Булева матрица

В математике — булева матрица это матрица с элементами булевой алгебры . Когда используется двухэлементная булева алгебра , булева матрица называется логической матрицей . (В некоторых контекстах, особенно в информатике , термин «булева матрица» подразумевает это ограничение.)

Пусть U — нетривиальная булева алгебра (т. е. содержащая не менее двух элементов). , объединение, дополнение и включение элементов выражается в U. Пересечение Пусть V — совокупность матриц размера n × n элементы которых взяты из U. , Дополнение такой матрицы получается путем дополнения каждого элемента. Пересечение или объединение двух таких матриц получается путем применения операции к записям каждой пары элементов для получения соответствующего пересечения или объединения матриц. Матрица содержится в другой, если каждая запись первой содержится в соответствующей записи второй.

Произведение двух логических матриц выражается следующим образом:

$$(AB)_{ij}=\bigcup _{k=1}^{n}(A_{ik}\cap B_{kj}).$$

По словам одного автора, «Матрицы над произвольной булевой алгеброй β удовлетворяют большинству свойств над β ₀ = {0, 1}. Причина в том, что любая булева алгебра является суббулевой алгеброй $\beta _{0}^{S}$ для некоторого множества S и мы имеем изоморфизм матриц размера n × n над $\beta _{0}^{S}\ {\text{to}}\ \beta _{n}^{S}.$"

Ссылки

• Р. Дункан Люс (1952) «Заметки о булевых матрицах», Труды Американского математического общества 3 : 382–8, Jstor link MR 0050559
• Жак Риге (1954) «О распространении расчета бинарных отношений на расчет матриц с элементами в булевой алгебре», Comptes Rendus 238 : 2382–2385.

Дальнейшее чтение

• Стэн Гаддер и Фредерик Латремольер (2009) «Булевы пространства внутреннего произведения и булевы матрицы», Линейная алгебра и ее приложения 431 : 274–96 MR 2522576
• DE Резерфорд (1963) «Обратные булевы матрицы», Труды Математической ассоциации Глазго 6 : 49–63 MR 0148585
• Т. С. Блайт (1967) «Собственные векторы булевых матриц», Труды Королевского общества Эдинбурга 67 : 196–204 MR 0210727
• Стивен Киркланд и Норман Дж. Пуллман (1993) «Линейные операторы, сохраняющие инварианты недвоичных логических матриц», Линейная и полилинейная алгебра 33 : 295–300 дои : 10.1080/03081089308818200 MR 1334678
• Кён-Каэ Кан, Сок-Зун Сон и Ён-Бэ Юнг (2011) «Линейные сохранятели регулярных матриц над общими булевыми алгебрами», Бюллетень Малайзийского общества математических наук , вторая серия, 34 (1): 113–25 MR 2783783