Матрица единиц

В математике матрица единиц или матрица всех единиц — это матрица , в которой каждая запись равна единице . Примеры стандартных обозначений приведены ниже:

$J_{2}={\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}};\quad J_{3}={\begin{pmatrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{pmatrix}};\quad J_{2,5}={\begin{pmatrix}1&1&1&1&1\\1&1&1&1&1\end{pmatrix}};\quad J_{1,2}={\begin{pmatrix}1&1\end{pmatrix}}.\quad$

В некоторых источниках матрицу, состоящую из всех единиц, называют единичной матрицей . но этот термин может также относиться к единичной матрице , другому типу матрицы.

Вектор единиц или вектор всех единиц представляет собой матрицу единиц, имеющую форму строки или столбца ; его не следует путать с единичными векторами .

Свойства

Для матрицы размера n × n из единиц J выполняются следующие свойства:

• След ​ ​ J равен n , и определитель равен 0 при n ≥ 2, но равен 1, если n = 1.
• Характеристический полином J ​ равен $(x-n)x^{n-1}$.
• Минимальный полином J ​ равен $x^{2}-nx$.
• Ранг равен J равны 1, а собственные значения с n кратностью 1 и 0 с кратностью n − 1 .
• $J^{k}=n^{k-1}J$ для $k=1,2,\ldots .$
• J — нейтральный элемент произведения Адамара .

Когда J рассматривается как матрица над действительными числами , сохраняются следующие дополнительные свойства:

• J — положительная полуопределенная матрица .
• Матрица ${\tfrac {1}{n}}J$ является идемпотентным .
• Матричная экспонента J ​ равна $\exp(J)=I+{\frac {e^{n}-1}{n}}J.$

Приложения

Матрица «все единицы» возникает в математической области комбинаторики , особенно в связи с применением алгебраических методов к теории графов . Например, если A — матрица смежности n - вершинного неориентированного графа G , а J — матрица, состоящая из одних единиц того же измерения, то G — регулярный граф тогда и только тогда, когда AJ = JA . В качестве второго примера матрица появляется в некоторых линейно-алгебраических доказательствах формулы Кэли , которая дает количество остовных деревьев , полного графа используя теорему о матричном дереве .

См. также

• Нулевая матрица , матрица, в которой все элементы равны нулю.
• Однозаходная матрица