Матрица Картана

В математике термин «матрица Картана» имеет три значения. Все они названы в честь французского математика Эли Картана . Забавно, что матрицы Картана в контексте алгебр Ли были впервые исследованы Вильгельмом Киллингом , тогда как форма Киллинга принадлежит Картану. ^{[ нужна ссылка ]}

Алгебры Ли

(Симметризуемая) обобщенная матрица Картана представляет собой квадратную матрицу $A=(a_{ij})$ с целочисленными записями, такими что

Для диагональных записей $a_{ii}=2$ .
Для недиагональных записей: $a_{ij}\leq 0$ .
$a_{ij}=0$ тогда и только тогда, когда $a_{ji}=0$
$A$ можно записать как $DS$ , где $D$ является диагональной матрицей и $S$ является симметричной матрицей .

Например, матрицу Картана для G ₂ можно разложить следующим образом:

{\begin{bmatrix}2&-3\\-1&2\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}3&0\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\frac {2}{3}}&-1\\-1&2\end{bmatrix}}.

Третье условие не является независимым, но на самом деле является следствием первого и четвертого условий.

Мы всегда можем выбрать D с положительными диагональными элементами. В этом случае, если S в приведенном выше разложении положительно определена , то A называется матрицей Картана .

Матрица Картана простой алгебры Ли — это матрица, элементами которой являются скалярные произведения

a_{ji}=2{(r_{i},r_{j}) \over (r_{j},r_{j})}

^[1]

(иногда называемые целыми числами Картана ), где r _i — простые корни алгебры. Записи являются целыми от одного из свойств корней . Первое условие следует из определения, второе из того, что при $i\neq j,r_{j}-{2(r_{i},r_{j}) \over (r_{i},r_{i})}r_{i}$ является корнем, который представляет собой линейную комбинацию простых корней r _i и r _j с положительным коэффициентом для r _j , поэтому коэффициент для r _i должен быть неотрицательным. Третье верно, поскольку ортогональность — симметричное отношение. И наконец, позвольте $D_{ij}={\delta _{ij} \over (r_{i},r_{i})}$ и $S_{ij}=2(r_{i},r_{j})$ . Поскольку простые корни охватывают евклидово пространство , S положительно определен.

И наоборот, по обобщенной матрице Картана можно восстановить соответствующую ей алгебру Ли. ( см. в разделе «Алгебра Каца – Муди» Более подробную информацию ).

Классификация

Ан $n\times n$ матрица A разложима , если существует непустое собственное подмножество $I\subset \{1,\dots ,n\}$ такой, что $a_{ij}=0$ в любое время $i\in I$ и $j\notin I$ . А неразложимо , если оно неразложимо.

Пусть A — неразложимая обобщенная матрица Картана. Мы говорим, что A имеет конечный тип , если все его главные миноры положительны, что A имеет аффинный тип , если его собственные главные миноры положительны и A имеет определитель 0, и что A имеет неопределенный тип в противном случае.

Неразложимые матрицы конечного типа классифицируют конечномерные простые алгебры Ли (типов $A_{n},B_{n},C_{n},D_{n},E_{6},E_{7},E_{8},F_{4},G_{2}$ ), а неразложимые матрицы аффинного типа классифицируют аффинные алгебры Ли (скажем, над некоторым алгебраически замкнутым полем характеристики 0).

Определители матриц Картана простых алгебр Ли

Определители матриц Картана простых алгебр Ли приведены в следующей таблице (вместе с A ₁ =B ₁ =C ₁ , B ₂ =C ₂ , D ₃ =A ₃ , D ₂ =A ₁ A ₁ , E ₅ =D ₅ , E ₄ =A ₄ и E ₃ =A ₂ A ₁ ). ^[2]

н	Б _н	С _н	Д _н п ≥ 3	E_В 3 ≤ n ≤ 8	F_F4	Г ₂
п + 1	2	2	4	9 - п	1	1

Другое свойство этого определителя состоит в том, что он равен индексу ассоциированной системы корней, т. е. равен $|P/Q|$ где $P, Q$ обозначают решетку весов и решетку корней соответственно.

Представления конечномерных алгебр

В модульной теории представлений и, в более общем смысле, в теории представлений конечномерных ассоциативных алгебр A , которые не являются полупростыми , матрица Картана определяется путем рассмотрения (конечного) набора главных неразложимых модулей и записи композиционных рядов для них в терминах неприводимые модули , что дает матрицу целых чисел, подсчитывающую количество вхождений неприводимого модуля.

Матрицы Картана в М-теории

В М-теории можно рассматривать геометрию с двумя циклами , которые пересекаются друг с другом в конечном числе точек, в пределе, когда площадь двух циклов стремится к нулю. В этом пределе появляется локальная группа симметрии . Предполагается, что матрица чисел пересечения базиса двухциклов является матрицей Картана алгебры Ли этой локальной группы симметрии. ^[3]

Это можно объяснить следующим образом. В М-теории есть солитоны , которые представляют собой двумерные поверхности, называемые мембранами или 2-бранами . 2-брана обладает напряжением и, следовательно, имеет тенденцию сжиматься, но она может оборачиваться вокруг двухциклов, что предотвращает ее сжатие до нуля.

Можно компактифицировать одно измерение, которое является общим для всех двух циклов и их точек пересечения, а затем взять предел, при котором это измерение сжимается до нуля, получая таким образом уменьшение размерности по этому измерению. Тогда мы получаем теорию струн типа IIA как предел М-теории с двумя бранами, обертывающими два цикла, которые теперь описываются открытой струной, натянутой между D-бранами . существует локальная группа симметрии U(1) Для каждой D-браны , напоминающая степень свободы ее перемещения без изменения ориентации. Предел, при котором два цикла имеют нулевую площадь, — это предел, когда эти D-браны располагаются друг над другом, так что получается расширенная локальная группа симметрии.

Теперь открытая струна, натянутая между двумя D-бранами, представляет собой генератор алгебры Ли, а коммутатором двух таких генераторов является третий, представленный открытой струной, которую получают склейкой ребер двух открытых струн. Последнее соотношение между различными открытыми струнами зависит от способа пересечения 2-бран в исходной М-теории, т.е. от числа пересечений двухциклов. Таким образом, алгебра Ли полностью зависит от этих чисел пересечений. Точная связь с матрицей Картана заключается в том, что последняя описывает коммутаторы простых корней , которые связаны с двумя циклами в выбранном базисе.

Генераторы в подалгебре Картана представлены открытыми струнами, натянутыми между D-браной и самой собой.

См. также

Примечания

^ Джорджи, Ховард (22 октября 1999 г.). Алгебры Ли в физике элементарных частиц (2-е изд.). Вествью Пресс. п. 115. ИСБН 0-7382-0233-9 .
^ Определители Картана-Грама для простых групп Ли Альфред К.Т. Ву, J. Math. Физ. Том. 23, № 11, ноябрь 1982 г.
^ Сен, Ашок (1997). «Заметка о расширенной калибровочной симметрии в M-теории и теории струн». Журнал физики высоких энергий . 1997 (9): 001. arXiv : hep-th/9707123 . дои : 10.1088/1126-6708/1997/09/001 . S2CID 15444381 .

Ссылки

Фултон, Уильям ; Харрис, Джо (1991). Теория представлений: Первый курс . Тексты для аспирантов по математике . Том. 129. Шпрингер-Верлаг. п. 334. ИСБН 0-387-97495-4 .
Хамфрис, Джеймс Э. (1972). Введение в алгебры Ли и теорию представлений . Тексты для аспирантов по математике . Том. 9. Шпрингер-Верлаг. стр. 55–56. дои : 10.1007/978-1-4612-6398-2 . ISBN 0-387-90052-7 .
Кац, Виктор Г. (1990). Бесконечномерные алгебры лжи (3-е изд.). Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-46693-6 . .

Внешние ссылки

[1] Джорджи, Ховард (22 октября 1999 г.). Алгебры Ли в физике элементарных частиц (2-е изд.). Вествью Пресс. п. 115. ИСБН 0-7382-0233-9 .

[2] Определители Картана-Грама для простых групп Ли Альфред К.Т. Ву, J. Math. Физ. Том. 23, № 11, ноябрь 1982 г.

[3] Сен, Ашок (1997). «Заметка о расширенной калибровочной симметрии в M-теории и теории струн». Журнал физики высоких энергий . 1997 (9): 001. arXiv : hep-th/9707123 . дои : 10.1088/1126-6708/1997/09/001 . S2CID 15444381 .

[1]

[2]

[3]

v т и Матричные классы
Явно ограниченные записи	Чередование Антидиагональ антиэрмитовский Антисимметричный наконечник стрелы Группа двуугольный Бисимметричный Блок-диагональ Блокировать Блок трехдиагональный логическое значение Коши Центросимметричный Конференция Комплекс Адамара Сопозитивный Диагональная доминанта Диагональ Дискретное преобразование Фурье элементарный Эквивалент Фробениус Обобщенная перестановка Адамар Приобретение эрмитовский Хессенберг Пустой Целое число Логический Матричный блок Мецлер Мур Неотрицательный Пятиугольный перестановка Персимметричный Полиномиальный кватернионный Подпись косо-эрмитовский Кососимметричный Горизонт Редкий Сильвестр Симметричный Тёплиц Треугольный Трехдиагональный Вандермонде Уолш С
Постоянный	Обмен Гильберт Личность Лемер Из них Паскаль Паули Редхеффер Сдвиг Ноль
Условия на собственные значения или собственные векторы	Компаньон Конвергентный Дефектный Определенный Диагонализуемый Гурвиц Положительно-определенный Стилтьес
Выполнение условий на изделия или инверсы	Конгруэнтный Идемпотент или проекция Обратимый Инволютивный Нильпотентный Нормальный Ортогональный Унимодульный Одномогущий Унитарный Полностью унимодульный Взвешивание
С конкретными приложениями	Адъюгат знак чередования Дополненный Безу Карл Великий Картан циркулирующий Кофактор коммутация Путаница Коксетер Расстояние Дублирование и устранение Евклидово расстояние Фундаментальное (линейное дифференциальное уравнение) Генератор Грамм Гессен Домохозяин якобиан Момент Расплачиваться Выбирать Случайный Вращение Зейферт сдвиг Сходство симплектический Полностью позитивный Трансформация
Используется в статистике	Центрирование Корреляция Ковариация Дизайн Двойной стохастический Информация о Фишере Имеет Точность Стохастический Переход
Используется в теории графов	Смежность Бисмежность Степень Эдмондс Заболеваемость лапласиан Соседство Зайделя Все
Используется в науке и технике	Кабиббо – Кобаяши – Маскава Плотность Фундаментальный (компьютерное зрение) Нечеткая ассоциативность Гамма Гелл-Манн гамильтониан Нерегулярный Перекрывать С Государственный переход Замена З (химия)
Связанные термины	Джордан в нормальной форме Линейная независимость Матричная экспонента Матричное представление конических сечений Идеальная матрица Псевдообратный Форма эшелона строк Вронскиан
Математический портал Список матриц Категория:Матрицы