Обобщенный обратный

«Псевдоинверсия» перенаправляется сюда. Об обратном Муре-Пенроузе, иногда называемом «псевдообратным», см. Обратное Мура-Пенроуза .

В математике и, в частности, в алгебре , обобщенный инверсный (или g-инверсный ) элемент x — это элемент y , который обладает некоторыми свойствами обратного элемента , но не обязательно всеми из них. Целью построения обобщенной обратной матрицы является получение матрицы, которая может служить в некотором смысле обратной матрицей для более широкого класса матриц, чем обратимые матрицы . Обобщенные обратные могут быть определены в любой математической структуре , включающей ассоциативное умножение, то есть в полугруппе . В этой статье описываются обобщенные обратные матрицы . $A$.

Матрица $A^{\mathrm {g} }\in \mathbb {R} ^{n\times m}$ является обобщенной обратной матрицей $A\in \mathbb {R} ^{m\times n}$ если $AA^{\mathrm {g} }A=A.$ Обобщенная обратная существует для произвольной матрицы, и когда матрица имеет регулярную обратную , эта обратная является ее единственной обобщенной обратной.

Мотивация

Рассмотрим линейную систему

$Ax=y$

где $A$ это $n\times m$ матрица и $y\in {\mathcal {R}}(A),$ пространство столбцов ​ $A$. Если $A$ неособа ( что означает $n=m$) затем $x=A^{-1}y$ будет решением системы. Обратите внимание, что если $A$ неособа, то

$AA^{-1}A=A.$

Теперь предположим $A$ прямоугольный ( $n\neq m$), или квадратное и единственное число. Тогда нам нужен подходящий кандидат $G$ порядка $m\times n$ такой, что для всех $y\in {\mathcal {R}}(A),$

$AGy=y.$

То есть, $x=Gy$ является решением линейной системы $Ax=y$. Аналогично, нам нужна матрица $G$ порядка $m\times n$ такой, что

$AGA=A.$

Следовательно, мы можем определить обобщенное обратное следующим образом: Учитывая $m\times n$ матрица $A$, $n\times m$ матрица $G$ называется обобщенной инверсией $A$ если $AGA=A.$‍ Матрица $A^{-1}$ был назван регулярной инверсией $A$ некоторыми авторами.

Типы

Важные типы обобщенного обратного включают:

• Односторонняя инверсия (правая инверсия или левая инверсия)
  • Правая обратная: если матрица $A$ имеет размеры $n\times m$ и ${\textrm {rank}}(A)=n$, то существует $m\times n$ матрица $A_{\mathrm {R} }^{-1}$ называется правым обратным $A$ такой, что $AA_{\mathrm {R} }^{-1}=I_{n}$, где $I_{n}$ это $n\times n$ идентификационная матрица .
  • Левый обратный: если матрица $A$ имеет размеры $n\times m$ и ${\textrm {rank}}(A)=m$, то существует $m\times n$ матрица $A_{\mathrm {L} }^{-1}$ называется левым обратным $A$ такой, что $A_{\mathrm {L} }^{-1}A=I_{m}$, где $I_{m}$ это $m\times m$ идентификационная матрица.
• Обратный Ботт – Даффин
• Дразин инверсный
• Обратное Мура – ​​Пенроуза

Некоторые обобщенные обратные значения определяются и классифицируются на основе условий Пенроуза:

1. $AA^{\mathrm {g} }A=A$
2. $A^{\mathrm {g} }AA^{\mathrm {g} }=A^{\mathrm {g} }$
3. $(AA^{\mathrm {g} })^{*}=AA^{\mathrm {g} }$
4. $(A^{\mathrm {g} }A)^{*}=A^{\mathrm {g} }A,$

где ${}^{*}$ обозначает сопряженное транспонирование. Если $A^{\mathrm {g} }$ удовлетворяет первому условию, то это обобщенное обратное условие $A$. Если он удовлетворяет первым двум условиям, то это рефлексивная обобщенная инверсия $A$. Если оно удовлетворяет всем четырем условиям, то оно псевдообратным является $A$, который обозначается $A^{+}$ и также известен как инверсия Мура-Пенроуза , в честь новаторских работ Э. Х. Мура и Роджера Пенроуза . Удобно определить $I$-обратный ​ $A$ как инверсия, удовлетворяющая подмножеству $I\subset \{1,2,3,4\}$ условий Пенроуза, перечисленных выше. Отношения, такие как $A^{(1,4)}AA^{(1,3)}=A^{+}$, может быть установлено между этими различными классами $I$-реверс.

Когда $A$ несингулярна, любое обобщенное обратное $A^{\mathrm {g} }=A^{-1}$ и поэтому является уникальным. Для единственного числа $A$некоторые обобщенные обратные, такие как инверсия Дрейзина и инверсия Мура-Пенроуза, уникальны, в то время как другие не обязательно определены однозначно.

Примеры

Рефлексивная

Позволять

$A={\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{bmatrix}},\quad G={\begin{bmatrix}-{\frac {5}{3}}&{\frac {2}{3}}&0\\[4pt]{\frac {4}{3}}&-{\frac {1}{3}}&0\\[4pt]0&0&0\end{bmatrix}}.$

С $\det(A)=0$, $A$ сингулярна и не имеет регулярного обратного. Однако, $A$ и $G$ удовлетворяют условиям Пенроуза (1) и (2), но не (3) или (4). Следовательно, $G$ является рефлексивной обобщенной инверсией $A$.

Одностороннее обратное

Позволять

$A={\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{bmatrix}},\quad A_{\mathrm {R} }^{-1}={\begin{bmatrix}-{\frac {17}{18}}&{\frac {8}{18}}\\[4pt]-{\frac {2}{18}}&{\frac {2}{18}}\\[4pt]{\frac {13}{18}}&-{\frac {4}{18}}\end{bmatrix}}.$

С $A$ не квадратный, $A$ не имеет регулярного обратного. Однако, $A_{\mathrm {R} }^{-1}$ является правой противоположностью $A$. Матрица $A$ не имеет левого обратного.

других полугрупп (или

Элемент b является обобщенным обратным элементом a тогда и только тогда, когда $a\cdot b\cdot a=a$, в любой полугруппе (или кольце , поскольку функция умножения в любом кольце является полугруппой).

Обобщенные инверсии элемента 3 в кольце $\mathbb {Z} /12\mathbb {Z}$ равны 3, 7 и 11, так как в кольце $\mathbb {Z} /12\mathbb {Z}$:

$3\cdot 3\cdot 3=3$

$3\cdot 7\cdot 3=3$

$3\cdot 11\cdot 3=3$

Обобщенные инверсии элемента 4 в кольце $\mathbb {Z} /12\mathbb {Z}$ равны 1, 4, 7 и 10, так как в кольце $\mathbb {Z} /12\mathbb {Z}$:

$4\cdot 1\cdot 4=4$

$4\cdot 4\cdot 4=4$

$4\cdot 7\cdot 4=4$

$4\cdot 10\cdot 4=4$

Если элемент a в полугруппе (или кольце) имеет обратный, обратный должен быть единственным обобщенным обратным к этому элементу, как элементы 1, 5, 7 и 11 в кольце. $\mathbb {Z} /12\mathbb {Z}$.

На ринге $\mathbb {Z} /12\mathbb {Z}$ нет элемента b. , любой элемент является обобщенным обратным 0, однако 2 не имеет обобщенного обратного, так как в нем $\mathbb {Z} /12\mathbb {Z}$ такой, что $2\cdot b\cdot 2=2$.

Строительство

Следующие характеристики легко проверить:

• Правая обратная неквадратная матрица $A$ дается $A_{\mathrm {R} }^{-1}=A^{\intercal }\left(AA^{\intercal }\right)^{-1}$, предоставил $A$ имеет полный ранг строки.
• Левая обратная неквадратная матрица $A$ дается $A_{\mathrm {L} }^{-1}=\left(A^{\intercal }A\right)^{-1}A^{\intercal }$, предоставил $A$ имеет полный ранг столбца.
• Если $A=BC$ является ранговой факторизацией , тогда $G=C_{\mathrm {R} }^{-1}B_{\mathrm {L} }^{-1}$ является g-инверсией $A$, где $C_{\mathrm {R} }^{-1}$ является правой противоположностью $C$ и $B_{\mathrm {L} }^{-1}$ является левой инверсией $B$.
• Если $A=P{\begin{bmatrix}I_{r}&0\\0&0\end{bmatrix}}Q$ для любых невырожденных матриц $P$ и $Q$, затем $G=Q^{-1}{\begin{bmatrix}I_{r}&U\\W&V\end{bmatrix}}P^{-1}$ является обобщенной инверсией $A$ для произвольного $U,V$ и $W$.
• Позволять $A$ быть в звании $r$. Не ограничивая общности, пусть
  $$A={\begin{bmatrix}B&C\\D&E\end{bmatrix}},$$
  где $B_{r\times r}$ является неособой подматрицей $A$. Затем,
  $$G={\begin{bmatrix}B^{-1}&0\\0&0\end{bmatrix}}$$
  является обобщенной инверсией $A$ тогда и только тогда, когда $E=DB^{-1}C$.

Использует

Любое обобщенное обратное можно использовать, чтобы определить, имеет ли система линейных уравнений какие-либо решения, и если да, то найти их все. Если существуют решения для n × m линейной системы размера

$Ax=b$,

с вектором $x$ неизвестных и вектора $b$ констант, все решения имеют вид

$x=A^{\mathrm {g} }b+\left[I-A^{\mathrm {g} }A\right]w$,

параметрический на произвольном векторе $w$, где $A^{\mathrm {g} }$ является любым обобщенным обратным $A$. Решения существуют тогда и только тогда, когда $A^{\mathrm {g} }b$ является решением, то есть тогда и только тогда, когда $AA^{\mathrm {g} }b=b$. Если A имеет полный ранг столбца, выражение в квадратных скобках в этом уравнении является нулевой матрицей, и поэтому решение уникально.

Обобщенные обратные матрицы

Обобщенные обратные матрицы можно охарактеризовать следующим образом. Позволять $A\in \mathbb {R} ^{m\times n}$, и

$$A=U{\begin{bmatrix}\Sigma _{1}&0\\0&0\end{bmatrix}}V^{\operatorname {T} }$$

— его сингулярное разложение . Тогда для любого обобщенного обратного $A^{g}$, существуют матрицы $X$, $Y$, и $Z$ такой, что

$$A^{g}=V{\begin{bmatrix}\Sigma _{1}^{-1}&X\\Y&Z\end{bmatrix}}U^{\operatorname {T} }.$$

И наоборот, любой выбор $X$, $Y$, и $Z$ ибо матрица такого вида является обобщенной обратной матрицей $A$. $\{1,2\}$-обратные — это именно те, для которых $Z=Y\Sigma _{1}X$, $\{1,3\}$-обратные — это именно те, для которых $X=0$и $\{1,4\}$-обратные — это именно те, для которых $Y=0$. В частности, псевдообратное имеет вид $X=Y=Z=0$:

$$A^{+}=V{\begin{bmatrix}\Sigma _{1}^{-1}&0\\0&0\end{bmatrix}}U^{\operatorname {T} }.$$

Свойства согласованности трансформации

В практических приложениях необходимо определить класс матричных преобразований, которые должны сохраняться обобщенным обратным. Например, обратное Мура – ​​Пенроуза: $A^{+},$ удовлетворяет следующему определению непротиворечивости относительно преобразований, включающих унитарные матрицы U и V :

$(UAV)^{+}=V^{*}A^{+}U^{*}$.

Обратное Дразина, $A^{\mathrm {D} }$ удовлетворяет следующему определению непротиворечивости относительно преобразований подобия, включающих неособую матрицу S :

$\left(SAS^{-1}\right)^{\mathrm {D} }=SA^{\mathrm {D} }S^{-1}$.

Единично-согласованный (UC) обратный, $A^{\mathrm {U} },$ удовлетворяет следующему определению непротиворечивости относительно преобразований, включающих неособые диагональные матрицы D и E :

$(DAE)^{\mathrm {U} }=E^{-1}A^{\mathrm {U} }D^{-1}$.

Тот факт, что обратное Мура-Пенроуза обеспечивает согласованность относительно вращений (которые являются ортонормированными преобразованиями), объясняет его широкое использование в физике и других приложениях, в которых должны сохраняться евклидовы расстояния. Обратное UC, напротив, применимо, когда ожидается, что поведение системы будет инвариантным относительно выбора единиц измерения для различных переменных состояния, например, миль или километров.

См. также

• Псевдообратная блочная матрица
• Регулярная полугруппа

Источники

Учебник

• Бен-Исраэль, Ади ; Гревилл, Томас Нолл Иден (2003). Обобщенные обратные: теория и приложения (2-е изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Спрингер. дои : 10.1007/b97366 . ISBN  978-0-387-00293-4 .
• Кэмпбелл, Стивен Л.; Мейер, Карл Д. (1991). Обобщенные обратные линейные преобразования . Дувр. ISBN  978-0-486-66693-8 .
• Хорн, Роджер Алан ; Джонсон, Чарльз Роял (1985). Матричный анализ . Издательство Кембриджского университета . ISBN  978-0-521-38632-6 .
• Накамура, Ёсихико (1991). Передовая робототехника: резервирование и оптимизация . Аддисон-Уэсли. ISBN  978-0201151985 .
• Рао, К. Радхакришна; Митра, Суджит Кумар (1971). Обобщенная обратная матрица и ее приложения . Нью-Йорк: Джон Уайли и сыновья. стр. 240 . ISBN  978-0-471-70821-6 .

Публикация

• Джеймс, М. (июнь 1978 г.). «Обобщенная инверсия». Математический вестник . 62 (420): 109–114. дои : 10.2307/3617665 . JSTOR   3617665 .
• Ульманн, Джеффри К. (2018). «Обобщенная обратная матрица, согласованная относительно диагональных преобразований» (PDF) . Журнал SIAM по матричному анализу и приложениям . 239 (2): 781–800. дои : 10.1137/17M113890X .
• Чжэн, Бин; Бапат, Равиндра (2004). «Обобщенное обратное A(2)T,S и ранговое уравнение». Прикладная математика и вычислительная техника . 155 (2): 407–415. дои : 10.1016/S0096-3003(03)00786-0 .