Обратный элемент

В математике понятие обратного элемента обобщает понятия противоположных ( $-x)$ и обратных ( $1/ x$ ) чисел.

Учитывая операцию, обозначенную здесь $*$ , и единичный элемент обозначаемый $e$ , если $x * y = e$ говорят, что $x$ является левой инверсией y $,$ , а $y$ является правой инверсией x $,$ . (Единичный элемент — это такой элемент, что $x * e = x$ и $e * y = y$ для всех $x$ и $y$ , для которых определены левые части. ^[1])

Когда операция $*$ ассоциативна имеет как левый обратный , , если элемент $x$ так и правый обратный, то эти два обратных элемента равны и уникальны; их называют обратным элементом или просто обратным . Часто для указания операции добавляется прилагательное, например, в аддитивной инверсии , мультипликативной инверсии и функциональной инверсии . В данном случае (ассоциативная операция) обратимым элементом является элемент, имеющий обратный. В кольце , обратимый элемент также называемый единицей , — это элемент, обратимый при умножении (это не двусмысленно, поскольку каждый элемент обратим при сложении).

Обратные обычно используются в группах , где каждый элемент обратим, и в кольцах , где обратимые элементы также называются единицами . Они также часто используются для операций, которые не определены для всех возможных операндов, таких как обратные матрицы и обратные функции . Это было обобщено на теорию категорий , где по определению изоморфизм является обратимым морфизмом .

Слово «инверсия» происходит от латинского слова inversus , что означает «перевернутый», «перевернутый». Это может происходить из случая дробей , где (мультипликативное) обратное получается путем замены числителя и знаменателя (обратного дроби). ${\tfrac {x}{y}}$ является ${\tfrac {y}{x}}$ ).

Определения и основные свойства

Понятия обратного элемента и обратимого элемента обычно определяются для бинарных операций , которые определены везде (то есть операция определена для любых двух элементов своей области определения ). Однако эти концепции также часто используются с частичными операциями , то есть операциями, которые не определены везде. Типичными примерами являются умножение матриц , композиция функций и композиция морфизмов в категории . Отсюда следует, что общие определения ассоциативности и единичного элемента должны быть распространены на частичные операции; этому посвящены первые подразделы.

В этом разделе $X$ — это множество (возможно, собственный класс ), над которым определена частичная операция (возможно, полная), которая обозначается $*.$

Ассоциативность

Частичная операция ассоциативна, если

x*(y*z)=(x*y)*z

для каждого $x, y, z$ в $X,$ для которого определен один из членов равенства; равенство означает, что другой член равенства также должен быть определен.

Примерами неполных ассоциативных операций являются умножение матриц произвольного размера и композиция функций .

Элементы айдентики

Позволять $*$ быть возможно частичной ассоциативной операцией над множеством $X$ .

Элемент идентичности или просто идентичность — это элемент $e$ такой, что

x*e=x\quad {\text{and}}\quad e*y=y

для любых $x$ и $y,$ для которых определены левые части равенств.

Если $e$ и $f$ - два единичных элемента такие, что $e*f$ определено, то $e=f.$ (Это следует непосредственно из определения, по $e=e*f=f.$ )

Отсюда следует, что общая операция имеет не более одного единичного элемента, и если $e$ и $f$ — разные тождества, то $e*f$ не определяется.

Например, в случае умножения матриц существует одна $n \times n$ единичная матрица размера для каждого положительного целого числа $n$ , и две единичные матрицы разного размера не могут быть перемножены вместе.

Аналогично, функции идентичности являются элементами идентичности для функции композиции , а композиция функций идентичности двух разных наборов не определена.

Левая и правая инверсия

Если $x*y=e,$ где $e$ — единичный элемент, говорят, что $x$ — левый обратный элемент y $,$ а $y$ — правый обратный элемент $x$ .

Левая и правая инверсии не всегда существуют, даже если операция тотальная и ассоциативная. Например, сложение — это полная ассоциативная операция над неотрицательными целыми числами , которая имеет $0$ в качестве аддитивного тождества , а $0$ — единственный элемент, который имеет аддитивную инверсию . Отсутствие обратных чисел является основной мотивацией преобразования натуральных чисел в целые.

Элемент может иметь несколько левых инверсий и несколько правых инверсий, даже если операция является тотальной и ассоциативной. Например, рассмотрим функции преобразования целых чисел в целые числа. Функция удвоения $x\mapsto 2x$ имеет бесконечно много левых обратных функций при композиции , которые представляют собой функции, которые делят на два четные числа и присваивают любое значение нечетным числам. Аналогично, каждая функция, которая отображает $n$ в любой из $2n$ или $2n+1$ является правой обратной функцией ${\textstyle n\mapsto \left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor ,}$ функция пола , которая отображает $n$ в ${\textstyle {\frac {n}{2}}}$ или ${\textstyle {\frac {n-1}{2}},}$ в зависимости от того, является ли $n$ четным или нечетным.

В более общем смысле, функция имеет левую обратную для композиции функций тогда и только тогда, когда она инъективна , и она имеет правую обратную тогда и только тогда, когда она сюръективна .

В теории категорий правые обратные также называются секциями , а левые обратные называются ретракциями .

Реверсы

Элемент обратим относительно операции, если он имеет левую обратную и правую обратную.

В общем случае, когда операция ассоциативна, левый и правый обратный элемент равны и уникальны. Действительно, если $l$ и $r$ являются соответственно левым обратным и правым обратным $x$ , то

l=l*(x*r)=(l*x)*r=r.

Обратный элемент обратимого — это его уникальный левый или правый инверсный элемент.

Если операция обозначается как сложение, то обратный или аддитивный обратный элемент $x$ обозначается $-x.$ В противном случае обратная величина $x$ обычно обозначается $x^{-1},$ или, в случае коммутативного умножения ${\textstyle {\frac {1}{x}}.}$ Если между несколькими операциями может возникнуть путаница, перед экспонентой можно добавить символ операции, например, в $x^{*-1}.$ Обозначения $f^{\circ -1}$ обычно не используется для композиции функций , поскольку ${\textstyle {\frac {1}{f}}}$ может использоваться для мультипликативного обратного .

Если $x$ и $y$ обратимы и $x*y$ определено, то $x*y$ является обратимым, а его обратным является $y^{-1}x^{-1}.$

Обратимый гомоморфизм называется изоморфизмом . В В теории категорий обратимый морфизм также называется изоморфизмом .

В группах

Группа набор — это с ассоциативной операцией , который имеет единичный элемент и для которого каждый элемент имеет обратный.

Таким образом, обратная — это функция от группы к себе, которую также можно рассматривать как операцию арности . Это также инволюция , поскольку инверсией обратного элемента является сам элемент.

Группа может действовать на множество как преобразования этого множества. В этом случае обратный $g^{-1}$ элемента группы $g$ определяет преобразование, обратное преобразованию, определенному $g,$ то есть преобразование, которое «отменяет» преобразование, определенное $g.$

Например, группа кубиков Рубика представляет собой конечные последовательности элементарных ходов. Обратная такая последовательность получается путем применения инверсии каждого хода в обратном порядке.

В моноидах

Моноид — это множество с ассоциативной операцией , имеющее единичный элемент .

Обратимые элементы в моноиде образуют группу при операции моноида.

Кольцо — это моноид для кольцевого умножения. В этом случае обратимые элементы также называются единицами и образуют группу единиц кольца.

Если моноид не является коммутативным , могут существовать необратимые элементы, имеющие левый инверсный или правый инверсный (а не оба, так как в противном случае элемент был бы обратимым).

Например, набор функций из множества в себя является моноидом при композиции функций . В этом моноиде обратимыми элементами являются биективные функции ; элементы, имеющие левые обратные, являются инъективными функциями , а элементы, имеющие обратные справа, — сюръективными функциями .

Учитывая моноид, можно расширить его, добавив инверсию к некоторым элементам. Обычно это невозможно для некоммутативных моноидов, но в коммутативном моноиде можно добавлять обратные элементы к элементам, имеющим свойство отмены (элемент $x$ имеет свойство отмены, если $xy=xz$ подразумевает $y=z,$ и $yx=zx$ подразумевает $y=z$ ). Такое расширение моноида допускается конструкцией группы Гротендика . Это метод, который обычно используется для построения целых чисел из натуральных чисел , рациональных чисел из целых чисел и, в более общем плане, поля частных целой области , а также локализации коммутативных колец .

В кольцах

Кольцо — это алгебраическая структура с двумя операциями — сложением и умножением , которые обозначаются как обычные операции над числами.

При сложении кольцо является абелевой группой , а это означает, что сложение коммутативно и ассоциативно ; он имеет тождество, называемое аддитивным тождеством и обозначаемое $0$ ; и каждый элемент $x$ имеет обратный, называемый аддитивным обратным и обозначаемый $- x$ . Из-за коммутативности понятия левых и правых инверсий бессмысленны, поскольку они не отличаются от инверсий.

При умножении кольцо является моноидом ; это означает, что умножение ассоциативно и имеет тождество, называемое мультипликативным тождеством и обозначаемое $1$ . Обратимый элемент умножения называется единицей . Обратная или мультипликативная обратная (во избежание путаницы с аддитивными обратными) единицы $x$ обозначается $x^{-1},$ или, когда умножение коммутативно, ${\textstyle {\frac {1}{x}}.}$

Аддитивная единица $0$ никогда не является единицей, за исключением случаев, когда кольцо является нулевым кольцом , $является 0$ уникальным элементом которого .

Если $0$ — единственная неединица, кольцо является полем, если умножение коммутативно, или телом в противном случае.

В некоммутативном кольце (т. е. кольце, умножение которого некоммутативно) необратимый элемент может иметь один или несколько левых или правых обратных. Так обстоит дело, например, с линейными функциями из бесконечномерного векторного пространства в себя.

( Коммутативное кольцо то есть кольцо, умножение которого коммутативно) может быть расширено путем добавления обратных элементов к элементам, которые не являются делителями нуля (то есть их произведение на ненулевой элемент не может быть $0$ ). Это процесс локализации , который производит, в частности, поле рациональных чисел из кольца целых чисел и, в более общем смысле, поле дробей области целого числа . Локализация также используется с делителями нуля, но в этом случае исходное кольцо не является подкольцом локализации; вместо этого он неинъективно отображается в локализацию.

Матрицы

Умножение матриц обычно определяется для матриц над полем и напрямую распространяется на матрицы над кольцами , кольцами и полукольцами . Однако в этом разделе только матрицы над коммутативным кольцом рассматриваются из-за использования понятия ранга и определителя .

Если $A$ — $матрица размера m \times n$ (то есть матрица с $m$ строками и $n$ столбцами), а $B$ — $матрица размера p \times q$ , произведение $AB$ определяется, если $n = p$ , и только в этом случае. Единичная матрица , то есть единичный элемент для умножения матрицы, представляет собой квадратную матрицу (одинаковое число для строк и столбцов), все элементы главной диагонали которой равны $1$ , а все остальные элементы равны $0$ .

Обратимая матрица — это обратимый элемент при умножении матриц. Матрица над коммутативным кольцом $R$ обратима тогда и только тогда, когда ее определитель равен единице в $R$ (то есть обратим в $R)$ . В этом случае ее обратная матрица может быть вычислена по правилу Крамера .

Если $R$ — поле, определитель обратим тогда и только тогда, когда он не равен нулю. Поскольку случай полей более распространен, часто можно увидеть обратимые матрицы, определяемые как матрицы с ненулевым определителем, но это неверно для колец.

В случае целочисленных матриц (то есть матриц с целочисленными элементами) обратимая матрица — это матрица, обратная которой также является целочисленной матрицей. Такая матрица называется унимодулярной в отличие от матриц, обратимых над действительными числами . Квадратная целочисленная матрица является унимодулярной тогда и только тогда, когда ее определитель равен $1$ или $-1$ , поскольку эти два числа являются единственными единицами в кольце целых чисел.

Матрица имеет левую обратную тогда и только тогда, когда ее ранг равен числу столбцов. Эта левая обратная не уникальна, за исключением квадратных матриц, где левая обратная равна обратной матрице. Точно так же правый обратный существует тогда и только тогда, когда ранг равен количеству строк; она не уникальна в случае прямоугольной матрицы и равна обратной матрице в случае квадратной матрицы.

Функции, гомоморфизмы и морфизмы

Композиция — это частичная операция , которая обобщает гомоморфизмы алгебраических структур и морфизмы категорий в операции , которые также называются композицией и имеют много общих свойств с функциональной композицией.

В любом случае композиция ассоциативна .

Если $f\colon X\to Y$ и $g\colon Y'\to Z,$ композиция $g\circ f$ определяется тогда и только тогда, когда $Y'=Y$ или, в случаях функции и гомоморфизма, $Y\subset Y'.$ В случаях функции и гомоморфизма это означает, кодобласть что $f$ равно или входит в область определения $g$ . В случае морфизма это означает, кодобласть что $f$ равен области определения $g$ .

Существует личность $\operatorname {id} _{X}\colon X\to X$ для каждого объекта $X$ ( множества , алгебраической структуры или объекта также называется тождественной функцией ), который в случае функции .

Функция обратима тогда и только тогда, когда она является биекцией . Обратимый гомоморфизм или морфизм называется изоморфизмом. Гомоморфизм алгебраических структур является изоморфизмом тогда и только тогда, когда он является биекцией. Обратная биекция называется обратной функцией . В остальных случаях говорят об обратных изоморфизмах .

Функция имеет левую обратную или правую обратную тогда и только тогда, когда она инъективна или сюръективна соответственно. Гомоморфизм алгебраических структур, имеющий левую инверсию или правую инверсию, соответственно инъективен или сюръективен, но обратное неверно в некоторых алгебраических структурах. Например, обратное верно для векторных пространств , но не для модулей над кольцом: гомоморфизм модулей, который имеет левый обратный к правому обратному, называется соответственно расщепляемым эпиморфизмом или расщепляемым мономорфизмом . Эта терминология также используется для морфизмов в любой категории.

Обобщения

В единой магме

Позволять $S$ быть единичной магмой , то есть множеством с бинарной операцией $*$ и элемент идентификации $e\in S$ . Если для $a,b\in S$ , у нас есть $a*b=e$ , затем $a$ называется левой инверсией $b$ и $b$ называется правым обратным $a$ . Если элемент $x$ является одновременно левым и правым обратным $y$ , затем $x$ называется двусторонней инверсией или инверсией просто $y$ . Элемент с двусторонним обратным по $S$ называется обратимым в $S$ . Элемент, у которого обратный элемент только с одной стороны, является обратимым слева или обратимым справа .

Элементы единой магмы $(S,*)$ может иметь несколько левых, правых или двусторонних инверсий. Например, в магме, заданной таблицей Кэли

*	1	2	3
1	1	2	3
2	2	1	1
3	3	1	1

элементы 2 и 3 имеют по две двусторонние инверсии.

Единая магма, в которой все элементы обратимы, не обязательно должна быть петлей . Например, в магме $(S,*)$ заданный таблицей Кэли

*	1	2	3
1	1	2	3
2	2	1	2
3	3	2	1

каждый элемент имеет уникальную двустороннюю инверсию (а именно самого себя), но $(S,*)$ не является циклом, поскольку таблица Кэли не является латинским квадратом .

Точно так же цикл не обязательно должен иметь двусторонние инверсии. Например, в цикле, заданном таблицей Кэли

*	1	2	3	4	5
1	1	2	3	4	5
2	2	3	1	5	4
3	3	4	5	1	2
4	4	5	2	3	1
5	5	1	4	2	3

единственный элемент с двусторонним обратным - это единичный элемент 1.

Если операция $*$ ассоциативен , то если элемент имеет как левый обратный, так и правый обратный, они равны. Другими словами, в моноиде (ассоциативной единой магме) каждый элемент имеет не более одного обратного (как определено в этом разделе). В моноиде множество обратимых элементов представляет собой группу , называемую группой единиц $S$ и обозначается $U(S)$ или Н ₁ .

В полугруппе

Определение в предыдущем разделе обобщает понятие инверсии в группе относительно понятия идентичности. Также возможно, хотя и менее очевидно, обобщить понятие обратного, отбросив единичный элемент, но сохранив ассоциативность; то есть в полугруппе .

В полугруппе S элемент x называется (фон Неймановым) регулярным существует такой элемент z , если в S , что xzx = x ; z иногда называют псевдообратным . Элемент y называется (просто) обратным элементу x, если xyx = x и y = yxy . У каждого регулярного элемента есть хотя бы один обратный элемент: если x = xzx , то легко проверить, что y = zxz является обратным элементом x, как определено в этом разделе. Еще один легко доказуемый факт: если y является инверсией x, то e = xy и f = yx являются идемпотентами , то есть ee = e и ff = f . Таким образом, каждая пара (взаимно) обратных элементов порождает два идемпотента, и ex = xf = x , ye = fy = y , и e действует как левое тождество на x , тогда как f действует как правое тождество, а левое/ правые роли поменялись местами для y . Это простое наблюдение можно обобщить с помощью соотношений Грина : каждый идемпотент e произвольной полугруппе является левым тождеством для Re _e и правым тождеством для L _в . ^[2] Интуитивное описание этого факта состоит в том, что каждая пара взаимно обратных элементов дает локальную левую идентичность и, соответственно, локальную правую идентичность.

В моноиде понятие обратного, определенное в предыдущем разделе, строго уже, чем определение, данное в этом разделе. Только элементы класса Грина H ₁ имеют инверсию с точки зрения единой магмы, тогда как для любого идемпотента элементы He имеют _e инверсию, как определено в этом разделе. Согласно этому более общему определению, обратные не обязательно должны быть уникальными (или существовать) в произвольной полугруппе или моноиде. Если все элементы регулярны, то полугруппа (или моноид) называется регулярной, и каждый элемент имеет хотя бы один обратный. Если каждый элемент имеет ровно один обратный, как определено в этом разделе, то полугруппа называется обратной полугруппой . Наконец, инверсная полугруппа только с одним идемпотентом является группой. Обратная полугруппа может иметь поглощающий элемент 0, поскольку 000 = 0, а группа — нет.

За пределами теории полугрупп уникальную инверсию, определенную в этом разделе, иногда называют квазиинверсией . В целом это оправдано, поскольку в большинстве приложений (например, во всех примерах в этой статье) сохраняется ассоциативность, что делает это понятие обобщением левого/правого обратного относительно тождества (см. Обобщенное обратное ).

U -полугруппы

Естественным обобщением обратной полугруппы является определение (произвольной) унарной операции ° такой, что ( а °)° = а для всех а из S ; это наделяет S алгеброй типа ⟨2,1⟩. Полугруппа, наделенная такой операцией, называется U -полугруппой . Хотя может показаться, что ° будет обратным к а , это не обязательно так. Чтобы получить интересное понятие(я), унарная операция должна каким-то образом взаимодействовать с полугрупповой операцией. два класса U -полугрупп: Изучены ^[3]

I -полугруппы , в которых аксиома взаимодействия аа ° а = а
*-полугруппы , в которых аксиома взаимодействия есть ( ab )° = b ° a °. операция называется инволюцией и обычно обозначается * Такая

Очевидно, что группа является одновременно I -полугруппой и *-полугруппой. Класс полугрупп, важный в теории полугрупп, — это вполне регулярные полугруппы ; это I -полугруппы, в которых дополнительно имеется аа ° = а ° а ; другими словами, каждый элемент имеет коммутирующий псевдообратный а °. Однако конкретных примеров таких полугрупп мало; большинство из них являются совершенно простыми полугруппами . Напротив, подкласс *-полугрупп, *-регулярные полугруппы (в смысле Дразина), дают один из наиболее известных примеров (уникальной) псевдообратной, инверсию Мура-Пенроуза . Однако в этом случае инволюция a * не является псевдообратной. Скорее, псевдообратным x является уникальный элемент y такой, что xyx = x , yxy = y , ( xy )* = xy , ( yx )* = yx . Поскольку *-регулярные полугруппы обобщают инверсные полугруппы, единственный элемент, определенный таким образом в *-регулярной полугруппе, называется обобщенной инверсией или инверсией Мура–Пенроуза .

Полукольца

Примеры

Во всех примерах в этом разделе используются ассоциативные операторы.

Связи Галуа

Нижний и верхний сопряженные в (монотонной) связности Галуа , L и G квазиобратны друг другу; то есть LGL = L и GLG = G , и одно однозначно определяет другое. Однако они не являются левыми или правыми инверсиями друг друга.

Обобщенные обратные матрицы

матрица Квадратная $M$ с записями в поле $K$ обратима (в множестве всех квадратных матриц одинакового размера при умножении матриц ) тогда и только тогда, когда ее определитель отличен от нуля. Если определитель $M$ равен нулю, то для него не может быть одностороннего обратного; поэтому левый инверсный или правый инверсный подразумевает существование другого. см. в разделе «Обратимая матрица» Дополнительную информацию .

В более общем смысле, квадратная матрица над коммутативным кольцом. $R$ обратима тогда и только тогда, когда ее определитель обратим в $R$ .

Неквадратные матрицы полного ранга имеют несколько односторонних обратных: ^[4]

Для $A:m\times n\mid m>n$ у нас остались инверсы; например, $\underbrace {\left(A^{\text{T}}A\right)^{-1}A^{\text{T}}} _{A_{\text{left}}^{-1}}A=I_{n}$
Для $A:m\times n\mid m<n$ у нас есть правые обратные; например, $A\underbrace {A^{\text{T}}\left(AA^{\text{T}}\right)^{-1}} _{A_{\text{right}}^{-1}}=I_{m}$

Левое обратное можно использовать для определения решения наименьшей нормы $Ax=b$ , что также является формулой наименьших квадратов для регрессии и определяется выражением $x=\left(A^{\text{T}}A\right)^{-1}A^{\text{T}}b.$

Ни одна матрица с недостатком ранга не имеет обратной (даже односторонней). Однако обратная матрица Мура-Пенроуза существует для всех матриц и совпадает с левой или правой (или истинной) обратной, если она существует.

В качестве примера обратных матриц рассмотрим:

A:2\times 3={\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{bmatrix}}

Итак, поскольку m < n , мы имеем правый обратный: $A_{\text{right}}^{-1}=A^{\text{T}}\left(AA^{\text{T}}\right)^{-1}.$ По компонентам вычисляется как

{\begin{aligned}AA^{\text{T}}&={\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&4\\2&5\\3&6\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}14&32\\32&77\end{bmatrix}}\\[3pt]\left(AA^{\text{T}}\right)^{-1}&={\begin{bmatrix}14&32\\32&77\end{bmatrix}}^{-1}={\frac {1}{54}}{\begin{bmatrix}77&-32\\-32&14\end{bmatrix}}\\[3pt]A^{\text{T}}\left(AA^{\text{T}}\right)^{-1}&={\frac {1}{54}}{\begin{bmatrix}1&4\\2&5\\3&6\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}77&-32\\-32&14\end{bmatrix}}={\frac {1}{18}}{\begin{bmatrix}-17&8\\-2&2\\13&-4\end{bmatrix}}=A_{\text{right}}^{-1}\end{aligned}}

Левого обратного не существует, потому что

A^{\text{T}}A={\begin{bmatrix}1&4\\2&5\\3&6\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}17&22&27\\22&29&36\\27&36&45\end{bmatrix}}

которая является сингулярной матрицей и не может быть инвертирована.

См. также

Примечания

^ Обычное определение единичного элемента было обобщено для включения тождественных функций в качестве единичных элементов для композиции функций и единичных матриц в качестве единичных элементов для умножения матриц .
^ Хауи, реквизит. 2.3.3, с. 51
^ Хоуи стр. 102
^ «Лекция профессора Массачусетского технологического института Гилберта Стрэнга по линейной алгебре № 33 - Левая и правая инверсия; псевдообратная» .

Ссылки

М. Килп, У. Кнауэр, А. В. Михалев, Моноиды, действия и категории с приложениями к сплетениям и графам , Изложения Де Грюйтера по математике, том. 29, Вальтер де Грюйтер, 2000 г., ISBN 3-11-015248-7 , с. 15 (определение в единой магме) и с. 33 (защита в полугруппе)
Хауи, Джон М. (1995). Основы теории полугрупп . Кларендон Пресс . ISBN 0-19-851194-9 . содержит весь материал о полугруппах, кроме *-регулярных полугрупп.
Дразин М.П., Регулярные полугруппы с инволюцией , Тр. Симп. о регулярных полугруппах (ДеКалб, 1979), 29–46.
Миюки Ямада, P-системы в регулярных полугруппах , Semigroup Forum , 24 (1), декабрь 1982 г., стр. 173–187.
Нордаль Т.Е. и Х.Е. Шейблих, Регулярные * полугруппы, Semigroup Forum , 16 (1978), 369–377.

[1] Обычное определение единичного элемента было обобщено для включения тождественных функций в качестве единичных элементов для композиции функций и единичных матриц в качестве единичных элементов для умножения матриц .

[2] Хауи, реквизит. 2.3.3, с. 51

[3] Хоуи стр. 102

[4] «Лекция профессора Массачусетского технологического института Гилберта Стрэнга по линейной алгебре № 33 - Левая и правая инверсия; псевдообратная» .

[1]

[2]

[3]

[4]