Jump to content

Нулевой объект (алгебра)

(Перенаправлено из нулевого модуля )
Морфизмы к нулевому объекту и обратно

В алгебре нулевой объект данной алгебраической структуры в смысле, объясненном ниже, является простейшим объектом такой структуры. Как множество это одноэлемент , а как магма имеет тривиальную структуру, которая также является абелевой группой . Вышеупомянутая абелева групповая структура обычно определяется как сложение , а единственный элемент называется нулем , поэтому сам объект обычно обозначается как {0} . Часто говорят о тривиальном объекте (определенной категории ), поскольку каждый тривиальный объект изоморфен любому другому (при уникальном изоморфизме).

Экземпляры нулевого объекта включают, помимо прочего, следующее:

Эти объекты описываются совместно не только на основе общей одноэлементной и тривиальной групповой структуры, но также из-за общих теоретико-категорных свойств .

В последних трех случаях скалярное умножение на элемент базового кольца (или поля) определяется как:

κ 0 знак равно 0 , где κ р .

Самый общий из них — нулевой модуль — является конечно-порожденным модулем с пустым порождающим набором.

Для структур, требующих структуру умножения внутри нулевого объекта, таких как тривиальное кольцо , существует только один возможный вариант, 0 × 0 = 0 , поскольку нет ненулевых элементов. Эта структура ассоциативна и коммутативна . Кольцо R , имеющее как аддитивную, так и мультипликативную идентичность, тривиально тогда и только тогда, когда = 0 , поскольку из этого равенства следует, что для всех r внутри R 1

В этом случае можно определить деление на ноль , поскольку отдельный элемент является собственным мультипликативным обратным. Некоторые свойства {0} зависят от точного определения мультипликативного тождества; см. § Унитарные структуры ниже.

Любая тривиальная алгебра также является тривиальным кольцом. Тривиальная алгебра над полем нулевым векторным пространством одновременно является рассматриваемым ниже . Над коммутативным кольцом тривиальная алгебра одновременно является нулевым модулем.

Тривиальное кольцо является примером кольца с квадратным нулем . Тривиальная алгебра является примером нулевой алгебры .

Нульмерный векторное пространство — особенно распространенный пример нулевого объекта, векторного пространства над полем с пустым базисом . Следовательно, он имеет нулевую размерность . Это также тривиальная группа над сложением и тривиальный модуль, упомянутый выше .

Свойства [ править ]

2  = [ ]  ‹0

1
^
0

1
Элемент нулевого пространства, записанный как пустой вектор-столбец (крайний правый), умножается на пустую матрицу 2 × 0 , чтобы получить двумерный нулевой вектор (крайний левый). Правила умножения матриц соблюдаются.

Нулевое кольцо, нулевой модуль и нулевое векторное пространство являются нулевыми объектами соответственно категории псевдоколец , категории модулей и категории векторных пространств . Однако нулевое кольцо не является нулевым объектом в категории колец , поскольку не существует кольцевого гомоморфизма нулевого кольца ни в каком другом кольце.

Нулевой объект по определению должен быть терминальным объектом, а это означает, что морфизм   {0} должен существовать и быть уникальным для произвольного объекта A. A Этот морфизм отображает любой элемент A в 0 .

это значит, что морфизм {0} → A должен существовать и быть уникальным для произвольного объекта A. Нулевой объект также по определению должен быть исходным объектом, а Этот морфизм отображает 0 , единственный элемент {0} , в нулевой элемент 0 ∈ A , называемый нулевым вектором в векторных пространствах. Это отображение является мономорфизмом , и, следовательно, его образ изоморфен {0} . Для модулей и векторных пространств это подмножество   {0} ⊂ A является единственным пустым порожденным подмодулем 0-мерным линейным подпространством ) в каждом модуле (или векторном пространстве) A. ( или

Юнитарные конструкции [ править ]

Объект {0} является конечным объектом любой алгебраической структуры, где он существует, как это было описано в примерах выше. Но его существование и, если оно существует, свойство быть исходным объектом (и, следовательно, нулевым объектом в теоретико-категорном смысле) зависят от точного определения мультипликативного тождества 1 в заданной структуре.

Если определение 1 требует, чтобы 1 ≠ 0 , то объект {0} не может существовать, поскольку он может содержать только один элемент. В частности, нулевое кольцо не является полем . Если математики иногда говорят о поле с одним элементом , то этот абстрактный и несколько загадочный математический объект полем не является.

В категориях, где мультипликативная идентичность должна сохраняться морфизмами, но может равняться нулю, объект {0} может существовать. Но не в качестве исходного объекта, поскольку сохраняющие идентичность морфизмы из {0} в любой объект, где 1 ≠ 0, не существуют. Например, в категории колец Ring кольцо целых чисел   Z исходным объектом является , а не {0} .

Если алгебраическая структура требует мультипликативного тождества, но не требует его сохранения морфизмами или 1 ≠ 0 , то нулевые морфизмы существуют, и ситуация не отличается от неединичных структур, рассмотренных в предыдущем разделе.

Обозначения [ править ]

Нулевые векторные пространства и нулевые модули обычно обозначаются 0 (вместо {0} ). Это всегда так, когда они происходят в точной последовательности .

См. также [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

  • Дэвид Шарп (1987). Кольца и факторизация . Издательство Кембриджского университета . п. 10 : тривиальное кольцо . ISBN  0-521-33718-6 .
  • Бариле, Маргарита . «Тривиальные модули» . Математический мир .
  • Бариле, Маргарита. «Нулевой модуль» . Математический мир .
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: d53fc31b92ae536a4f6bc044a450e97f__1676710200
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/d5/7f/d53fc31b92ae536a4f6bc044a450e97f.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Zero object (algebra) - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)