Идеальное кольцо

Эта статья об идеальных кольцах, представленных Хайманом Бассом. О совершенных кольцах характеристики p, обобщающих совершенные поля, см. «Совершенное поле» .

В области абстрактной алгебры , известной как теория колец , совершенное слева кольцо — это тип кольца , над которым все левые модули имеют проективные покрытия . Правый случай определяется по аналогии, и условие не является симметричным слева направо; то есть существуют кольца, идеальные с одной стороны, но не идеальные с другой. Совершенные кольца были представлены в . книге Басса

— Полусовершенное кольцо это кольцо, над которым каждый конечно порожденный левый модуль имеет проективное накрытие. Это свойство симметрично слева направо.

Идеальное кольцо

Определения

Следующие эквивалентные определения совершенного слева кольца R можно найти у Адерсона и Фуллера:

• Каждый левый R -модуль имеет проективное накрытие.
• R /J( R ) полупрост , а J( R ) T-нильпотентен слева (т. е. для каждой бесконечной последовательности элементов J( R ) существует n такое, что произведение первых n членов равно нулю), где ( R ) — радикал Джекобсона R J .
• ( Теорема Басса P ) R удовлетворяет условию нисходящей цепи на главных правых идеалах . (Ошибки нет; это условие для главных правых идеалов эквивалентно тому, что кольцо совершенно слева .)
• Каждый плоский левый R -модуль проективен .
• R /J( R ) полупрост и каждый ненулевой левый R -модуль содержит максимальный подмодуль .
• R не содержит бесконечного ортогонального множества идемпотентов , и каждый ненулевой правый R -модуль содержит минимальный подмодуль .

Примеры

• Правые или левые артиновы кольца , а также полупервичные кольца , как известно, совершенны справа и слева.
• Ниже приводится пример (придуманный Бассом) локального кольца , которое является совершенным справа, но не совершенным слева. Пусть F — , поле и рассмотрим некоторое кольцо матриц над F. бесконечных

Возьмем набор бесконечных матриц с элементами, индексированными $\mathbb {N} \times \mathbb {N}$, и которые имеют только конечное число ненулевых элементов, все они расположены выше диагонали, и обозначают это множество через $J$. Также возьмите матрицу $I\,$ со всеми единицами на диагонали и образуем набор

$R=\{f\cdot I+j\mid f\in F,j\in J\}\,$

Можно показать, что R — кольцо с единицей, радикалом Джекобсона которого является J . Более того, R / J является полем, так что R локально, а R правостороннее, но не левостороннее.

Характеристики

Для совершенного слева кольца R :

• Из приведенных выше эквивалентностей следует, что каждый левый R -модуль имеет максимальный подмодуль и проективное накрытие, а плоские левые R -модули совпадают с проективными левыми модулями.
• Аналог критерия Бэра справедлив для проективных модулей.

Полуидеальное кольцо

Определение

Пусть R — кольцо. Тогда R полусовершенен, если выполняется любое из следующих эквивалентных условий:

• R /J( R ) является полупростым и идемпотенты поднимаются по модулю J( R ), где J( R ) — радикал Джекобсона R , .
• R имеет полный ортогональный набор e ₁ , ..., en _e идемпотентов, причем каждый i _Re i _{является} кольцом локальным .
• Каждый простой левый (правый) R -модуль имеет проективное накрытие .
• Каждый конечно порожденный левый (правый) R -модуль имеет проективное накрытие.
• Категория порожденных конечно проективных $R$-модули — это Крулль-Шмидт .

Примеры

Примеры полуидеальных колец включают:

• Слева (справа) идеальные кольца.
• Местные кольца.
• Теорема Капланского о проективных модулях
• Слева (справа) артиновы кольца .
• Конечномерные k - алгебры .

Характеристики

Так как кольцо R полусовершенно тогда и только тогда, когда каждый простой левый R -модуль имеет проективное накрытие, то каждое кольцо Морита, эквивалентное полусовершенному кольцу, также является полусовершенным.

Ссылки

• Андерсон, Фрэнк В.; Фуллер, Кент Р. (1992), Кольца и категории модулей (2-е изд.), Springer-Verlag , ISBN  978-0-387-97845-1
• Басс, Хайман (1960), «Финитистская размерность и гомологическое обобщение полупервичных колец», Transactions of the American Mathematical Society , 95 (3): 466–488, doi : 10.2307/1993568 , ISSN   0002-9947 , JSTOR   1993568 , МР   0157984
• Лам, Тай (2001), Первый курс по некоммутативным кольцам , Тексты для выпускников по математике, том. 131 (2-е изд.), Нью-Йорк: Springer-Verlag , номер документа : 10.1007/978-1-4419-8616-0 , ISBN.  0-387-95183-0 , МР   1838439