Мономиальный базис

В математике мономиальной базой кольца полиномов является его базис (в виде векторного пространства или свободного модуля над полем или кольцом коэффициентов ) , состоящий из всех мономов . Мономы образуют базис, поскольку каждый многочлен можно однозначно записать как конечную линейную комбинацию мономов (это непосредственное следствие определения многочлена).

Один неопределенный

Кольцо полиномов K [ x ] одномерных многочленов над полем K является K -векторным пространством, которое имеет

$$1,x,x^{2},x^{3},\ldots$$

как (бесконечный) базис. В более общем смысле, если K — кольцо , то K [ x ] — свободный модуль , имеющий тот же базис.

Полиномы степени не выше d образуют также векторное пространство (или свободный модуль в случае кольца коэффициентов), которое имеет

$$\{1,x,x^{2},\ldots ,x^{d-1},x^{d}\}$$

в качестве основы.

Канонической формой многочлена является его выражение на этом основании:

$$a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\dots +a_{d}x^{d},$$

или, используя более короткую сигма-нотацию :

$$\sum _{i=0}^{d}a_{i}x^{i}.$$

Мономиальный базис, естественно , полностью упорядочен либо по возрастанию степени

$$1<x<x^{2}<\cdots ,$$

или по убывающей степени

$$1>x>x^{2}>\cdots .$$

Несколько неопределенных

В случае нескольких неопределенных $x_{1},\ldots ,x_{n},$ моном - это произведение

$$x_{1}^{d_{1}}x_{2}^{d_{2}}\cdots x_{n}^{d_{n}},$$

где $d_{i}$являются неотрицательными целыми числами . Как $x_{i}^{0}=1,$показатель степени, равный нулю, означает, что соответствующая неопределённость не входит в моном; в частности $1=x_{1}^{0}x_{2}^{0}\cdots x_{n}^{0}$ является мономом.

Как и в случае одномерных полиномов, полиномы в $x_{1},\ldots ,x_{n}$ образуют векторное пространство (если коэффициенты принадлежат полю) или свободный модуль (если коэффициенты принадлежат кольцу), имеющий в качестве основы множество всех мономов, называемый мономиальным базисом .

Однородные многочлены степени $d$ образуют подпространство , имеющее мономы степени $d=d_{1}+\cdots +d_{n}$в качестве основы. Размерность этого подпространства равна числу мономов степени $d$, который

$${\binom {d+n-1}{d}}={\frac {n(n+1)\cdots (n+d-1)}{d!}},$$

где ${\textstyle {\binom {d+n-1}{d}}}$ является биномиальным коэффициентом .

Полиномы степени не более $d$ образуют также подпространство, имеющее мономы степени не выше $d$в качестве основы. Число этих мономов есть размерность этого подпространства, равная

$${\binom {d+n}{d}}={\binom {d+n}{n}}={\frac {(d+1)\cdots (d+n)}{n!}}.$$

В отличие от одномерного случая, в многомерном случае не существует естественного полного порядка мономиального базиса. Для задач, которые требуют выбора полного порядка, таких как вычисления на основе базиса Грёбнера , обычно выбирают допустимый мономиальный порядок , то есть полный порядок на множестве мономов такой, что

$$m<n\iff mq<nq$$

и

$$1\leq m$$

для каждого монома $m,n,q.$

См. также

• метод Горнера
• Полиномиальная последовательность
• Полином Ньютона
• Полином Лагранжа
• Полином Лежандра
• Форма Бернштейна
• форма Чебышева