогда, когда $\mathbf {M}$ является обратимым. Написав $\mathbf {M} ^{-1}=\left(\mathbf {M} ^{T}\mathbf {M} \right)^{-1}\mathbf {M} ^{T}$ обращение матриц можно свести к обращению симметричных матриц и двум дополнительным умножениям матриц, поскольку положительно определенная матрица $\mathbf {M} ^{T}\mathbf {M}$ удовлетворяет условию обратимости для своего левого верхнего A. блока

Вместе эти формулы позволяют построить алгоритм «разделяй и властвуй» , который использует блочное обращение связанных симметричных матриц для инвертирования матрицы с той же временной сложностью, что и алгоритм умножения матриц , который используется внутри. Исследования сложности умножения матриц показывают, что существуют алгоритмы умножения матриц со сложностью O ( n ^2.371552 ) операций, а наилучшей доказанной нижней границей является Ω ( n ² войти н ) .

Серия Неймана

Если матрица А обладает свойством, что

$\lim _{n\to \infty }(\mathbf {I} -\mathbf {A} )^{n}=0$

тогда A несингулярна и обратная к ней может быть выражена рядом Неймана :

$\mathbf {A} ^{-1}=\sum _{n=0}^{\infty }(\mathbf {I} -\mathbf {A} )^{n}.$

Усечение суммы приводит к «приблизительному» обратному результату, который может быть полезен в качестве предварительного условия . Обратите внимание, что усеченный ряд можно ускорить экспоненциально, заметив, что ряд Неймана представляет собой геометрическую сумму . Как таковое оно удовлетворяет

$\sum _{n=0}^{2^{L}-1}(\mathbf {I} -\mathbf {A} )^{n}=\prod _{l=0}^{L-1}\left(\mathbf {I} +(\mathbf {I} -\mathbf {A} )^{2^{l}}\right)$.

Следовательно, всего 2 L − 2 умножения матриц. требуется для вычисления 2 ^л с точки зрения суммы.

В более общем смысле, если A находится «рядом» с обратимой матрицей X в том смысле, что

$\lim _{n\to \infty }\left(\mathbf {I} -\mathbf {X} ^{-1}\mathbf {A} \right)^{n}=0\mathrm {~~or~~} \lim _{n\to \infty }\left(\mathbf {I} -\mathbf {A} \mathbf {X} ^{-1}\right)^{n}=0$

тогда A несингулярна и обратная к ней есть

$\mathbf {A} ^{-1}=\sum _{n=0}^{\infty }\left(\mathbf {X} ^{-1}(\mathbf {X} -\mathbf {A} )\right)^{n}\mathbf {X} ^{-1}~.$

Если также верно, что A − X имеет ранг 1, то это упрощается до

$\mathbf {A} ^{-1}=\mathbf {X} ^{-1}-{\frac {\mathbf {X} ^{-1}(\mathbf {A} -\mathbf {X} )\mathbf {X} ^{-1}}{1+\operatorname {tr} \left(\mathbf {X} ^{-1}(\mathbf {A} -\mathbf {X} )\right)}}~.$

p -адическое приближение

Если A — матрица с целыми или рациональными элементами и мы ищем решение в рациональных числах произвольной точности , то метод p -адической аппроксимации сходится к точному решению за O( n ⁴ бревно ² n ) , предполагая стандартный O( n ³ ) используется матричное умножение. Метод основан на решении n -адической аппроксимации Диксона линейных систем с помощью метода p (каждая за O( n ³ бревно ² n ) ) и доступен как таковой в программном обеспечении, специализирующемся на матричных операциях произвольной точности, например, в IML.

базисных

Основная статья: Взаимная основа

Учитывая размера n × n квадратную матрицу $\mathbf {X} =\left[x^{ij}\right]$, $1\leq i,j\leq n$, где n строк интерпретируются как n векторов $\mathbf {x} _{i}=x^{ij}\mathbf {e} _{j}$ ( предполагается суммирование Эйнштейна ), где $\mathbf {e} _{j}$ являются стандартным ортонормированным базисом . евклидова пространства $\mathbb {R} ^{n}$ ( $\mathbf {e} _{i}=\mathbf {e} ^{i},\mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} ^{j}=\delta _{i}^{j}$), затем с помощью алгебры Клиффорда (или геометрической алгебры ) мы вычисляем обратные (иногда называемые двойственными ) вектор-столбцы:

$\mathbf {x} ^{i}=x_{ji}\mathbf {e} ^{j}=(-1)^{i-1}(\mathbf {x} _{1}\wedge \cdots \wedge ()_{i}\wedge \cdots \wedge \mathbf {x} _{n})\cdot (\mathbf {x} _{1}\wedge \ \mathbf {x} _{2}\wedge \cdots \wedge \mathbf {x} _{n})^{-1}$

как столбцы обратной матрицы $\mathbf {X} ^{-1}=[x_{ji}].$ Обратите внимание, место " $()_{i}$«указывает на то, что» $\mathbf {x} _{i}$" удаляется с этого места в приведенном выше выражении для $\mathbf {x} ^{i}$. Тогда у нас есть $\mathbf {X} \mathbf {X} ^{-1}=\left[\mathbf {x} _{i}\cdot \mathbf {x} ^{j}\right]=\left[\delta _{i}^{j}\right]=\mathbf {I} _{n}$, где $\delta _{i}^{j}$ это дельта Кронекера . У нас также есть $\mathbf {X} ^{-1}\mathbf {X} =\left[\left(\mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {x} ^{k}\right)\left(\mathbf {e} ^{j}\cdot \mathbf {x} _{k}\right)\right]=\left[\mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} ^{j}\right]=\left[\delta _{i}^{j}\right]=\mathbf {I} _{n}$, как требуется. Если векторы $\mathbf {x} _{i}$ не являются линейно независимыми, то $(\mathbf {x} _{1}\wedge \mathbf {x} _{2}\wedge \cdots \wedge \mathbf {x} _{n})=0$ и матрица $\mathbf {X}$ не обратима (не имеет обратной).

Производная обратной матрицы

Предположим, что обратимая матрица A зависит от параметра t . Тогда производная обратного A по t определяется выражением

${\frac {\mathrm {d} \mathbf {A} ^{-1}}{\mathrm {d} t}}=-\mathbf {A} ^{-1}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {A} }{\mathrm {d} t}}\mathbf {A} ^{-1}.$

Чтобы получить приведенное выше выражение для производной обратной матрицы A , можно дифференцировать определение обратной матрицы $\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {A} =\mathbf {I}$ а затем найдите обратное A :

${\frac {\mathrm {d} (\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {A} )}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} \mathbf {A} ^{-1}}{\mathrm {d} t}}\mathbf {A} +\mathbf {A} ^{-1}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {A} }{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} \mathbf {I} }{\mathrm {d} t}}=\mathbf {0} .$

Вычитание $\mathbf {A} ^{-1}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {A} }{\mathrm {d} t}}$ из обеих частей предыдущего и умножив справа на $\mathbf {A} ^{-1}$ дает правильное выражение для производной обратного:

${\frac {\mathrm {d} \mathbf {A} ^{-1}}{\mathrm {d} t}}=-\mathbf {A} ^{-1}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {A} }{\mathrm {d} t}}\mathbf {A} ^{-1}.$

Аналогично, если $\varepsilon$ тогда это небольшое число

$\left(\mathbf {A} +\varepsilon \mathbf {X} \right)^{-1}=\mathbf {A} ^{-1}-\varepsilon \mathbf {A} ^{-1}\mathbf {X} \mathbf {A} ^{-1}+{\mathcal {O}}(\varepsilon ^{2})\,.$

В более общем смысле, если

${\frac {\mathrm {d} f(\mathbf {A} )}{\mathrm {d} t}}=\sum _{i}g_{i}(\mathbf {A} ){\frac {\mathrm {d} \mathbf {A} }{\mathrm {d} t}}h_{i}(\mathbf {A} ),$

затем,

$f(\mathbf {A} +\varepsilon \mathbf {X} )=f(\mathbf {A} )+\varepsilon \sum _{i}g_{i}(\mathbf {A} )\mathbf {X} h_{i}(\mathbf {A} )+{\mathcal {O}}\left(\varepsilon ^{2}\right).$

Учитывая положительное целое число $n$,

${\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {A} ^{n}}{\mathrm {d} t}}&=\sum _{i=1}^{n}\mathbf {A} ^{i-1}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {A} }{\mathrm {d} t}}\mathbf {A} ^{n-i},\\{\frac {\mathrm {d} \mathbf {A} ^{-n}}{\mathrm {d} t}}&=-\sum _{i=1}^{n}\mathbf {A} ^{-i}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {A} }{\mathrm {d} t}}\mathbf {A} ^{-(n+1-i)}.\end{aligned}}$

Поэтому,

${\begin{aligned}(\mathbf {A} +\varepsilon \mathbf {X} )^{n}&=\mathbf {A} ^{n}+\varepsilon \sum _{i=1}^{n}\mathbf {A} ^{i-1}\mathbf {X} \mathbf {A} ^{n-i}+{\mathcal {O}}\left(\varepsilon ^{2}\right),\\(\mathbf {A} +\varepsilon \mathbf {X} )^{-n}&=\mathbf {A} ^{-n}-\varepsilon \sum _{i=1}^{n}\mathbf {A} ^{-i}\mathbf {X} \mathbf {A} ^{-(n+1-i)}+{\mathcal {O}}\left(\varepsilon ^{2}\right).\end{aligned}}$

Обобщенное обратное

Некоторые свойства обратных матриц являются общими для обобщенных обратных матриц (например, обратная матрица Мура-Пенроуза ), которая может быть определена для любой m -x- n . матрицы

Приложения

Для большинства практических приложений нет необходимости инвертировать матрицу для решения системы линейных уравнений ; однако для единственности решения необходимо , чтобы используемая матрица была обратимой.

Методы декомпозиции, такие как LU-разложение, работают намного быстрее, чем инверсия, также были разработаны различные быстрые алгоритмы для специальных классов линейных систем.

Регрессия/наименьшие квадраты

Хотя явная обратная матрица не является необходимой для оценки вектора неизвестных, это самый простой способ оценить их точность, находящуюся в диагонали обратной матрицы (апостериорная ковариационная матрица вектора неизвестных). Однако во многих случаях известны более быстрые алгоритмы для вычисления только диагональных элементов обратной матрицы.

в реальном

Инверсия матрицы играет важную роль в компьютерной графике , особенно при рендеринге 3D-графики и 3D-моделировании. из экрана в мир Примеры включают в себя преобразование лучей , преобразования объектов из мира в подпространство и физическое моделирование.

в беспроводной связи

Инверсия матрицы также играет важную роль в технологии MIMO (множественный вход, множественный выход) в беспроводной связи . Система MIMO состоит из N передающих и M приемных антенн. Уникальные сигналы, занимающие одну и ту же полосу частот , передаются через N передающих антенн и принимаются через M приемных антенн. Сигнал, поступающий на каждую приемную антенну, будет представлять собой комбинацию N размера передаваемых сигналов, образующую N × M. матрицу передачи H линейную Крайне важно, чтобы матрица H была обратимой, чтобы получатель мог определить передаваемую информацию.

См. также

• Биномиальная обратная теорема
• LU-разложение
• Разложение матрицы
• Матрица квадратный корень
• Минор (линейная алгебра)
• Частичная обратная матрица
• Псевдообратный
• Алгоритм Рыбицкого Пресса
• Разложение по сингулярным значениям
• Матричное тождество Вудбери

Дальнейшее чтение

• «Обращение матрицы» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Кормен, Томас Х .; Лейзерсон, Чарльз Э .; Ривест, Рональд Л .; Штейн, Клиффорд (2001) [1990]. «28.4: Инвертирование матриц». Введение в алгоритмы (2-е изд.). MIT Press и McGraw-Hill. стр. 755–760. ISBN  0-262-03293-7 .
• Бернштейн, Деннис С. (2009). Матричная математика: теория, факты и формулы (2-е изд.). Издательство Принстонского университета. ISBN  978-0691140391 – через Google Книги .
• Петерсен, Кааре Брандт; Педерсен, Майкл Сискинд (15 ноября 2012 г.). «Поваренная книга Матрицы» (PDF) . стр. 17–23.

Внешние ссылки

• Сандерсон, Грант (15 августа 2016 г.). «Обратные матрицы, пространство столбцов и нулевое пространство» . Сущность линейной алгебры . Архивировано из оригинала 3 ноября 2021 г. – на YouTube .
• Стрэнг, Гилберт. «Лекция по линейной алгебре об обратных матрицах» . MIT OpenCourseWare .
• Обратная матрица Мура-Пенроуза