Целочисленная матрица
В математике целочисленная матрица — это матрица , все элементы которой являются целыми числами . Примеры включают двоичные матрицы , нулевую матрицу , матрицу единиц , единичную матрицу и матрицы смежности , используемые в теории графов , среди многих других. Целочисленные матрицы находят частое применение в комбинаторике .
Примеры
[ редактировать ]- и
оба являются примерами целочисленных матриц.
Характеристики
[ редактировать ]Обратимость целочисленных матриц, как правило, более устойчива численно, чем обратимость нецелочисленных матриц. Определитель целочисленной матрицы сам по себе является целым числом, а прил целочисленной матрицы также является целочисленной матрицей, таким образом , численно наименьшая возможная величина определителя обратимой целочисленной матрицы равна единице , следовательно, там, где существуют обратные, они не становятся чрезмерно большими. (см. номер условия ). Теоремы из теории матриц , которые выводят свойства из определителей, таким образом, избегают ловушек, вызванных плохо обусловленными ( почти нулевой определитель) вещественными матрицами или матрицами со значениями с плавающей запятой .
Обратная целочисленная матрица снова является целочисленной матрицей тогда и только тогда, когда определитель равно или . Целочисленные матрицы определителя сформировать группу , который имеет далеко идущие применения в арифметике и геометрии . Для , она тесно связана с модульной группой .
Пересечение целочисленных матриц с ортогональной группой представляет собой группу матриц перестановок со знаком .
Характеристический полином целочисленной матрицы имеет целые коэффициенты. Поскольку собственные значения матрицы являются корнями этого многочлена, собственные значения целочисленной матрицы являются целыми алгебраическими числами . Таким образом, в размерности меньше 5 они могут быть выражены радикалами, содержащими целые числа.
Целочисленные матрицы иногда называют целочисленными матрицами , хотя такое использование не рекомендуется.
