Матрица Сильвестра

В математике матрица Сильвестра — это матрица, связанная с двумя одномерными многочленами с коэффициентами в поле или коммутативном кольце . Элементы матрицы Сильвестра двух полиномов являются коэффициентами полиномов. Определителем , которая равна нулю , матрицы Сильвестра двух многочленов является их результирующая когда два многочлена имеют общий корень (в случае коэффициентов в поле) или непостоянный общий делитель (в случае коэффициентов в целой области ). .

Матрицы Сильвестра названы в честь Джеймса Джозефа Сильвестра .

Определение

Формально, пусть p и q — два ненулевых многочлена степени m и n соответственно . Таким образом:

$p(z)=p_{0}+p_{1}z+p_{2}z^{2}+\cdots +p_{m}z^{m},\;q(z)=q_{0}+q_{1}z+q_{2}z^{2}+\cdots +q_{n}z^{n}.$

Матрица Сильвестра, связанная с p и q, тогда является $(n+m)\times (n+m)$ матрица построена следующим образом:

• если n > 0, первая строка:

${\begin{pmatrix}p_{m}&p_{m-1}&\cdots &p_{1}&p_{0}&0&\cdots &0\end{pmatrix}}.$

• вторая строка – первая строка, сдвинутая на один столбец вправо; первый элемент строки равен нулю.
• Следующие n - 2 строк получаются таким же образом, каждый раз сдвигая коэффициенты на один столбец вправо и устанавливая остальные записи в строке равными 0.
• если m > 0, ( n + 1)-я строка:

${\begin{pmatrix}q_{n}&q_{n-1}&\cdots &q_{1}&q_{0}&0&\cdots &0\end{pmatrix}}.$

• следующие ряды получаются так же, как и раньше.

Таким образом, если m = 4 и n = 3, матрица имеет вид:

$S_{p,q}={\begin{pmatrix}p_{4}&p_{3}&p_{2}&p_{1}&p_{0}&0&0\\0&p_{4}&p_{3}&p_{2}&p_{1}&p_{0}&0\\0&0&p_{4}&p_{3}&p_{2}&p_{1}&p_{0}\\q_{3}&q_{2}&q_{1}&q_{0}&0&0&0\\0&q_{3}&q_{2}&q_{1}&q_{0}&0&0\\0&0&q_{3}&q_{2}&q_{1}&q_{0}&0\\0&0&0&q_{3}&q_{2}&q_{1}&q_{0}\end{pmatrix}}.$

Если одна из степеней равна нулю (т. е. соответствующий многочлен является ненулевым постоянным многочленом), то имеются нулевые строки, состоящие из коэффициентов другого многочлена, а матрица Сильвестра является диагональной матрицей размерности степени ненулевого многочлена. постоянный полином, все диагональные коэффициенты которого равны постоянному полиному. Если m = n = 0, то матрица Сильвестра — это пустая матрица с нулевыми строками и нулевыми столбцами.

Вариант

Определенная выше матрица Сильвестра появляется в статье Сильвестра 1840 года. В статье 1853 года Сильвестр представил следующую матрицу, которая, с точностью до перестановки строк, является матрицей Сильвестра p и q , которые считаются имеющими степень max( m , n ). Таким образом, это $2\max(n,m)\times 2\max(n,m)$-матрица, содержащая $\max(n,m)$ пары строк. Предполагая $m>n,$ получается следующим образом:

• первая пара:

${\begin{pmatrix}p_{m}&p_{m-1}&\cdots &p_{n}&\cdots &p_{1}&p_{0}&0&\cdots &0\\0&\cdots &0&q_{n}&\cdots &q_{1}&q_{0}&0&\cdots &0\end{pmatrix}}.$

• вторая пара — первая пара, сдвинутая на один столбец вправо; первые элементы в двух строках равны нулю.
• остальные $max(n,m)-2$ пары строк получаются так же, как указано выше.

Таким образом, если m = 4 и n = 3, матрица имеет вид:

${\begin{pmatrix}p_{4}&p_{3}&p_{2}&p_{1}&p_{0}&0&0&0\\0&q_{3}&q_{2}&q_{1}&q_{0}&0&0&0\\0&p_{4}&p_{3}&p_{2}&p_{1}&p_{0}&0&0\\0&0&q_{3}&q_{2}&q_{1}&q_{0}&0&0\\0&0&p_{4}&p_{3}&p_{2}&p_{1}&p_{0}&0\\0&0&0&q_{3}&q_{2}&q_{1}&q_{0}&0\\0&0&0&p_{4}&p_{3}&p_{2}&p_{1}&p_{0}\\0&0&0&0&q_{3}&q_{2}&q_{1}&q_{0}\\\end{pmatrix}}.$

Определитель матрицы 1853 года с точностью до знака является произведением определителя матрицы Сильвестра (который называется p результантом и q ) на $p_{m}^{m-n}$ (все еще предполагая $m\geq n$).

Приложения

Эти матрицы используются в коммутативной алгебре , например, для проверки того, имеют ли два многочлена (непостоянный) общий фактор. В таком случае определитель соответствующей матрицы Сильвестра (который называется результатом двух полиномов) равен нулю. Обратное также верно.

Решения одновременных линейных уравнений

${S_{p,q}}^{\mathrm {T} }\cdot {\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}$

где $x$ вектор размера $n$ и $y$ имеет размер $m$, содержат векторы коэффициентов тех и только тех пар $x,y$ полиномов (степеней $n-1$ и $m-1$соответственно), которые выполняют

$x(z)\cdot p(z)+y(z)\cdot q(z)=0,$

где используется полиномиальное умножение и сложение.Это означает, что ядро ​​транспонированной матрицы Сильвестра дает все решения уравнения Безу, где $\deg x<\deg q$ и $\deg y<\deg p$.

Следовательно, матрицы Сильвестра определяет степень наибольшего общего делителя p q и ранг :

$\deg(\gcd(p,q))=m+n-\operatorname {rank} S_{p,q}.$

Более того, коэффициенты этого наибольшего общего делителя могут быть выражены как определители подматриц матрицы Сильвестра (см. Подрезультат ).

См. также

• Матрица переноса
• Матрица Безу

Ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Матрица Сильвестра» . Математический мир .