Матрица Вильсона

Матрица Вильсона следующая $4\times 4$ матрица, имеющая целые числа в качестве элементов:

$W={\begin{bmatrix}5&7&6&5\\7&10&8&7\\6&8&10&9\\5&7&9&10\end{bmatrix}}$

Это матрица коэффициентов следующей системы линейных уравнений, рассмотренной в статье Дж. Морриса, опубликованной в 1946 году:

${\text{(S1)}}\quad {\begin{aligned}5x+7y+6z+5u&=23\\7x+10y+8z+7u&=32\\6x+8y+10z+9u&=33\\5x+7y+9z+10u&=31\end{aligned}}$

Моррис приписывает источник системы уравнений некоему Т. С. Уилсону, но никаких подробностей о Уилсоне предоставлено не было. Конкретная система уравнений была использована Моррисом для иллюстрации концепции плохо обусловленной системы уравнений. Матрица $W$ на протяжении многих лет использовался в качестве примера и в целях тестирования во многих исследовательских работах и ​​книгах. Джон Тодд упомянул $W$ как «пресловутая матрица W Т.С. Уилсона».

Характеристики

1. $W$ является симметричной матрицей .
2. $W$ является положительно определенным .
3. Определитель ​ ​ $W$ является $1$.
4. Обратная сторона ​ $W$ является $W^{-1}={\begin{bmatrix}68&-41&-17&10\\-41&25&10&-6\\-17&10&5&-3\\10&-6&-3&2\end{bmatrix}}$
5. Характеристический полином ​ $W$ является $\lambda ^{4}-35\lambda ^{3}+146\lambda ^{2}-100\lambda +1$.
6. Собственные значения ​ $W$ являются $\quad 0.01015004839789187,\quad 0.8431071498550294,\quad 3.858057455944953,\quad 30.28868534580213$.
7. С $W$ симметричен, 2-нормальное число обусловленности $W$ является $\kappa _{2}(W)=({\text{max eigen value}})/({\text{min eigen value}})=30.28868534580213/0.01015004839789187=2984.09270167549$.
8. Решение системы уравнений $(S1)$ является $x=y=z=u=1$.
9. Холецкого Факторизация ​ $W$ является $W=R^{T}R$ где $R={\begin{bmatrix}{\sqrt {5}}&{\frac {7}{\sqrt {5}}}&{\frac {6}{\sqrt {5}}}&{\sqrt {5}}\\0&{\frac {1}{\sqrt {5}}}&-{\frac {2}{\sqrt {5}}}&0\\0&0&{\sqrt {2}}&{\frac {3}{\sqrt {2}}}\\0&0&0&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{bmatrix}}$.
10. $W$ имеет факторизацию $W=LDL^{T}$ где $L={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\{\frac {7}{5}}&1&0&0\\{\frac {6}{5}}&-2&1&0\\1&0&{\frac {3}{2}}&1\end{bmatrix}},\quad D={\begin{bmatrix}5&0&0&0\\0&{\frac {1}{5}}&0&0\\0&0&2&0\\0&0&0&{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}$.
11. $W$ имеет факторизацию $W=Z^{T}Z$ с $Z$ как целочисленная матрица $Z={\begin{bmatrix}2&3&2&2\\1&1&2&1\\0&0&1&2\\0&0&1&1\end{bmatrix}}$.

Проблемы исследования, порожденные матрицей Вильсона

Рассмотрение числа обусловленности матрицы Вильсона породило несколько интересных исследовательских проблем, связанных с числами обусловленности матриц в некоторых специальных классах матриц, имеющих некоторые или все особенности матрицы Вильсона. В частности, были изучены следующие специальные классы матриц:

1. $S=$ набор $4\times 4$ неособые симметричные матрицы с целыми элементами от 1 до 10.
2. $P=$ набор $4\times 4$ положительно определенные симметричные матрицы с целочисленными элементами от 1 до 10.

Исчерпывающий расчет чисел обусловленности матриц приведенных выше наборов дал следующие результаты:

1. Среди элементов $S$, максимальное число обусловленности $7.6119\times 10^{4}$ и этот максимум достигается матрицей ${\begin{bmatrix}2&7&10&10\\7&10&10&9\\10&10&10&1\\10&9&1&10\end{bmatrix}}$.
2. Среди элементов $P$, максимальное число обусловленности $3.5529\times 10^{4}$ и этот максимум достигается матрицей ${\begin{bmatrix}9&1&1&5\\1&10&1&9\\1&1&10&1\\5&9&1&10\end{bmatrix}}$.