Обобщенный обратный

В математике и, в частности, в алгебре , обобщенным обратным (или g-обратным ) элементом x является элемент y , который обладает некоторыми свойствами обратного элемента , но не обязательно всеми из них. Целью построения обобщенной обратной матрицы является получение матрицы, которая может служить в некотором смысле обратной матрицей для более широкого класса матриц, чем обратимые матрицы . Обобщенные обратные могут быть определены в любой математической структуре , включающей ассоциативное умножение, то есть в полугруппе . В этой статье описываются обобщенные обратные матрицы . $A$ .

Матрица $A^{\mathrm {g} }\in \mathbb {R} ^{n\times m}$ является обобщенной обратной матрицей $A\in \mathbb {R} ^{m\times n}$ если $AA^{\mathrm {g} }A=A.$ ^[1]^[2]^[3] Обобщенная обратная существует для произвольной матрицы, и когда матрица имеет регулярную обратную , эта обратная является ее единственной обобщенной обратной. ^[1]

Мотивация [ править ]

Рассмотрим линейную систему

Ax=y

где $A$ является $n\times m$ матрица и $y\in {\mathcal {R}}(A),$ столбцов пространство $A$ . Если $A$ неособа ( что означает $n=m$ ) затем $x=A^{-1}y$ будет решением системы. Обратите внимание, что если $A$ неособа, то

AA^{-1}A=A.

Теперь предположим $A$ прямоугольный ( $n\neq m$ ), или квадратное и единственное число. Тогда нам нужен подходящий кандидат $G$ порядка $m\times n$ такой, что для всех $y\in {\mathcal {R}}(A),$

AGy=y.

^[4]

То есть, $x=Gy$ является решением линейной системы $Ax=y$ . Аналогично, нам нужна матрица $G$ порядка $m\times n$ такой, что

AGA=A.

Следовательно, мы можем определить обобщенное обратное следующим образом: Учитывая $m\times n$ матрица $A$ , $n\times m$ матрица $G$ называется обобщенной инверсией $A$ если $AGA=A.$ ‍ ^[1]^[2]^[3] Матрица $A^{-1}$ был назван регулярной инверсией $A$ некоторыми авторами. ^[5]

Типы [ править ]

Важные типы обобщенного обратного включают:

Односторонняя инверсия (правая инверсия или левая инверсия)
- Правая обратная: если матрица $A$ имеет размеры $n\times m$ и ${\textrm {rank}}(A)=n$ , то существует $m\times n$ матрица $A_{\mathrm {R} }^{-1}$ называется обратным правым $A$ такой, что $AA_{\mathrm {R} }^{-1}=I_{n}$ , где $I_{n}$ это $n\times n$ единичная матрица .
- Левый обратный: если матрица $A$ имеет размеры $n\times m$ и ${\textrm {rank}}(A)=m$ , то существует $m\times n$ матрица $A_{\mathrm {L} }^{-1}$ называется инверсией левой $A$ такой, что $A_{\mathrm {L} }^{-1}A=I_{m}$ , где $I_{m}$ это $m\times m$ единичная матрица. ^[6]
Обратный Ботт – Даффин
Дразин инверсный
Обратное Мура – Пенроуза

Некоторые обобщенные обратные значения определяются и классифицируются на основе условий Пенроуза:

$AA^{\mathrm {g} }A=A$
$A^{\mathrm {g} }AA^{\mathrm {g} }=A^{\mathrm {g} }$
$(AA^{\mathrm {g} })^{*}=AA^{\mathrm {g} }$
$(A^{\mathrm {g} }A)^{*}=A^{\mathrm {g} }A,$

где ${}^{*}$ обозначает сопряженное транспонирование. Если $A^{\mathrm {g} }$ удовлетворяет первому условию, то это обобщенное обратное условие $A$ . Если он удовлетворяет первым двум условиям, то это рефлексивная обобщенная инверсия $A$ . Если оно удовлетворяет всем четырем условиям, то оно псевдообратным является $A$ , который обозначается $A^{+}$ и также известный как инверсия Мура-Пенроуза , в честь новаторских работ Э. Х. Мура и Роджера Пенроуза . ^[2]^[7]^[8]^[9]^[10]^[11] Удобно определить $I$ -обратный $A$ как инверсия, удовлетворяющая подмножеству $I\subset \{1,2,3,4\}$ условий Пенроуза, перечисленных выше. Отношения, такие как $A^{(1,4)}AA^{(1,3)}=A^{+}$ , может быть установлено между этими различными классами $I$ -реверс. ^[1]

Когда $A$ несингулярна, любое обобщенное обратное $A^{\mathrm {g} }=A^{-1}$ и поэтому является уникальным. Для единственного числа $A$ некоторые обобщенные обратные, такие как инверсия Дрейзина и инверсия Мура – Пенроуза, уникальны, в то время как другие не обязательно определены однозначно.

Примеры [ править ]

Рефлексивная инверсия обобщенная

Позволять

A={\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{bmatrix}},\quad G={\begin{bmatrix}-{\frac {5}{3}}&{\frac {2}{3}}&0\\[4pt]{\frac {4}{3}}&-{\frac {1}{3}}&0\\[4pt]0&0&0\end{bmatrix}}.

С $\det(A)=0$ , $A$ сингулярна и не имеет регулярного обратного. Однако, $A$ и $G$ удовлетворяют условиям Пенроуза (1) и (2), но не (3) или (4). Следовательно, $G$ является рефлексивной обобщенной инверсией $A$ .

Одностороннее обратное [ править ]

Позволять

A={\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{bmatrix}},\quad A_{\mathrm {R} }^{-1}={\begin{bmatrix}-{\frac {17}{18}}&{\frac {8}{18}}\\[4pt]-{\frac {2}{18}}&{\frac {2}{18}}\\[4pt]{\frac {13}{18}}&-{\frac {4}{18}}\end{bmatrix}}.

С $A$ не квадратный, $A$ не имеет регулярного обратного. Однако, $A_{\mathrm {R} }^{-1}$ является правой противоположностью $A$ . Матрица $A$ не имеет левого обратного.

других полугрупп (или колец Инверсия )

Элемент b является обобщенным обратным элементом a тогда и только тогда, когда $a\cdot b\cdot a=a$ , в любой полугруппе (или кольце , поскольку функция умножения в любом кольце является полугруппой).

Обобщенные инверсии элемента 3 в кольце $\mathbb {Z} /12\mathbb {Z}$ равны 3, 7 и 11, так как в кольце $\mathbb {Z} /12\mathbb {Z}$ :

3\cdot 3\cdot 3=3

3\cdot 7\cdot 3=3

3\cdot 11\cdot 3=3

Обобщенные инверсии элемента 4 в кольце $\mathbb {Z} /12\mathbb {Z}$ равны 1, 4, 7 и 10, так как в кольце $\mathbb {Z} /12\mathbb {Z}$ :

4\cdot 1\cdot 4=4

4\cdot 4\cdot 4=4

4\cdot 7\cdot 4=4

4\cdot 10\cdot 4=4

Если элемент a в полугруппе (или кольце) имеет обратный, обратный должен быть единственным обобщенным обратным к этому элементу, как элементы 1, 5, 7 и 11 в кольце. $\mathbb {Z} /12\mathbb {Z}$ .

На ринге $\mathbb {Z} /12\mathbb {Z}$ , любой элемент является обобщенным обратным 0, однако 2 не имеет обобщенного обратного, так как нем нет элемента b. в $\mathbb {Z} /12\mathbb {Z}$ такой, что $2\cdot b\cdot 2=2$ .

Строительство [ править ]

Следующие характеристики легко проверить:

Правая обратная неквадратная матрица $A$ дан кем-то $A_{\mathrm {R} }^{-1}=A^{\intercal }\left(AA^{\intercal }\right)^{-1}$ , предоставил $A$ имеет полный ранг строки. ^[6]
Левая обратная неквадратная матрица $A$ дан кем-то $A_{\mathrm {L} }^{-1}=\left(A^{\intercal }A\right)^{-1}A^{\intercal }$ , предоставил $A$ имеет полный ранг столбца. ^[6]
Если $A=BC$ является ранговой факторизацией , тогда $G=C_{\mathrm {R} }^{-1}B_{\mathrm {L} }^{-1}$ является g-инверсией $A$ , где $C_{\mathrm {R} }^{-1}$ является правой противоположностью $C$ и $B_{\mathrm {L} }^{-1}$ является левой инверсией $B$ .
Если $A=P{\begin{bmatrix}I_{r}&0\\0&0\end{bmatrix}}Q$ для любых невырожденных матриц $P$ и $Q$ , затем $G=Q^{-1}{\begin{bmatrix}I_{r}&U\\W&V\end{bmatrix}}P^{-1}$ является обобщенной инверсией $A$ для произвольного $U,V$ и $W$ .
Позволять $A$ быть в звании $r$ . Не ограничивая общности, пусть $A={\begin{bmatrix}B&C\\D&E\end{bmatrix}},$ где $B_{r\times r}$ является неособой подматрицей $A$ . Затем, $G={\begin{bmatrix}B^{-1}&0\\0&0\end{bmatrix}}$ является обобщенной инверсией $A$ если и только если $E=DB^{-1}C$ .

Использует [ править ]

Любое обобщенное обратное можно использовать, чтобы определить, имеет ли система линейных уравнений какие-либо решения, и если да, то найти их все. Если существуют решения для n × m линейной системы размера

Ax=b

,

с вектором $x$ неизвестных и вектора $b$ констант, все решения имеют вид

x=A^{\mathrm {g} }b+\left[I-A^{\mathrm {g} }A\right]w

,

параметрический на произвольном векторе $w$ , где $A^{\mathrm {g} }$ является любым обобщенным обратным $A$ . Решения существуют тогда и только тогда, когда $A^{\mathrm {g} }b$ является решением, то есть тогда и только тогда, когда $AA^{\mathrm {g} }b=b$ . Если A имеет полный ранг столбца, выражение в скобках в этом уравнении является нулевой матрицей, и поэтому решение уникально. ^[12]

Обобщенные обратные матрицы [ править ]

Обобщенные обратные матрицы можно охарактеризовать следующим образом. Позволять $A\in \mathbb {R} ^{m\times n}$ , и

A=U{\begin{bmatrix}\Sigma _{1}&0\\0&0\end{bmatrix}}V^{\operatorname {T} }

— его сингулярное разложение . Тогда для любого обобщенного обратного $A^{g}$ , существуют ^[1] матрицы $X$ , $Y$ , и $Z$ такой, что

A^{g}=V{\begin{bmatrix}\Sigma _{1}^{-1}&X\\Y&Z\end{bmatrix}}U^{\operatorname {T} }.

И наоборот, любой выбор $X$ , $Y$ , и $Z$ ибо матрица такого вида является обобщенной обратной матрицей $A$ . ^[1] $\{1,2\}$ -обратные — это именно те, для которых $Z=Y\Sigma _{1}X$ , $\{1,3\}$ -обратные — это именно те, для которых $X=0$ и $\{1,4\}$ -обратные — это именно те, для которых $Y=0$ . В частности, псевдообратное имеет вид $X=Y=Z=0$ :

A^{+}=V{\begin{bmatrix}\Sigma _{1}^{-1}&0\\0&0\end{bmatrix}}U^{\operatorname {T} }.

Свойства согласованности трансформации [ править ]

В практических приложениях необходимо определить класс матричных преобразований, которые должны сохраняться обобщенным обратным. Например, обратное Мура – Пенроуза: $A^{+},$ удовлетворяет следующему определению непротиворечивости относительно преобразований, включающих унитарные матрицы U и V :

(UAV)^{+}=V^{*}A^{+}U^{*}

.

Обратное Дразина, $A^{\mathrm {D} }$ удовлетворяет следующему определению непротиворечивости относительно преобразований подобия, включающих неособую матрицу S :

\left(SAS^{-1}\right)^{\mathrm {D} }=SA^{\mathrm {D} }S^{-1}

.

Единично-согласованный (UC) обратный, ^[13] $A^{\mathrm {U} },$ удовлетворяет следующему определению непротиворечивости относительно преобразований, включающих неособые диагональные матрицы D и E :

(DAE)^{\mathrm {U} }=E^{-1}A^{\mathrm {U} }D^{-1}

.

Тот факт, что обратное Мура-Пенроуза обеспечивает согласованность относительно вращений (которые являются ортонормированными преобразованиями), объясняет его широкое использование в физике и других приложениях, в которых должны сохраняться евклидовы расстояния. Обратное UC, напротив, применимо, когда ожидается, что поведение системы будет инвариантным относительно выбора единиц измерения для различных переменных состояния, например, миль или километров.

См. также [ править ]

Цитаты [ править ]

^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^Это ^ж Бен-Исраэль и Гревилл 2003 , стр. 2, 7.
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с Накамура 1991 , стр. 41–42.
^ Перейти обратно: ^а ^б Рао и Митра 1971 , стр. 101-1. VII,
^ Рао и Митра 1971 , с. 24
^ Рао и Митра 1971 , стр. 101-1. 19–20
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с Рао и Митра 1971 , с. 19
^ Рао и Митра 1971 , стр. 101-1. 20, 28, 50–51
^ Бен-Исраэль и Гревилл 2003 , с. 7
^ Кэмпбелл и Мейер 1991 , с. 10
^ Джеймс 1978 , с. 114
^ Накамура 1991 , стр. 42.
^ Джеймс 1978 , стр. 109–110.
^ Ульманн 2018

Источники [ править ]

Учебник [ править ]

Бен-Исраэль, Ади ; Гревилл, Томас Нолл Иден (2003). Обобщенные обратные: теория и приложения (2-е изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Спрингер. дои : 10.1007/b97366 . ISBN 978-0-387-00293-4 .
Кэмпбелл, Стивен Л.; Мейер, Карл Д. (1991). Обобщенные обратные линейные преобразования . Дувр. ISBN 978-0-486-66693-8 .
Хорн, Роджер Алан ; Джонсон, Чарльз Роял (1985). Матричный анализ . Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0-521-38632-6 .
Накамура, Ёсихико (1991). Передовая робототехника: резервирование и оптимизация . Аддисон-Уэсли. ISBN 978-0201151985 .
Рао, К. Радхакришна; Митра, Суджит Кумар (1971). Обобщенная обратная матрица и ее приложения . Нью-Йорк: Джон Уайли и сыновья. стр. 100-1 240 . ISBN 978-0-471-70821-6 .

Публикация [ править ]

Джеймс, М. (июнь 1978 г.). «Обобщенное обратное». Математический вестник . 62 (420): 109–114. дои : 10.2307/3617665 . JSTOR 3617665 .
Ульманн, Джеффри К. (2018). «Обобщенная обратная матрица, согласованная относительно диагональных преобразований» (PDF) . Журнал SIAM по матричному анализу и приложениям . 239 (2): 781–800. дои : 10.1137/17M113890X .
Чжэн, Бин; Бапат, Равиндра (2004). «Обобщенное обратное A(2)T,S и ранговое уравнение». Прикладная математика и вычислительная техника . 155 (2): 407–415. дои : 10.1016/S0096-3003(03)00786-0 .

[:0-1] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^Это ^ж Бен-Исраэль и Гревилл 2003 , стр. 2, 7.

[:1-2] Перейти обратно: ^а ^б ^с Накамура 1991 , стр. 41–42.

[:2-3] Перейти обратно: ^а ^б Рао и Митра 1971 , стр. 101-1. VII,

[4] Рао и Митра 1971 , с. 24

[5] Рао и Митра 1971 , стр. 101-1. 19–20

[:4-6] Перейти обратно: ^а ^б ^с Рао и Митра 1971 , с. 19

[7] Рао и Митра 1971 , стр. 101-1. 20, 28, 50–51

[:3-8] Бен-Исраэль и Гревилл 2003 , с. 7

[9] Кэмпбелл и Мейер 1991 , с. 10

[10] Джеймс 1978 , с. 114

[11] Накамура 1991 , стр. 42.

[12] Джеймс 1978 , стр. 109–110.

[13] Ульманн 2018

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]