Нулевой морфизм
В теории категорий , разделе математики , нулевой морфизм — это особый вид морфизма, проявляющий такие свойства, как морфизмы в нулевой объект и обратно .
Определения [ править ]
Предположим, — категория , а f : X → Y — морфизм в C. C Морфизм f называется постоянным морфизмом (или иногда морфизмом левых нулей ), если для любого объекта W в C и любого g , h : W → X , fg = fh . Двойственным образом f называется коконстантным морфизмом (или иногда морфизмом правого нуля ), если для любого объекта Z в C и любого g , h : Y → Z , gf = hf . Нулевой морфизм — это морфизм, который одновременно является постоянным и коконстантным морфизмом.
Категория с нулевыми морфизмами — это категория, в которой для каждых двух объектов A и B в C существует фиксированный морфизм 0 AB : A → B , и этот набор морфизмов таков, что для всех объектов X , Y , Z в C и все морфизмы f : Y → Z , g : X → Y , следующая диаграмма коммутирует:
Морфизмы 0 XY обязательно являются нулевыми морфизмами и образуют совместимую систему нулевых морфизмов.
Если C — категория с нулевыми морфизмами, то набор 0 XY уникален. [1]
Этот способ определения «нулевого морфизма» и фразы «категория с нулевыми морфизмами» по отдельности неудачен, но если каждое hom-множество имеет «нулевой морфизм», то категория «имеет нулевые морфизмы».
Примеры [ править ]
- В категории групп (или модулей ) нулевой морфизм — это гомоморфизм f : G → H который отображает весь G в элемент H. единичный , Нулевым объектом в категории групп является тривиальная группа 1 = {1}, единственная с точностью до изоморфизма . нулевой морфизм можно факторизовать через 1 , т. е. f : G → 1 → H. Каждый
- В более общем смысле, предположим, что C — любая категория с нулевым объектом 0 . Тогда для всех объектов X и Y существует единственная последовательность морфизмов
- 0 XY : X → 0 → Y
- Если C — преаддитивная категория , то каждое hom-множество Hom( X , Y ) является абелевой группой и, следовательно, имеет нулевой элемент. Эти нулевые элементы образуют совместимое семейство нулевых морфизмов для C, превращая его в категорию с нулевыми морфизмами.
- Категория множеств не имеет нулевого объекта, но имеет исходный объект — пустое множество ∅. Единственными морфизмами правых нулей в Set являются функции ∅ → X для множества X .
Связанные понятия [ править ]
Если C имеет нулевой объект 0 , то для данных двух объектов и Y в C существуют канонические морфизмы f : X → 0 и g : 0 → Y. X Тогда gf — нулевой морфизм в Mor C ( X , Y ). Таким образом, каждая категория с нулевым объектом является категорией с нулевыми морфизмами, заданными композицией 0 XY : X → 0 → Y .
Если категория имеет нулевые морфизмы, то можно определить понятия ядра и коядра для любого морфизма в этой категории.
Ссылки [ править ]
- Раздел 1.7 Парейгис, Бодо (1970), Категории и функторы , Чистая и прикладная математика, том. 39, Академик Пресс , ISBN 978-0-12-545150-5
- Замечательно, Хорст; Стретчер, Джордж Э. (2007), Теория категорий , Heldermann Verlag .
Примечания [ править ]
- ^ «Категория с нулевыми морфизмами — Stack Overflow на русском» . Math.stackexchange.com . 17 января 2015 г. Проверено 30 марта 2016 г.