Примеры векторных пространств

На этой странице приведены некоторые примеры векторных пространств . см. в векторном пространстве Определения терминов, используемых на этой странице, . См. также: размерность , базис .

Обозначения . Пусть F обозначает произвольное поле например действительные числа R или комплексные числа C. ,

Тривиальное или нулевое векторное пространство

Простейшим примером векторного пространства является тривиальный: {0}, который содержит только нулевой вектор (см. третью аксиому в статье о векторном пространстве ). И сложение векторов, и скалярное умножение тривиальны. Базисом мерное этого векторного пространства является пустое множество , так что {0} — это 0- пространство над F. векторное Каждое векторное пространство над F содержит подпространство , изоморфное этому.

Нулевое векторное пространство концептуально отличается от пространства линейного оператора L , который ядром L. нулевого является (Кстати, нулевое пространство L является нулевым тогда и только тогда, когда инъективно . L )

Поле

Следующий простейший пример — поле F. само Сложение векторов — это просто сложение полей, а скалярное умножение — это просто умножение полей. Это свойство можно использовать для доказательства того, что поле является векторным пространством. Любой ненулевой элемент F служит базисом, поэтому F является одномерным векторным пространством над собой.

Поле представляет собой довольно специфическое векторное пространство; деле это простейший пример коммутативной алгебры над F. на самом Кроме того, F имеет всего два подпространства : {0} и F. само

Координатное пространство

Плоская аналитическая геометрия использует координатное пространство R. ² . На рисунке: описание линии как набора решений в ${\vec {x}}$ векторного уравнения ${\vec {x}}\cdot {\vec {n}}=d$.

Основная статья: Координатное пространство

Базовый пример векторного пространства следующий. Для любого положительного целого числа n набор n всех -кортежей элементов F образует n -мерное векторное пространство над F, иногда называемое координатным пространством и обозначаемое F. ^н . Элемент F ^н написано

$x=(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})$

где каждый x _i является элементом F . Действия над F ^н определяются

$x+y=(x_{1}+y_{1},x_{2}+y_{2},\ldots ,x_{n}+y_{n})$

$\alpha x=(\alpha x_{1},\alpha x_{2},\ldots ,\alpha x_{n})$

$0=(0,0,\ldots ,0)$

$-x=(-x_{1},-x_{2},\ldots ,-x_{n})$

Обычно F — это поле действительных чисел , и в этом случае мы получаем вещественное координатное пространство R. ^н . Поле комплексных чисел дает комплексное координатное пространство C ^н . Форма a + bi комплексного числа показывает, что C само по себе является двумерным вещественным векторным пространством с координатами ( a , b ). Точно так же кватернионы и октонионы представляют собой соответственно четырех- и восьмимерные действительные векторные пространства, а C ^н является 2n -мерным вещественным векторным пространством.

Векторное пространство F ^н имеет стандартную основу :

$e_{1}=(1,0,\ldots ,0)$

$e_{2}=(0,1,\ldots ,0)$

$\vdots$

$e_{n}=(0,0,\ldots ,1)$

где 1 обозначает мультипликативное тождество в F .

Бесконечное координатное пространство

Пусть F ^∞ обозначаем пространство бесконечных последовательностей элементов из F таких, что только конечное число элементов ненулевые. То есть, если мы напишем элемент F ^∞ как

$x=(x_{1},x_{2},x_{3},\ldots )$

тогда только конечное число x i _{отличны} от нуля (т. е. все координаты становятся нулевыми после определенной точки). Сложение и скалярное умножение задаются как в конечном координатном пространстве. Размерность F ^∞ счетно бесконечно . Стандартный базис состоит из векторов e _i , которые содержат 1 в i -м слоте и нули в остальных местах. Это векторное пространство является копроизведением (или прямой суммой счетного числа копий векторного пространства F. )

Обратите внимание на роль здесь условия конечности. Можно было бы рассмотреть произвольные последовательности элементов в F , которые также составляют векторное пространство с теми же операциями, часто обозначаемыми F ^Н - см. ниже . Ф ^Н является произведением счетного числа копий F .

По лемме F Цорна ^Н имеет основание (очевидного основания нет). находится бесчисленное множество В основе элементов. Поскольку размеры разные, F ^Н не ​ изоморфен F ^∞ . Стоит отметить, что Ф. ^Н является (изоморфным) двойственному пространству к F ^∞ , поскольку линейное отображение T из F ^∞ к F определяется однозначно своими значениями T ( e _i ) на базисных элементах F ^∞ , и эти значения могут быть произвольными. Таким образом, можно видеть, что векторное пространство не обязательно должно быть изоморфно своему двойному двойнику, если оно бесконечномерно, в отличие от конечномерного случая.

Произведение векторных пространств

Начиная с n векторных пространств или их счетной бесконечной коллекции, каждое из которых имеет одно и то же поле, мы можем определить пространство продукта, как указано выше.

Матрицы

Пусть F ^{m × n} обозначаем множество размера m × n матриц с элементами из F . Тогда Ф ^{m × n} является векторным пространством над F . Сложение векторов — это просто сложение матриц, а скалярное умножение определяется очевидным образом (путем умножения каждой записи на один и тот же скаляр). Нулевой вектор — это просто нулевая матрица . Размер ​ ​ F ^{m × n} это мин . Одним из возможных вариантов базиса являются матрицы, в которых одна запись равна 1, а все остальные записи равны 0.

Когда m = n, матрица является квадратной , и умножение двух таких матриц дает третью. Это векторное пространство размерности n ² образует алгебру над полем .

Полиномиальные векторные пространства

Одна переменная

Набор полиномов с коэффициентами из F представляет собой векторное пространство над F , обозначаемое F [ x ]. Сложение векторов и скалярное умножение определяются очевидным образом. Если степень многочленов неограничена, то размерность F [ x ] счетно бесконечна . Если вместо этого ограничиться полиномами степени меньше или равной n , то мы получим векторное пространство размерности n + 1.

Одним из возможных базисов для F [ x ] является мономиальный базис : координаты многочлена относительно этого базиса являются его коэффициентами , а отображение, переводящее многочлен в последовательность его коэффициентов, является линейным изоморфизмом из F [ x ] в бесконечное координатное пространство F ^∞ .

Векторное пространство многочленов с действительными коэффициентами и степенью меньше или равной n часто обозначается P _n .

Несколько переменных

Множество многочленов от нескольких переменных с коэффициентами из F представляет собой векторное пространство над F, обозначаемое F [ x ₁ , x ₂ , ..., x _r ]. Здесь r — количество переменных.

См. Также: Полиномиальное кольцо

Функциональные пространства

См. основную статью в разделе «Пространство функций» , особенно раздел функционального анализа.

Пусть X — непустое произвольное множество, а — произвольное векторное пространство над F. V Пространство всех функций от X до V является векторным пространством над F при поточечном сложении и умножении. То есть пусть f : X → V и g : X → V обозначают две функции, и пусть α в F . Мы определяем

$(f+g)(x)=f(x)+g(x)$

$(\alpha f)(x)=\alpha f(x)$

где операции в правой части — это операции из V . Нулевой вектор задается постоянной функцией, переводящей все в нулевой вектор в V . Пространство всех функций от X до V обычно обозначается V ^Х .

Если X конечно и V конечномерно, то V ^Х имеет размерность | X |(dim V ), в противном случае пространство бесконечномерно (несчетно, если X бесконечно).

Многие из векторных пространств, возникающих в математике, являются подпространствами некоторого функционального пространства. Приведем еще несколько примеров.

Обобщенное координатное пространство

Пусть X — произвольное множество. Рассмотрим пространство всех функций от X до F кроме конечного числа , которые обращаются в нуль во всех точках X, . Это пространство является векторным подпространством F ^Х , пространство всех возможных функций от X до F . Чтобы убедиться в этом, заметим, что объединение двух конечных множеств конечно, так что сумма двух функций в этом пространстве все равно будет равна нулю вне конечного множества.

Описанное выше пространство обычно обозначается ( F ^Х ) ₀ и называется обобщенным координатным пространством по следующей причине. Если X — это набор чисел от 1 до n, то это пространство, как легко видеть, эквивалентно координатному пространству F. ^н . Аналогично, если X — множество натуральных чисел , N , то это пространство — это просто F ^∞ .

Канонический базис для ( F ^Х ) ₀ — множество функций {δ _x | x ∈ X }, определяемый формулой

$\delta _{x}(y)={\begin{cases}1\quad x=y\\0\quad x\neq y\end{cases}}$

Размерность ( F ^Х ) ₀ равно мощности X . поэтому Таким образом мы можем построить векторное пространство любой размерности над любым полем. Более того, каждое векторное пространство изоморфно одной из этих форм . Любой выбор базиса определяет изоморфизм путем перевода базиса в канонический для ( F ^Х ) ₀ .

Обобщенное координатное пространство можно также понимать как прямую сумму | Х | копии F (т.е. по одной для каждой точки в X ):

$(\mathbf {F} ^{X})_{0}=\bigoplus _{x\in X}\mathbf {F} .$

Условие конечности встроено в определение прямой суммы. Сравните это с прямым произведением | Х | копии F, которые дадут полное функциональное пространство F ^Х .

Линейные карты

Важным примером, возникающим в контексте самой линейной алгебры, является векторное пространство линейных отображений . Пусть L ( V , W ) обозначает множество всех линейных отображений из V в W (оба являются векторными пространствами над F ). Тогда L ( V , W ) — подпространство W ^V поскольку он замкнут при сложении и скалярном умножении.

Заметим, что L( F ^н , Ф ^м ) можно отождествить с пространством матриц F ^{m × n} естественным образом. Фактически, выбрав подходящие базисы для конечномерных пространств V и W, L(V,W) также можно отождествить с F ^{m × n} . Эта идентификация обычно зависит от выбора основы.

Непрерывные функции

Если X — некоторое топологическое пространство например единичный интервал [0,1], мы можем рассматривать пространство всех непрерывных функций от X до R. , Это векторное подпространство R ^Х поскольку сумма любых двух непрерывных функций непрерывна, а скалярное умножение непрерывно.

Дифференциальные уравнения

Подмножество пространства всех функций от R до R, состоящее из (достаточно дифференцируемых) функций, удовлетворяющих некоторому дифференциальному уравнению, является подпространством R ^Р если уравнение линейное. Это связано с тем, что дифференцирование является линейной операцией, т. е. ( a f + b g )′ = a f   ′ + b g ′, где ′ — оператор дифференцирования.

Расширения полей

Предположим, что K — подполе F расширение (см. поля ). Тогда F можно рассматривать как векторное пространство над K, ограничивая скалярное умножение элементами из K (сложение векторов определяется как нормальное). Размерность этого векторного пространства, если оно существует, называется степенью расширения. Например, комплексные числа C образуют двумерное векторное пространство над действительными R. числами Аналогично, действительные числа R образуют векторное пространство над рациональными числами Q , которое имеет (несчетно) бесконечную размерность, если существует базис Гамеля.

Если V — векторное пространство над F, также можно рассматривать как векторное пространство над K. его Размеры связаны формулой

dim _K V = (dim _F V )(dim _K F )

Например, С ^н , рассматриваемое как векторное пространство над действительными числами, имеет размерность 2 n .

Конечные векторные пространства

За исключением тривиального случая нульмерного пространства над любым полем, векторное пространство над полем F имеет конечное число элементов тогда и только тогда, когда F — конечное поле и векторное пространство имеет конечную размерность. Таким образом, мы имеем F _q — единственное конечное поле (с точностью до изоморфизма ) с q элементами. Здесь q должна быть степенью простого числа ( q = p ^м с p штрихом). Тогда любое n -мерное векторное пространство V над F _q будет иметь q ^н элементы. Обратите внимание, что количество элементов в V также является степенью простого числа (поскольку степень простого числа снова является степенью простого числа). Основным примером такого пространства является координатное пространство ( F _q ) ^н .

Эти векторные пространства имеют решающее значение в теории представлений конечных групп , теории чисел и криптографии .

Ссылки

• Ланг, Серж (1987). Линейная алгебра . Берлин, Нью-Йорк: Springer Verlag . ISBN  978-0-387-96412-6 .