Нулевой элемент

В математике нулевой элемент является одним из нескольких обобщений числа ноль на другие алгебраические структуры . Эти альтернативные значения могут сводиться, а могут и не сводиться к одному и тому же, в зависимости от контекста.

Аддитивные тождества

Аддитивная идентичность — это элемент идентичности в аддитивной группе или моноиде . Он соответствует элементу 0, такому что для всех x в группе 0 + x = x + 0 = x . Некоторые примеры аддитивной идентичности включают:

Нулевой вектор при сложении векторов : вектор, все компоненты которого равны 0; в нормированном векторном пространстве его норма (длина) также равна 0. Часто обозначается как $\mathbf {0}$ или ${\vec {0}}$ . ^[1]
или Нулевая функция нулевое отображение, определяемое z ( x ) = 0 , при поточечном сложении ( f + g )( x ) = f ( x ) + g ( x )
Пустое множество под объединением множеств
сумма Пустая или пустое копроизведение
Исходный объект в категории (пустой сопутствующий продукт и, следовательно, идентификатор в составе сопутствующих продуктов ).

Поглощающие элементы

в Поглощающий элемент мультипликативной полугруппе или полукольце обобщает свойство 0 ⋅ x = 0 . Примеры включают в себя:

Пустое множество , которое является поглощающим элементом при декартовом произведении множеств, поскольку { } × S = { }
или Нулевая функция нулевое отображение , определенное как z ( x ) = 0 при поточечном умножении ( f ⋅ g )( x ) = f ( x ) ⋅ g ( x )

Многие поглощающие элементы также являются аддитивными тождествами, включая пустое множество и нулевую функцию. Другим важным примером является выделенный элемент 0 в поле или кольце , который является одновременно аддитивным тождеством и мультипликативным поглощающим элементом, и главный идеал которого является наименьшим идеалом.

Ноль объектов

Нулевой объект в категории является одновременно начальным и конечным объектом (и, следовательно, тождественным как для сопутствующих продуктов , так и для продуктов ). Например, тривиальная структура (содержащая только тождество) представляет собой нулевой объект в категориях, где морфизмы должны отображать тождества в тождества. Конкретные примеры включают в себя:

Тривиальная группа , содержащая только единицу (нулевой объект в категории групп )
Нулевой модуль , содержащий только единицу (нулевой объект в категории модулей над кольцом)

Нулевые морфизмы

Нулевой морфизм в категории — это обобщенный поглощающий элемент при композиции функций : любой морфизм, составленный с нулевым морфизмом, дает нулевой морфизм. В частности, если 0 _XY : X → Y — нулевой морфизм среди морфизмов из X в Y , а f : A → X и g : Y → B — произвольные морфизмы, то g ∘ 0 _XY = 0 _XB и 0 _XY ∘ f = 0 _ДА .

Если в категории есть нулевой объект 0 , то существуют канонические морфизмы → 0 и 0 → Y , и их составление даёт нулевой морфизм 0 _XY : X → Y. X Например, в категории групп нулевые морфизмы — это морфизмы, которые всегда возвращают групповые тождества, тем самым обобщая функцию z ( x ) = 0.

Наименьшее количество элементов

в Наименьший элемент частично упорядоченном множестве или решетке иногда можно назвать нулевым элементом и записать либо как 0, либо как ⊥.

Нулевой модуль

В математике нулевой модуль — это модуль, состоящий только из аддитивного тождества модуля для функции сложения . В целых числах это тождество равно нулю , что дает название нулевого модуля . То, что нулевой модуль на самом деле является модулем, показать просто; он тривиально замкнут относительно сложения и умножения .

Нулевой идеал

В математике нулевой  идеал в кольце $R$ это идеал $\{0\}$ состоящий только из аддитивного тождества (или нулевого элемента). То, что это идеал, следует непосредственно из определения.

Нулевая матрица

В математике , особенно в линейной алгебре , нулевая матрица — это матрица , все элементы которой равны нулю . Поочередно обозначается символом $O$ . ^[2] Некоторые примеры нулевых матриц:

0_{1,1}={\begin{bmatrix}0\end{bmatrix}},\ 0_{2,2}={\begin{bmatrix}0&0\\0&0\end{bmatrix}},\ 0_{2,3}={\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}},\

Множество матриц размера m × n с элементами в кольце K образует модуль $K_{m,n}$ . Нулевая матрица $0_{K_{m,n}}$ в $K_{m,n}$ - матрица, все элементы которой равны $0_{K}$ , где $0_{K}$ является аддитивным тождеством в K .

0_{K_{m,n}}={\begin{bmatrix}0_{K}&0_{K}&\cdots &0_{K}\\0_{K}&0_{K}&\cdots &0_{K}\\\vdots &\vdots &&\vdots \\0_{K}&0_{K}&\cdots &0_{K}\end{bmatrix}}

Нулевая матрица является аддитивным тождеством в $K_{m,n}$ . То есть для всех $A\in K_{m,n}$ :

0_{K_{m,n}}+A=A+0_{K_{m,n}}=A

Существует ровно одна нулевая матрица любого заданного размера m × n (с элементами из данного кольца), поэтому, когда контекст ясен, часто ссылаются на нулевую матрицу. В матричном кольце нулевая матрица выполняет роль как аддитивного тождества, так и поглощающего элемента. В общем, нулевой элемент кольца уникален и обычно обозначается как 0 без индекса, обозначающего родительское кольцо. Следовательно, приведенные выше примеры представляют нулевые матрицы над любым кольцом.

Нулевая матрица также представляет собой линейное преобразование , которое переводит все векторы в нулевой вектор.

Нулевой тензор

В математике нулевой тензор — это тензор любого порядка, все компоненты которого равны нулю . Нулевой тензор первого порядка иногда называют нулевым вектором.

Тензорное произведение любого тензора на любой нулевой тензор приводит к получению другого нулевого тензора. Среди тензоров данного типа нулевой тензор этого типа служит аддитивным тождеством среди этих тензоров.

См. также

Ссылки

^ Наир, М. Тамбан; Сингх, Ариндама (2018). Линейная алгебра . Спрингер. п. 3. дои : 10.1007/978-981-13-0926-7 . ISBN 978-981-13-0925-0 .
^ Ланг, Серж (1987). Линейная алгебра . Тексты для бакалавриата по математике . Спрингер. п. 25. ISBN 9780387964126 . Имеем нулевую матрицу, в которой $a_{ij}=0$ для всех $i,j$ . ... Мы напишем это $O$ .

Эта статья включает список связанных элементов, имеющих одно и то же имя (или похожие имена).
Если внутренняя ссылка привела вас сюда по ошибке, вы можете изменить ссылку, чтобы она указывала непосредственно на нужную статью.

[1] Наир, М. Тамбан; Сингх, Ариндама (2018). Линейная алгебра . Спрингер. п. 3. дои : 10.1007/978-981-13-0926-7 . ISBN 978-981-13-0925-0 .

[2] Ланг, Серж (1987). Линейная алгебра . Тексты для бакалавриата по математике . Спрингер. п. 25. ISBN 9780387964126 . Имеем нулевую матрицу, в которой $a_{ij}=0$ для всех $i,j$ . ... Мы напишем это $O$ .

[1]

[2]