Матрица коммутации

Не путать с коммутатором. $AB-BA$ из двух квадратных матриц $A$ и $B$ в теории колец.

В математике , особенно в линейной алгебре и теории матриц , матрица коммутации используется для преобразования векторизованной формы матрицы в векторизованную форму ее транспонирования . В частности, матрица коммутации K ^{( м , н )} — это матрица nm × mn , которая для любой размера m × n матрицы A преобразует vec( A ) в vec( A ^Т ):

К ^{( м , н )} вещь( А ) = вещь( А ^Т ) .

Здесь vec( A ) — mn × 1 вектор-столбец , полученный путем наложения столбцов A друг на друга:

$\operatorname {vec} (\mathbf {A} )=[\mathbf {A} _{1,1},\ldots ,\mathbf {A} _{m,1},\mathbf {A} _{1,2},\ldots ,\mathbf {A} _{m,2},\ldots ,\mathbf {A} _{1,n},\ldots ,\mathbf {A} _{m,n}]^{\mathrm {T} }$

где А = [ А _{я , j} ]. Другими словами, vec( A ) — это вектор, полученный векторизацией A в порядке по столбцам . Аналогично, vec( A ^Т ) — вектор, полученный путем векторизации A в порядке строк.

В контексте квантовой теории информации матрицу коммутации иногда называют матрицей замены или оператором замены.

Характеристики

• Матрица коммутации представляет собой особый тип матрицы перестановки и, следовательно, ортогональна . В частности, К. ^{( м , н )} равно $\mathbf {P} _{\pi }$, где $\pi$ перестановка закончилась $\{1,\dots ,mn\}$ для чего

$\pi (i+m(j-1))=j+n(i-1),\quad i=1,\dots ,m,\quad j=1,\dots ,n.$

• Замена А на А ^Т в определении матрицы коммутации показывает, что K ^{( м , н )} = ( К ^{( н , м )} ) ^Т . Поэтому в частном случае m = n матрица коммутации является инволюцией и симметрична .

• Основное использование матрицы коммутации и источник ее названия - это коммутация произведения Кронекера : для каждой m × n матрицы A и каждой размера r × q матрицы B ,

$\mathbf {K} ^{(r,m)}(\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} )\mathbf {K} ^{(n,q)}=\mathbf {B} \otimes \mathbf {A} .$

Это свойство часто используется при разработке статистики более высокого порядка ковариационных матриц Уишарта.

• Случай n=q=1 для приведенного выше уравнения означает, что для любых векторов-столбцов v,w размеров m,r соответственно,

$\mathbf {K} ^{(r,m)}(\mathbf {v} \otimes \mathbf {w} )=\mathbf {w} \otimes \mathbf {v} .$

Это свойство является причиной того, что эту матрицу называют «оператором обмена» в контексте квантовой теории информации.

• Две явные формы матрицы коммутации таковы: если e _{r , j} обозначает j -й канонический вектор размерности r (т.е. вектор с 1 в j -й координате и 0 в других местах), тогда

$\mathbf {K} ^{(r,m)}=\sum _{i=1}^{r}\sum _{j=1}^{m}\left(\mathbf {e} _{r,i}{\mathbf {e} _{m,j}}^{\mathrm {T} }\right)\otimes \left(\mathbf {e} _{m,j}{\mathbf {e} _{r,i}}^{\mathrm {T} }\right)=\sum _{i=1}^{r}\sum _{j=1}^{m}\left(\mathbf {e} _{r,i}\otimes \mathbf {e} _{m,j}\right)\left(\mathbf {e} _{m,j}\otimes \mathbf {e} _{r,i}\right)^{\mathrm {T} }.$

• Матрица коммутации может быть выражена в виде следующей блочной матрицы:

$\mathbf {K} ^{(m,n)}={\begin{bmatrix}\mathbf {K} _{1,1}&\cdots &\mathbf {K} _{1,n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\\mathbf {K} _{m,1}&\cdots &\mathbf {K} _{m,n},\end{bmatrix}},$

Где p,q запись nxm блочной матрицы K _i,j определяется выражением

$\mathbf {K} _{ij}(p,q)={\begin{cases}1&i=q{\text{ and }}j=p,\\0&{\text{otherwise}}.\end{cases}}$

Например,

$\mathbf {K} ^{(3,4)}=\left[{\begin{array}{ccc|ccc|ccc|ccc}1&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&1&0&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&1&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&0&0&1&0&0\\\hline 0&1&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&1&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&1&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&1&0\\\hline 0&0&1&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&1&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&0&1&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&1\end{array}}\right].$

Код

Как для квадратных, так и для прямоугольных матриц m ряды и n столбцы, матрица коммутации может быть сгенерирована с помощью приведенного ниже кода.

Питон

import numpy as np


def comm_mat(m, n):
    # determine permutation applied by K
    w = np.arange(m * n).reshape((m, n), order="F").T.ravel(order="F")

    # apply this permutation to the rows (i.e. to each column) of identity matrix and return result
    return np.eye(m * n)[w, :]

Альтернативно, версия без импорта:

# Kronecker delta
def delta(i, j):
    return int(i == j)


def comm_mat(m, n):
    # determine permutation applied by K
    v = [m * j + i for i in range(m) for j in range(n)]

    # apply this permutation to the rows (i.e. to each column) of identity matrix
    I = [[delta(i, j) for j in range(m * n)] for i in range(m * n)]
    return [I[i] for i in v]

МАТЛАБ

function P = com_mat(m, n)

% determine permutation applied by K
A = reshape(1:m*n, m, n);
v = reshape(A', 1, []);

% apply this permutation to the rows (i.e. to each column) of identity matrix
P = eye(m*n);
P = P(v,:);

Р

# Sparse matrix version
comm_mat = function(m, n){
  i = 1:(m * n)
  j = NULL
  for (k in 1:m) {
    j = c(j, m * 0:(n-1) + k)
  }
  Matrix::sparseMatrix(
    i = i, j = j, x = 1
  )
}

Пример

Позволять $A$ обозначаем следующее $3\times 2$ матрица:

$A={\begin{bmatrix}1&4\\2&5\\3&6\\\end{bmatrix}}.$

$A$ имеет следующие векторизации по столбцам и по строкам (соответственно):

$\mathbf {v} _{\text{col}}=\operatorname {vec} (A)={\begin{bmatrix}1\\2\\3\\4\\5\\6\\\end{bmatrix}},\quad \mathbf {v} _{\text{row}}=\operatorname {vec} (A^{\mathrm {T} })={\begin{bmatrix}1\\4\\2\\5\\3\\6\\\end{bmatrix}}.$

Соответствующая матрица коммутации

$K=\mathbf {K} ^{(3,2)}={\begin{bmatrix}1&\cdot &\cdot &\cdot &\cdot &\cdot \\\cdot &\cdot &\cdot &1&\cdot &\cdot \\\cdot &1&\cdot &\cdot &\cdot &\cdot \\\cdot &\cdot &\cdot &\cdot &1&\cdot \\\cdot &\cdot &1&\cdot &\cdot &\cdot \\\cdot &\cdot &\cdot &\cdot &\cdot &1\\\end{bmatrix}},$

(где каждый $\cdot$ обозначает ноль). Как и ожидалось, справедливо следующее:

$K^{\mathrm {T} }K=KK^{\mathrm {T} }=\mathbf {I} _{6}$

$K\mathbf {v} _{\text{col}}=\mathbf {v} _{\text{row}}$

Ссылки

• Ян Р. Магнус и Хайнц Нойдекер (1988), Матричное дифференциальное исчисление с приложениями в статистике и эконометрике , Wiley.