Главный неразложимый модуль

В математике , особенно в области абстрактной алгебры , известной как теория модулей , главный неразложимый модуль имеет много важных связей с изучением , модулей кольца , особенно его простых модулей проективных модулей и неразложимых модулей .

Определение

(Левый) главный неразложимый модуль кольца R — это (левый) подмодуль кольца R , который является прямым слагаемым кольца R и является неразложимым модулем . Альтернативно, это неразложимый проективный циклический модуль . называются PIM Основные неразложимые модули также для краткости .

Отношения

Проективные неразложимые модули над некоторыми кольцами очень тесно связаны с простыми, проективными и неразложимыми модулями этих колец.

Если кольцо R артиново является прямой суммой главных неразложимых модулей, и или даже полусовершенно , то R на каждый класс изоморфизма простого модуля приходится один класс изоморфизма PIM. Каждому PIM P соответствует его P голова / JP , которая представляет собой простой модуль, являющийся неразложимым полупростым модулем. Каждому простому модулю S сопоставлено его проективное покрытие P , которое является PIM, являющимся неразложимым проективным циклическим модулем.

Аналогично над полусовершенным кольцом каждый неразложимый проективный модуль является PIM, а каждый конечно порожденный проективный модуль является прямой суммой PIM.

В контексте групповых алгебр конечных групп над полями (которые являются полусовершенными кольцами) кольцо представлений описывает неразложимые модули, а модулярные характеры простых модулей представляют как подкольцо, так и факторкольцо. Кольцо представлений над комплексным полем обычно лучше понимается, и поскольку PIM соответствуют модулям над комплексами, использующими p -модулярную систему, можно использовать PIM для передачи информации из кольца комплексных представлений в кольцо представлений над полем положительной характеристики. Грубо говоря, это называется теорией блоков.

В дедекиндовой области , которая не является PID , идеальная группа классов измеряет разницу между проективными неразложимыми модулями и главными неразложимыми модулями: проективные неразложимые модули - это в точности (модули, изоморфные) ненулевым идеалам, а главные неразложимые модули - это в точности (модули изоморфен) ненулевым главным идеалам.

Ссылки

• Альперин, Дж. Л. (1986), Теория локальных представлений , Кембриджские исследования по высшей математике, том. 11, Издательство Кембриджского университета , ISBN  978-0-521-30660-7 , МР   0860771
• Бенсон, DJ (1984), Теория модульных представлений: новые тенденции и методы , Конспект лекций по математике, том. 1081, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN  978-3-540-13389-6 , МР   0765858
• Фейт, Уолтер (1982), Теория представлений конечных групп , Математическая библиотека Северной Голландии, том. 25, Амстердам: Северная Голландия, ISBN  978-0-444-86155-9 , МР   0661045
• Хазевинкель, Михель ; Губарени, Надежда; Кириченко В.В. (2004), Алгебры, кольца и модули. Том. 1 , Математика и ее приложения, вып. 575, Бостон: Kluwer Academic Publishers, ISBN  978-1-4020-2690-4 , МР   2106764
• Лэндрок, П. (1983), Конечные групповые алгебры и их модули , Серия лекций Лондонского математического общества, том. 84, Издательство Кембриджского университета , ISBN  978-0-521-27487-6 , МР   0737910
• Нагао, Хироси; Цусима, Юкио (1989), Представления конечных групп , Бостон, Массачусетс: Academic Press , ISBN  978-0-12-513660-0 , МР   0998775