Нулевой объект (алгебра)
Эта статья нуждается в дополнительных цитатах для проверки . ( февраль 2012 г. ) |
В алгебре нулевой объект данной алгебраической структуры в смысле, объясненном ниже, является простейшим объектом такой структуры. Как множество это одноэлемент , а как магма имеет тривиальную структуру, которая также является абелевой группой . Вышеупомянутая абелева групповая структура обычно определяется как сложение , а единственный элемент называется нулем , поэтому сам объект обычно обозначается как {0} . Часто говорят о тривиальном объекте (определенной категории ), поскольку каждый тривиальный объект изоморфен любому другому (при уникальном изоморфизме).
Экземпляры нулевого объекта включают, помимо прочего, следующее:
- В качестве группы нулевая группа или тривиальная группа .
- В качестве кольца — нулевое кольцо или тривиальное кольцо .
- Как алгебра над полем или алгебра над кольцом , тривиальная алгебра .
- Как модуль (над кольцом R ) нулевой модуль . термин «тривиальный модуль» Также используется , хотя он может быть неоднозначным, поскольку тривиальный G-модуль — это G-модуль с тривиальным действием.
- В качестве векторного пространства (над полем R ) используется нулевое векторное пространство , нульмерное векторное пространство или просто нулевое пространство .
Эти объекты описываются совместно не только на основе общей одноэлементной и тривиальной групповой структуры, но также из-за общих теоретико-категорных свойств .
В последних трех случаях скалярное умножение на элемент базового кольца (или поля) определяется как:
- κ 0 знак равно 0 , где κ ∈ р .
Самый общий из них — нулевой модуль — является конечно-порожденным модулем с пустым порождающим набором.
Для структур, требующих структуру умножения внутри нулевого объекта, таких как тривиальное кольцо , существует только один возможный вариант, 0 × 0 = 0 , поскольку нет ненулевых элементов. Эта структура ассоциативна и коммутативна . Кольцо R , имеющее как аддитивную, так и мультипликативную идентичность, тривиально тогда и только тогда, когда = 0 , поскольку из этого равенства следует, что для всех r внутри R 1
В этом случае можно определить деление на ноль , поскольку отдельный элемент является собственным мультипликативным обратным. Некоторые свойства {0} зависят от точного определения мультипликативного тождества; см. § Унитарные структуры ниже.
Любая тривиальная алгебра также является тривиальным кольцом. Тривиальная алгебра над полем нулевым векторным пространством одновременно является рассматриваемым ниже . Над коммутативным кольцом тривиальная алгебра одновременно является нулевым модулем.
Тривиальное кольцо является примером кольца с квадратным нулем . Тривиальная алгебра является примером нулевой алгебры .
Нульмерный векторное пространство — особенно распространенный пример нулевого объекта, векторного пространства над полем с пустым базисом . Следовательно, он имеет нулевую размерность . Это также тривиальная группа над сложением и тривиальный модуль, упомянутый выше .
Свойства [ править ]
2 ↕ | = | [ ] | ‹0 | ||
↔ 1 | ^ 0 | ↔ 1 | |||
Элемент нулевого пространства, записанный как пустой вектор-столбец (крайний правый), умножается на пустую матрицу 2 × 0 , чтобы получить двумерный нулевой вектор (крайний левый). Правила умножения матриц соблюдаются. |
Нулевое кольцо, нулевой модуль и нулевое векторное пространство являются нулевыми объектами соответственно категории псевдоколец , категории модулей и категории векторных пространств . Однако нулевое кольцо не является нулевым объектом в категории колец , поскольку не существует кольцевого гомоморфизма нулевого кольца ни в каком другом кольце.
Нулевой объект по определению должен быть терминальным объектом, а это означает, что морфизм → {0} должен существовать и быть уникальным для произвольного объекта A. A Этот морфизм отображает любой элемент A в 0 .
это значит, что морфизм {0} → A должен существовать и быть уникальным для произвольного объекта A. Нулевой объект также по определению должен быть исходным объектом, а Этот морфизм отображает 0 , единственный элемент {0} , в нулевой элемент 0 ∈ A , называемый нулевым вектором в векторных пространствах. Это отображение является мономорфизмом , и, следовательно, его образ изоморфен {0} . Для модулей и векторных пространств это подмножество {0} ⊂ A является единственным пустым порожденным подмодулем 0-мерным линейным подпространством ) в каждом модуле (или векторном пространстве) A. ( или
Юнитарные конструкции [ править ]
Объект {0} является конечным объектом любой алгебраической структуры, где он существует, как это было описано в примерах выше. Но его существование и, если оно существует, свойство быть исходным объектом (и, следовательно, нулевым объектом в теоретико-категорном смысле) зависят от точного определения мультипликативного тождества 1 в заданной структуре.
Если определение 1 требует, чтобы 1 ≠ 0 , то объект {0} не может существовать, поскольку он может содержать только один элемент. В частности, нулевое кольцо не является полем . Если математики иногда говорят о поле с одним элементом , то этот абстрактный и несколько загадочный математический объект полем не является.
В категориях, где мультипликативная идентичность должна сохраняться морфизмами, но может равняться нулю, объект {0} может существовать. Но не в качестве исходного объекта, поскольку сохраняющие идентичность морфизмы из {0} в любой объект, где 1 ≠ 0, не существуют. Например, в категории колец Ring кольцо целых чисел Z исходным объектом является , а не {0} .
Если алгебраическая структура требует мультипликативного тождества, но не требует его сохранения морфизмами или 1 ≠ 0 , то нулевые морфизмы существуют, и ситуация не отличается от неединичных структур, рассмотренных в предыдущем разделе.
Обозначения [ править ]
Нулевые векторные пространства и нулевые модули обычно обозначаются 0 (вместо {0} ). Это всегда так, когда они происходят в точной последовательности .
См. также [ править ]
- Нильмерное пространство
- Тривиальность (математика)
- Примеры векторных пространств
- Поле с одним элементом
- Пустая полугруппа
- Нулевой элемент
- Список нулевых терминов
Внешние ссылки [ править ]
- Дэвид Шарп (1987). Кольца и факторизация . Издательство Кембриджского университета . п. 10 : тривиальное кольцо . ISBN 0-521-33718-6 .
- Бариле, Маргарита . «Тривиальные модули» . Математический мир .
- Бариле, Маргарита. «Нулевой модуль» . Математический мир .