Линейная комбинация

В математике линейная комбинация — это выражение , построенное из набора членов путем умножения каждого члена на константу и сложения результатов (например, линейная комбинация x и y будет любым выражением формы ax + by , где a и b являются константами). Концепция линейных комбинаций занимает центральное место в линейной алгебре и смежных областях математики. Большая часть этой статьи посвящена линейным комбинациям в контексте векторного пространства над полем , а некоторые обобщения приведены в конце статьи.

Определение

Пусть V — векторное пространство полем K. над Как обычно, мы называем элементы V векторами , а элементы K скалярами . Если v ₁ ,..., v _n — векторы, а a ₁ ,..., an _— скаляры, то линейная комбинация этих векторов с этими скалярами в качестве коэффициентов равна

$a_{1}\mathbf {v} _{1}+a_{2}\mathbf {v} _{2}+a_{3}\mathbf {v} _{3}+\cdots +a_{n}\mathbf {v} _{n}.$

Существует некоторая двусмысленность в использовании термина «линейная комбинация» относительно того, относится ли он к выражению или к его значению. В большинстве случаев значение подчеркивается, как в утверждении «множество всех линейных комбинаций v ₁ ,..., v _n всегда образует подпространство». Однако можно также сказать: «две разные линейные комбинации могут иметь одно и то же значение», и в этом случае ссылка будет на выражение. Тонкое различие между этими использованиями составляет суть понятия линейной зависимости : семейство векторов F является линейно независимым именно в том случае, если любая линейная комбинация векторов в F (как значение) является уникальной (как выражение). В любом случае, даже если рассматривать его как выражение, все, что имеет значение в линейной комбинации, — это коэффициент vi _{каждого} ; тривиальные модификации, такие как перестановка членов или добавление членов с нулевым коэффициентом, не создают отдельных линейных комбинаций.

В данной ситуации K и V могут быть указаны явно или могут быть очевидны из контекста. В этом случае мы часто говорим о линейной комбинации векторов v ₁ ,..., v _n с неуказанными коэффициентами (за исключением того, что они должны принадлежать K ). Или, если S является подмножеством V S , мы можем говорить о линейной комбинации векторов в S , где и коэффициенты, и векторы не указаны, за исключением того, что векторы должны принадлежать множеству ( а коэффициенты должны принадлежать K ). Наконец, мы можем говорить просто о линейной комбинации , где ничего не указано (кроме того, что векторы должны принадлежать V , а коэффициенты должны принадлежать K ); в данном случае, вероятно, имеется в виду выражение, поскольку каждый вектор в V заведомо является значением некоторой линейной комбинации.

Обратите внимание, что по определению линейная комбинация включает только конечное число векторов (за исключением случаев, описанных в разделе «Обобщения» ниже). Однако множество S , из которого взяты векторы (если оно упомянуто), все еще может быть бесконечным ; каждая отдельная линейная комбинация будет включать только конечное число векторов. Кроме того, нет причин, по которым n не может быть равно нулю ; в этом случае мы по соглашению объявляем, что результатом линейной комбинации является нулевой вектор в V .

Примеры и контрпримеры

Евклидовы векторы

Пусть поле K — множество R действительных чисел , а векторное пространство V — евклидово пространство R. ³ . Рассмотрим векторы e ₁ = (1,0,0) , e ₂ = (0,1,0) и e ₃ = (0,0,1) . Тогда любой вектор из R ³ комбинацию e1 _, e2 . _и собой e3 _{представляет} линейную

Чтобы убедиться в этом, возьмем произвольный вектор ( a ₁ , a ₂ , a ₃ ) в R ³ , и написать:

${\begin{aligned}(a_{1},a_{2},a_{3})&=(a_{1},0,0)+(0,a_{2},0)+(0,0,a_{3})\\[6pt]&=a_{1}(1,0,0)+a_{2}(0,1,0)+a_{3}(0,0,1)\\[6pt]&=a_{1}\mathbf {e} _{1}+a_{2}\mathbf {e} _{2}+a_{3}\mathbf {e} _{3}.\end{aligned}}$

Функции

Пусть K — множество C всех комплексных чисел , а V — множество C _C ( R ) всех непрерывных функций от вещественной прямой R до плоскости C. комплексной Рассмотрим векторы (функции) f и g , определенные формулами f ( t ) := e ^это и г ( т ) := е ^{− это} . (Здесь e — основание натурального логарифма , около 2,71828..., а i — мнимая единица , квадратный корень из −1.) Некоторые линейные комбинации f и g :

• $\cos t={\tfrac {1}{2}}\,e^{it}+{\tfrac {1}{2}}\,e^{-it}$
• $2\sin t=(-i)e^{it}+(i)e^{-it}.$

С другой стороны, постоянная функция 3 не является линейной комбинацией f и g . Чтобы убедиться в этом, предположим, что 3 можно записать как линейную комбинацию e ^это и е ^{− это} . Это означает, что существуют комплексные скаляры a и b такие, что ae ^это + быть ^{− это} = 3 для всех действительных чисел t . Установка t = 0 и t = π дает уравнения a + b = 3 и a + b = −3 , и очевидно, что этого не может произойти. См. личность Эйлера .

Полиномы

Пусть K будет R , C , или любым полем, и пусть V будет множеством P всех многочленов с коэффициентами, взятыми из поля K . Рассмотрим векторы (полиномы) p ₁ := 1, p ₂ := x + 1 и p ₃ := x. ² + х + 1 .

Является ли полином x ² − 1 линейная комбинация p ₁ , p ₂ и p ₃ ? Чтобы это выяснить, рассмотрим произвольную линейную комбинацию этих векторов и попытаемся увидеть, когда она будет равна искомому вектору x. ² − 1. Выбирая произвольные коэффициенты a ₁ , a ₂ и a ₃ , мы хотим

$a_{1}(1)+a_{2}(x+1)+a_{3}(x^{2}+x+1)=x^{2}-1.$

Умножая полиномы, это означает

$(a_{1})+(a_{2}x+a_{2})+(a_{3}x^{2}+a_{3}x+a_{3})=x^{2}-1$

и собирая подобные степени x , мы получаем

$a_{3}x^{2}+(a_{2}+a_{3})x+(a_{1}+a_{2}+a_{3})=1x^{2}+0x+(-1).$

Два многочлена равны тогда и только тогда, когда их соответствующие коэффициенты равны, поэтому мы можем заключить

$a_{3}=1,\quad a_{2}+a_{3}=0,\quad a_{1}+a_{2}+a_{3}=-1.$

Эту систему линейных уравнений легко решить. Во-первых, первое уравнение просто говорит, что равно ₃ 1. мы можем решить второе уравнение для 2 _{Зная это ,} , которое равно −1. Наконец, последнее уравнение говорит нам, что также ₁ равно −1. Поэтому единственный возможный способ получить линейную комбинацию — с помощью этих коэффициентов. Действительно,

$x^{2}-1=-1-(x+1)+(x^{2}+x+1)=-p_{1}-p_{2}+p_{3}$

так что х ² − 1 представляет собой линейную комбинацию p ₁ , p ₂ и p ₃ .

С другой стороны, как насчет многочлена x ³ − 1? Если мы попытаемся сделать этот вектор линейной комбинацией p ₁ , p ₂ и p ₃ , то, следуя тому же процессу, что и раньше, мы получим уравнение

${\begin{aligned}&0x^{3}+a_{3}x^{2}+(a_{2}+a_{3})x+(a_{1}+a_{2}+a_{3})\\[5pt]={}&1x^{3}+0x^{2}+0x+(-1).\end{aligned}}$

Однако если в этом случае мы установим соответствующие коэффициенты равными, уравнение для x ³ является

$0=1$

что всегда неверно. Следовательно, это невозможно, и x ³ − 1 не является линейной комбинацией p ₁ , p ₂ и p ₃ .

Линейный пролет

Основная статья: Линейный пролет

Возьмем произвольное поле K , произвольное векторное пространство V и пусть v ₁ ,..., v _n — векторы (в V ). Интересно рассмотреть множество всех линейных комбинаций этих векторов. Этот набор называется линейной размахом (или просто размахом ) векторов, скажем, S = { v ₁ , ..., v _n }. Мы пишем диапазон S как span( S ) или сп( S ):

$\operatorname {span} (\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{n}):=\{a_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +a_{n}\mathbf {v} _{n}:a_{1},\ldots ,a_{n}\in K\}.$

Линейная независимость

Основная статья: Линейная независимость

Предположим, что для некоторых наборов векторов v ₁ ,..., v _n , один вектор можно записать двумя разными способами как их линейную комбинацию:

$\mathbf {v} =\sum _{i}a_{i}\mathbf {v} _{i}=\sum _{i}b_{i}\mathbf {v} _{i}{\text{ where }}a_{i}\neq b_{i}.$

Это эквивалентно вычитанию этих ( $c_{i}:=a_{i}-b_{i}$), говоря, что нетривиальная комбинация равна нулю:

$\mathbf {0} =\sum _{i}c_{i}\mathbf {v} _{i}.$

Если это возможно, то v ₁ ,..., v _n называются линейно зависимыми ; в противном случае они линейно независимы . Аналогично можно говорить о линейной зависимости или независимости произвольного набора S векторов.

Если S линейно независима и размер S равен V то S является базой для V. ,

, конические и

Ограничивая коэффициенты, используемые в линейных комбинациях, можно определить соответствующие понятия аффинной комбинации , конической комбинации и выпуклой комбинации , а также связанные с ними понятия множеств, замкнутых относительно этих операций.

Тип комбинации	Ограничения на коэффициенты	Название набора	Модельное пространство
Линейная комбинация	нет ограничений	Векторное подпространство	$\mathbf {R} ^{n}$
Аффинная комбинация	${\textstyle \sum a_{i}=1}$	Аффинное подпространство	Аффинная гиперплоскость
Коническая комбинация	$a_{i}\geq 0$	Выпуклый конус	Квадрант , октант или ортант
Выпуклая комбинация	$a_{i}\geq 0$ и ${\textstyle \sum a_{i}=1}$	Выпуклый набор	Симплекс

Поскольку это более ограниченные операции, под ними будет замкнуто больше подмножеств, поэтому аффинные подмножества, выпуклые конусы и выпуклые множества являются обобщениями векторных подпространств: векторное подпространство также является аффинным подпространством, выпуклым конусом и выпуклым множеством, но выпуклое множество не обязательно должно быть векторным подпространством, аффинным или выпуклым конусом.

Эти понятия часто возникают, когда можно взять определенные линейные комбинации объектов, но не любые: например, распределения вероятностей замыкаются относительно выпуклой комбинации (они образуют выпуклое множество), но не конические или аффинные комбинации (или линейные), а положительные меры замкнуты относительно конической комбинации, но не аффинны или линейны – следовательно, знаковые меры определяются как линейное замыкание.

Линейные и аффинные комбинации могут быть определены над любым полем (или кольцом), но коническая и выпуклая комбинация требуют понятия «положительного» и, следовательно, могут быть определены только над упорядоченным полем (или упорядоченным кольцом ), обычно над действительными числами.

Если разрешить только скалярное умножение, а не сложение, получится конус (не обязательно выпуклый ) ; часто ограничивают определение, допуская умножение только на положительные скаляры.

Все эти концепции обычно определяются как подмножества объемлющего векторного пространства (за исключением аффинных пространств, которые также считаются «векторными пространствами, забывающими начало координат»), а не аксиоматизируются независимо.

Теория операд

Основная статья: Теория операд

Более абстрактно, на языке теории операд , можно рассматривать векторные пространства как алгебры над операдой. $\mathbf {R} ^{\infty }$ (бесконечная прямая сумма , поэтому только конечное число членов отличны от нуля; это соответствует взятию только конечных сумм), что параметризует линейные комбинации: вектор $(2,3,-5,0,\dots )$ например, соответствует линейной комбинации $2\mathbf {v} _{1}+3\mathbf {v} _{2}-5\mathbf {v} _{3}+0\mathbf {v} _{4}+\cdots$. Точно так же можно считать, что аффинные комбинации, конические комбинации и выпуклые комбинации соответствуют подоперадам, где сумма членов равна 1, все члены неотрицательны или и то, и другое соответственно. Графически это бесконечная аффинная гиперплоскость, бесконечный гипероктант и бесконечный симплекс. Это формализует то, что подразумевается под $\mathbf {R} ^{n}$будучи или стандартный симплекс, являющийся модельным пространством, и такие наблюдения, как то, что каждый ограниченный выпуклый многогранник является образом симплекса. Здесь субоперады соответствуют более ограниченным операциям и, следовательно, более общим теориям.

С этой точки зрения мы можем думать о линейных комбинациях как о наиболее общем виде операций над векторным пространством: сказать, что векторное пространство является алгеброй над операдой линейных комбинаций, — это в точности утверждение, что все возможные алгебраические операции над вектором пространство представляют собой линейные комбинации.

Основные операции сложения и скалярного умножения вместе с наличием аддитивного тождества и аддитивных обратных не могут быть объединены каким-либо более сложным способом, чем общая линейная комбинация: основные операции представляют собой порождающий набор для операды всех линейных комбинаций.

В конечном итоге этот факт лежит в основе полезности линейных комбинаций при изучении векторных пространств.

Обобщения

Если V — топологическое векторное пространство , то может быть способ понять некоторые бесконечные топологию V. линейные комбинации, используя Например, мы могли бы говорить о 1 _a v ₁ + a ₂ v ₂ + + ⋯ , ₃ v ₃ продолжающемся вечно. Такие бесконечные линейные комбинации не всегда имеют смысл; мы называем их конвергентными , когда они это делают. Разрешение большего количества линейных комбинаций в этом случае также может привести к другой концепции диапазона, линейной независимости и базиса. В статьях о различных вариантах топологических векторных пространств они рассматриваются более подробно.

Если К — не поле, а коммутативное кольцо , то все сказанное выше о линейных комбинациях обобщается на этот случай без изменений. Единственное отличие состоит в том, что мы называем такие пространства V- модулями вместо векторных пространств. Если K — некоммутативное кольцо, то концепция по-прежнему обобщает с одной оговоркой: поскольку модули над некоммутативными кольцами существуют в левой и правой версиях, наши линейные комбинации могут также существовать в любой из этих версий, какая бы ни была подходящей для данного модуля. Это просто вопрос скалярного умножения с правильной стороны.

Более сложный поворот происходит, когда V является бимодулем над двумя кольцами K _L и K _R . В этом случае наиболее общая линейная комбинация имеет вид

$a_{1}\mathbf {v} _{1}b_{1}+\cdots +a_{n}\mathbf {v} _{n}b_{n}$

где a ₁ ,..., an _v принадлежат K _L , b ₁ , bn _{, ...} принадлежат K _R , а 1 _, …, v _n принадлежат V .

Приложение

Важным применением линейных комбинаций является волновые функции в квантовой механике .

См. также

• Взвешенная сумма

Ссылки

Учебник

• Экслер, Шелдон Джей (2015). Линейная алгебра сделана правильно (3-е изд.). Спрингер . ISBN  978-3-319-11079-0 .
• Кацнельсон, Ицхак ; Кацнельсон, Джонатан Р. (2008). (Краткое) Введение в линейную алгебру . Американское математическое общество . ISBN  978-0-8218-4419-9 .
• Лэй, Дэвид С.; Лэй, Стивен Р.; Макдональд, Джуди Дж. (2016). Линейная алгебра и ее приложения (5-е изд.). Пирсон. ISBN  978-0-321-98238-4 .
• Стрэнг, Гилберт (2016). Введение в линейную алгебру (5-е изд.). Уэлсли Кембридж Пресс. ISBN  978-0-9802327-7-6 .

Интернет

• «Линейные комбинации» . нЛаб . 27 октября 2015 г. Проверено 16 февраля 2021 г.

Внешние ссылки

• Линейные комбинации и интервалы: понимание линейных комбинаций и интервалов векторов , khanacademy.org.