Управляемый

В математике операда , каждая из которых — это структура, состоящая из абстрактных операций имеет фиксированное конечное число входов (аргументов) и один выход, а также спецификацию того, как составлять эти операции. Учитывая операду $O$ , определяется алгебра над $O$ быть множеством вместе с конкретными операциями над этим множеством, которые ведут себя точно так же, как абстрактные операции $O$ . Например, есть операда Лия $L$ такие, что алгебры над $L$ являются в точности алгебрами Ли ; в некотором смысле $L$ абстрактно кодирует операции, общие для всех алгебр Ли. Операда относится к своим алгебрам так же, как группа относится к своим групповым представлениям .

История [ править ]

Операды происходят из алгебраической топологии ; они были введены для характеристики итерированных пространств циклов Дж . Майклом Бордманом и Райнером М. Фогтом в 1968 году. ^[1]^[2] и Дж. Питера Мэя в 1972 году. ^[3]

Мартин Маркл, Стив Шнайдер и Джим Сташефф пишут в своей книге об операдах: ^[4]

«Имя операда и формальное определение впервые появляются в начале 1970-х годов в книге Дж. Питера Мэя «Геометрия итерированных пространств циклов», но годом или более ранее Бордман и Фогт описали ту же концепцию под названием категорий операторов в стандарте. form , вдохновленный PROP и PACT Адамса и Мак Лейна. На самом деле, существует множество предыстории. Вейбель [Вэй] указывает, что эта концепция впервые возникла сто лет назад в А. Н. Уайтхеда. «Трактате по универсальной алгебре» 1898 год».

Слово «операда» было создано Мэем как сочетание слов «операции» и « монада » (а также потому, что его мать была оперной певицей). ^[5]

Интерес к операдам значительно возобновился в начале 90-х годов, когда на основе ранних идей Концевича Максима Виктор Гинзбург и Михаил Капранов обнаружили, что некоторые явления двойственности в теории рациональной гомотопии можно объяснить с помощью Кошуля . двойственности операд ^[6]^[7] Операды с тех пор нашли множество применений, таких как деформационное квантование многообразий Пуассона , гипотеза Делиня , ^[8] или графов гомологии в работах Максима Концевича и Томаса Вильвахера .

Интуиция [ править ]

Предполагать $X$ это набор и для $n\in \mathbb {N}$ мы определяем

P(n):=\{f:X^{n}\to X\}

,

набор всех функций из декартова произведения $n$ копии $X$ к $X$ .

Мы можем составить эти функции: учитывая $f\in P(n)$ , $f_{1}\in P(k_{1}),\ldots ,f_{n}\in P(k_{n})$ , функция

f\circ (f_{1},\ldots ,f_{n})\in P(k_{1}+\cdots +k_{n})

определяется следующим образом: учитывая $k_{1}+\cdots +k_{n}$ аргументы от $X$ , мы разделим их на $n$ блоки, первый из которых имеет $k_{1}$ аргументы, второй $k_{2}$ аргументы и т. д., а затем применить $f_{1}$ до первого блока, $f_{2}$ ко второму блоку и т. д. Затем мы применяем $f$ в список $n$ значения, полученные из $X$ в таком случае.

Мы также можем переставлять аргументы, т.е. у нас есть правильное действие. $*$ симметрической группы $S_{n}$ на $P(n)$ , определяется

(f*s)(x_{1},\ldots ,x_{n})=f(x_{s^{-1}(1)},\ldots ,x_{s^{-1}(n)})

для $f\in P(n)$ , $s\in S_{n}$ и $x_{1},\ldots ,x_{n}\in X$ .

Приведенное ниже определение симметричной операды отражает основные свойства этих двух операций. $\circ$ и $*$ .

Определение [ править ]

Несимметричная операда [ править ]

( Несимметричная операда иногда называемая операдой без перестановок или несимметричной операдой) . $\Sigma$ или простая операда) состоит из следующего:

последовательность $(P(n))_{n\in \mathbb {N} }$ множеств, элементы которых называются $n$ -арные операции ,
элемент $1$ в $P(1)$ называется личностью ,
для всех положительных целых чисел $n$ , ${\textstyle k_{1},\ldots ,k_{n}}$ , композиции функция

{\begin{aligned}\circ :P(n)\times P(k_{1})\times \cdots \times P(k_{n})&\to P(k_{1}+\cdots +k_{n})\\(\theta ,\theta _{1},\ldots ,\theta _{n})&\mapsto \theta \circ (\theta _{1},\ldots ,\theta _{n}),\end{aligned}}

удовлетворяющие следующим аксиомам когерентности:

личность : $\theta \circ (1,\ldots ,1)=\theta =1\circ \theta$
ассоциативность :

{\begin{aligned}&\theta \circ {\Big (}\theta _{1}\circ (\theta _{1,1},\ldots ,\theta _{1,k_{1}}),\ldots ,\theta _{n}\circ (\theta _{n,1},\ldots ,\theta _{n,k_{n}}){\Big )}\\={}&{\Big (}\theta \circ (\theta _{1},\ldots ,\theta _{n}){\Big )}\circ (\theta _{1,1},\ldots ,\theta _{1,k_{1}},\ldots ,\theta _{n,1},\ldots ,\theta _{n,k_{n}})\end{aligned}}

Симметричная операда [ править ]

Симметричная операда (часто называемая просто операдой ) — это несимметричная операда. $P$ как и выше, вместе с правым действием симметрической группы $S_{n}$ на $P(n)$ для $n\in \mathbb {N}$ , обозначенный $*$ и удовлетворение

эквивариантность : учитывая перестановку $t\in S_{n}$ ,

(\theta *t)\circ (\theta _{1},\ldots ,\theta _{n})=(\theta \circ (\theta _{t(1)},\ldots ,\theta _{t(n)}))*t'

(где

t'

в правой части относится к элементу

S_{k_{1}+\dots +k_{n}}

который действует на съемочной площадке

\{1,2,\dots ,k_{1}+\dots +k_{n}\}

разбив его на

n

блоки, первые по размеру

k_{1}

, второй по размеру

k_{2}

, сквозь

n

размер блока

k_{n}

, а затем переставляет их местами

n

блокирует по

t

, сохраняя каждый блок нетронутым)

и учитывая

n

перестановки

s_{i}\in S_{k_{i}}

,

\theta \circ (\theta _{1}*s_{1},\ldots ,\theta _{n}*s_{n})=(\theta \circ (\theta _{1},\ldots ,\theta _{n}))*(s_{1},\ldots ,s_{n})

(где

(s_{1},\ldots ,s_{n})

обозначает элемент

S_{k_{1}+\dots +k_{n}}

который переставляет первый из этих блоков на

s_{1}

, второй по

s_{2}

и т. д. и сохраняет их общий порядок).

Действия перестановки в этом определении жизненно важны для большинства приложений, включая исходное приложение для зацикливания пространств.

Морфизмы [ править ]

Морфизм операд $f:P\to Q$ состоит из последовательности

(f_{n}:P(n)\to Q(n))_{n\in \mathbb {N} }

что:

сохраняет идентичность: $f(1)=1$
сохраняет композицию: для каждой n -арной операции $\theta$ и операции $\theta _{1},\ldots ,\theta _{n}$ ,

f(\theta \circ (\theta _{1},\ldots ,\theta _{n}))=f(\theta )\circ (f(\theta _{1}),\ldots ,f(\theta _{n}))

сохраняет действия перестановки: $f(x*s)=f(x)*s$ .

Таким образом, операды образуют категорию , обозначаемую ${\mathsf {Oper}}$ .

В других категориях [ править ]

До сих пор операды рассматривались только в категории множеств. В более общем смысле, можно определить операды в любой моноидальной категории C. симметричной В этом случае каждый $P(n)$ является объектом C , композиция $\circ$ является морфизмом $P(n)\otimes P(k_{1})\otimes \cdots \otimes P(k_{n})\to P(k_{1}+\cdots +k_{n})$ в C (где $\otimes$ обозначает тензорное произведение моноидальной категории), а действия элементов симметрической группы задаются изоморфизмами в C .

Типичным примером является категория топологических пространств и непрерывных карт, где моноидальное произведение задается декартовым произведением . В этом случае топологическая операда задается последовательностью пространств (а не множеств) $\{P(n)\}_{n\geq 0}$ . Структурные отображения операды (состав и действия симметрических групп) при этом считаются непрерывными. Результат называется топологической операдой . Аналогично, при определении морфизма операд необходимо было бы предположить, что рассматриваемые отображения непрерывны.

Другие общие настройки для определения операд включают, например, модули над коммутативным кольцом , цепные комплексы , группоиды (или даже сами категории категорий), коалгебры и т. д.

Определение алгебраиста [ править ]

Для коммутативного кольца R рассмотрим категорию $R{\text{-}}{\mathsf {Mod}}$ модулей над R . Операду . над R можно определить как моноидный объект $(T,\gamma ,\eta )$ в моноидальной категории эндофункторов на $R{\text{-}}{\mathsf {Mod}}$ (это монада ), удовлетворяющая некоторому условию конечности. ^{[примечание 1]}

Например, моноидный объект в категории «полиномиальные эндофункторы» на $R{\text{-}}{\mathsf {Mod}}$ это операда. ^[8] Аналогично, симметричную операду можно определить как моноидный объект в категории $\mathbb {S}$ -объекты , где $\mathbb {S}$ означает симметричную группу. ^[9] Моноидный объект в категории комбинаторных видов — это операда в конечных множествах.

Операду в указанном выше смысле иногда рассматривают как обобщенное кольцо . Например, Николай Дуров определяет свои обобщенные кольца как моноидные объекты в моноидальной категории эндофункторов на ${\textbf {Set}}$ которые коммутируют с отфильтрованными копределами. ^[10] Это обобщение кольца, поскольку каждое обычное кольцо R определяет монаду $\Sigma _{R}:{\textbf {Set}}\to {\textbf {Set}}$ который отправляет набор X в базовый набор свободного R -модуля $R^{(X)}$ созданный X.

Понимание аксиом [ править ]

Аксиома ассоциативности [ править ]

«Ассоциативность» означает, что композиция операций ассоциативна. (функция $\circ$ ассоциативен), аналогичный аксиоме теории категорий, согласно которой $f\circ (g\circ h)=(f\circ g)\circ h$ ; это не операции означает, что сами ассоциативны как операции. Сравните с ассоциативной операдой ниже.

Ассоциативность в теории операд означает, что выражения могут быть написаны с использованием операций без двусмысленности из опущенных составов, точно так же, как ассоциативность операций позволяет записывать продукты без двусмысленности из опущенных скобок.

Например, если $\theta$ — это бинарная операция, которая записывается как $\theta (a,b)$ или $(ab)$ . Так что $\theta$ может быть или не быть ассоциативным.

Тогда то, что обычно пишут $((ab)c)$ однозначно записывается операдически как $\theta \circ (\theta ,1)$ . Это отправляет $(a,b,c)$ к $(ab,c)$ (применять $\theta$ на первых двух и тождество на третьем), а затем $\theta$ слева "умножается" $ab$ к $c$ . Это становится яснее, если изобразить его в виде дерева:

что дает 3-арную операцию:

Однако выражение $(((ab)c)d)$ априори неоднозначно : это может означать $\theta \circ ((\theta ,1)\circ ((\theta ,1),1))$ , если сначала исполняются внутренние композиции, или это может означать $(\theta \circ (\theta ,1))\circ ((\theta ,1),1)$ , если первыми выполняются внешние композиции (операции читаются справа налево). Письмо $x=\theta ,y=(\theta ,1),z=((\theta ,1),1)$ , Это $x\circ (y\circ z)$ против $(x\circ y)\circ z$ . То есть в дереве отсутствуют «вертикальные скобки»:

Если первыми составляются две верхние строки операций (ставится верхняя скобка в начале $(ab)c\ \ d$ линия; сначала выполняет внутреннюю композицию), следующие результаты:

который затем однозначно оценивается и дает 4-арную операцию. В качестве аннотированного выражения:

\theta _{(ab)c\cdot d}\circ ((\theta _{ab\cdot c},1_{d})\circ ((\theta _{a\cdot b},1_{c}),1_{d}))

Если первыми составляются две нижние строки операций (ставится нисходящая скобка в начале $ab\quad c\ \ d$ линия; сначала делает внешнюю композицию), следующие результаты:

который затем однозначно вычисляет 4-арную операцию:

Аксиома операды ассоциативности состоит в том, что они дают один и тот же результат , и, следовательно, выражение $(((ab)c)d)$ является однозначным.

Аксиома тождества [ править ]

Аксиому идентичности (для бинарной операции) можно представить в виде дерева как:

это означает, что три полученные операции равны: до- или пост-компоновка с идентификатором не имеет значения. Что касается категорий, $1\circ 1=1$ является следствием аксиомы тождества.

Примеры [ править ]

эндоморфизма в множествах и алгебрах операдных Операда

Самые основные операды приведены выше в разделе «Интуиция». Для любого набора $X$ , получаем операду эндоморфизма ${\mathcal {End}}_{X}$ состоящий из всех функций $X^{n}\to X$ . Эти операды важны, поскольку они служат для определения операдных алгебр . Если ${\mathcal {O}}$ является операдой, операдной алгеброй над ${\mathcal {O}}$ дано набором $X$ и операдный морфизм ${\mathcal {O}}\to {\mathcal {End}}_{X}$ . Интуитивно такой морфизм превращает каждую «абстрактную» операцию ${\mathcal {O}}(n)$ в «бетон» $n$ -арная операция на множестве $X$ . Операдная алгебра над ${\mathcal {O}}$ таким образом, состоит из набора $X$ вместе с конкретными операциями по $X$ которые следуют правилам, абстрактно заданным операдой ${\mathcal {O}}$ .

эндоморфизмов в векторных пространствах и алгебрах операдных Операда

Если k — поле , мы можем рассмотреть категорию конечномерных векторных пространств над k ; это становится моноидальной категорией, используя обычное тензорное произведение по k. Затем мы можем определить операды эндоморфизмов в этой категории следующим образом. Пусть V — конечномерное векторное пространство. Операда эндоморфизма ${\mathcal {End}}_{V}=\{{\mathcal {End}}_{V}(n)\}$ V состоит из ^[11]

${\mathcal {End}}_{V}(n)$ = пространство линейных отображений $V^{\otimes n}\to V$ ,
(состав) данный $f\in {\mathcal {End}}_{V}(n)$ , $g_{1}\in {\mathcal {End}}_{V}(k_{1})$ , ..., $g_{n}\in {\mathcal {End}}_{V}(k_{n})$ , их состав задан картой $V^{\otimes k_{1}}\otimes \cdots \otimes V^{\otimes k_{n}}\ {\overset {g_{1}\otimes \cdots \otimes g_{n}}{\longrightarrow }}\ V^{\otimes n}\ {\overset {f}{\to }}\ V$ ,
(идентичность) Элемент идентификации в ${\mathcal {End}}_{V}(1)$ это карта личности $\operatorname {id} _{V}$ ,
(симметричное групповое действие) $S_{n}$ действует на ${\mathcal {End}}_{V}(n)$ переставляя компоненты тензоров в $V^{\otimes n}$ .

Если ${\mathcal {O}}$ — операда, k -линейная операдная алгебра над ${\mathcal {O}}$ задается конечномерным векторным пространством V над k и операдным морфизмом ${\mathcal {O}}\to {\mathcal {End}}_{V}$ ; это равносильно указанию конкретных полилинейных операций над V , которые ведут себя как операции ${\mathcal {O}}$ . (Обратите внимание на аналогию между операдами и операдными алгебрами и кольцами и модулями: модуль над кольцом R задается абелевой группой M вместе с кольцевым гомоморфизмом $R\to \operatorname {End} (M)$ .)

В зависимости от приложений возможны вариации вышесказанного: например, в алгебраической топологии вместо векторных пространств и тензорных произведений между ними используются (разумные) топологические пространства и декартовы произведения между ними.

Операды «Кое-что» [ править ]

Маленькая двухдисковая операда — это топологическая операда, в которой $P(n)$ состоит из упорядоченных списков из n непересекающихся дисков внутри диска единичного $\mathbb {R} ^{2}$ сосредоточено в начале координат. Симметричная группа действует на такие конфигурации, переставляя список маленьких дисков. Оперная композиция для дисков изображена на рисунке справа, где элемент $\theta \in P(3)$ состоит из элемента $(\theta _{1},\theta _{2},\theta _{3})\in P(2)\times P(3)\times P(4)$ чтобы получить элемент $\theta \circ (\theta _{1},\theta _{2},\theta _{3})\in P(9)$ полученный путем сжатия конфигурации $\theta _{i}$ и вставив его в i- й диск $\theta$ , для $i=1,2,3$ .

Аналогично можно определить маленькую операду из n-дисков, рассматривая конфигурации непересекающихся n -шаров внутри единичного шара $\mathbb {R} ^{n}$ . ^[12]

Первоначально операда маленьких n-кубов или операда маленьких интервалов (первоначально называвшаяся маленькими n -кубами PROP ) была определена Майклом Бордманом и Райнером Фогтом аналогичным образом в терминах конфигураций непересекающихся , выровненных по осям n -мерных гиперкубов (n- размерные интервалы ) внутри единичного гиперкуба . ^[13] Позже это было обобщено Мэем. ^[14] к маленьким выпуклым телам операд , а «диски» — это случай «фольклора», происходящего от «маленьких выпуклых тел». ^[15]

Деревья с корнями [ править ]

В теории графов корневые деревья образуют естественную операду. Здесь, $P(n)$ — множество всех корневых деревьев с n листьями, где листья пронумерованы от 1 до n. Группа $S_{n}$ работает с этим набором, переставляя метки листьев. Оперная композиция $T\circ (S_{1},\ldots ,S_{n})$ дается заменой i -го листа $T$ по корню i -го дерева $S_{i}$ , для $i=1,\ldots ,n$ , таким образом присоединяя n деревьев к $T$ и образуя большее дерево, корень которого считается таким же, как корень $T$ и чьи листья пронумерованы по порядку.

Швейцарская сырная операда [ править ]

Операда «швейцарский сыр» — это двухцветная топологическая операда, определенная в терминах конфигураций непересекающихся n -мерных дисков внутри единичного n -полудиска и n -мерных полудисков, центрированных в основании единичного полудиска и находящихся внутри него. Операльная композиция получается путем склеивания конфигураций «маленьких» дисков внутри единичного полудиска с «маленькими» дисками в другом единичном полудиске и конфигураций «маленьких» дисков и полудисков внутри единичного полудиска с другим единичным полудиском.

Швейцарскую сырную операду определил Александр А. Воронов . ^[16] Его использовал Максим Концевич для формулировки сырной версии гипотезы Делиня о когомологиях Хохшильда. ^[17] Kontsevich's conjecture was proven partly by Po Hu , Igor Kriz , and Alexander A. Voronov ^[18] а затем полностью Джастином Томасом . ^[19]

Ассоциативная операда [ править ]

Другой класс примеров операд — это те, которые отражают структуры алгебраических структур, таких как ассоциативные алгебры, коммутативные алгебры и алгебры Ли. Каждый из них может быть представлен как конечно представленная операда, каждая из которых генерируется бинарными операциями.

Например, ассоциативная операда — это симметричная операда, созданная бинарной операцией. $\psi$ , при условии лишь того, что

\psi \circ (\psi ,1)=\psi \circ (1,\psi ).

Это условие соответствует ассоциативности бинарной операции $\psi$ ; письмо $\psi (a,b)$ мультипликативно, вышеуказанное условие $(ab)c=a(bc)$ . Эту ассоциативность операции не следует путать с ассоциативностью композиции , которая имеет место в любой операде; см. аксиому ассоциативности выше.

В ассоциативной операде каждый $P(n)$ задается симметрической группой $S_{n}$ , на которой $S_{n}$ действует путем правильного умножения. Композитный $\sigma \circ (\tau _{1},\dots ,\tau _{n})$ переставляет свои входы в блоки в соответствии с $\sigma$ , а внутри блоков согласно соответствующему $\tau _{i}$ .

Алгебры над ассоциативной операдой представляют собой в точности полугруппы : множества, объединенные одной бинарной ассоциативной операцией. -линейные алгебры k над ассоциативной операдой являются в точности ассоциативными k- алгебрами .

Терминальная симметричная операда [ править ]

Терминальная симметричная операда — это операда, которая имеет одну n -арную операцию для каждого n , причем каждая $S_{n}$ действует банально. Алгебры над этой операдой являются коммутативными полугруппами; k -линейные алгебры являются коммутативными ассоциативными k -алгебрами.

Операды из групп кос [ править ]

Аналогично, существует не- $\Sigma$ операда, для которой каждая $P(n)$ задается группой кос Артина $B_{n}$ . Более того, это не- $\Sigma$ операда имеет структуру косой операды, которая обобщает понятие операды от симметричных групп кос к группам кос.

Линейная алгебра [ править ]

В линейной алгебре вещественные векторные пространства можно рассматривать как алгебры над операдой. $\mathbb {R} ^{\infty }$ всех линейных комбинаций ^{[ нужна цитата ]}. Эта операда определяется $\mathbb {R} ^{\infty }(n)=\mathbb {R} ^{n}$ для $n\in \mathbb {N}$ , с очевидным действием $S_{n}$ перестановка компонентов и композиция ${\vec {x}}\circ ({\vec {y_{1}}},\ldots ,{\vec {y_{n}}})$ задается конкатенацией векторов $x^{(1)}{\vec {y_{1}}},\ldots ,x^{(n)}{\vec {y_{n}}}$ , где ${\vec {x}}=(x^{(1)},\ldots ,x^{(n)})\in \mathbb {R} ^{n}$ . Вектор ${\vec {x}}=(2,3,-5,0,\dots )$ например представляет собой операцию формирования линейной комбинации с коэффициентами 2,3,-5,0,...

Эта точка зрения формализует представление о том, что линейные комбинации являются наиболее общим видом операций над векторным пространством. Сказать, что векторное пространство является алгеброй над операдой линейных комбинаций, — это в точности утверждение, что все возможные алгебраические операции в векторном пространстве являются линейные комбинации. Основные операции сложения векторов и скалярного умножения являются порождающим набором операды всех линейных комбинаций, тогда как операда линейных комбинаций канонически кодирует все возможные операции в векторном пространстве.

Точно так же можно считать, что аффинные комбинации , конические комбинации и выпуклые комбинации соответствуют субоперадам, где члены вектора ${\vec {x}}$ если сумма равна 1, то все члены неотрицательны или оба соответственно. Графически это бесконечная аффинная гиперплоскость, бесконечный гипероктант и бесконечный симплекс. Это формализует то, что подразумевается под $\mathbb {R} ^{n}$ будучи или стандартный симплекс, являющийся модельным пространством, и такие наблюдения, как то, что каждый ограниченный выпуклый многогранник является образом симплекса. Здесь субоперады соответствуют более ограниченным операциям и, следовательно, более общим теориям.

-кольцевая операда и Ли операда Коммутативно

Операда коммутативных колец — это операда, алгебрами которой являются коммутативные кольца. Это определяется $P(n)=\mathbb {Z} [x_{1},\ldots ,x_{n}]$ , с очевидным действием $S_{n}$ и операдическая композиция, задаваемая заменой переменных полиномами (с перенумерованными переменными). Можно определить аналогичную операду, алгебры которой являются ассоциативными коммутативными алгебрами над некоторым фиксированным базовым полем. Кошул -двойственной этой операде является операда Ли (алгебры которой являются алгебрами Ли), и наоборот.

Бесплатные операды [ править ]

Типичные алгебраические конструкции (например, конструкции свободной алгебры) могут быть распространены на операды. Позволять $\mathbf {Set} ^{S_{n}}$ обозначают категорию, объектами которой являются множества, на которых группа $S_{n}$ действует. Тогда существует забывчивый функтор ${\mathsf {Oper}}\to \prod _{n\in \mathbb {N} }\mathbf {Set} ^{S_{n}}$ , который просто забывает оперную композицию. Можно построить левый сопряженный $\Gamma :\prod _{n\in \mathbb {N} }\mathbf {Set} ^{S_{n}}\to {\mathsf {Oper}}$ этому забывчивому функтору (это обычное определение свободного функтора ). Учитывая набор операций E , $\Gamma (E)$ является свободной операдой на языке E.

Подобно группе или кольцу, свободная конструкция позволяет выразить операду через образующие и отношения. Путем свободного представления операды ${\mathcal {O}}$ мы имеем в виду написание ${\mathcal {O}}$ как частное свободной операды ${\mathcal {F}}=\Gamma (E)$ где E описывает генераторы ${\mathcal {O}}$ и ядро эпиморфизма ${\mathcal {F}}\to {\mathcal {O}}$ описывает отношения.

(симметричная) операда ${\mathcal {O}}=\{{\mathcal {O}}(n)\}$ называется квадратичным , если оно имеет свободное представление такое, что $E={\mathcal {O}}(2)$ является генератором, а отношение содержится в $\Gamma (E)(3)$ . ^[20]

Клоны [ править ]

Клоны — это частный случай операд, которые также закрываются при совместном определении аргументов («повторное использование» некоторых данных). Клоны можно эквивалентно определить как операды, которые также являются миньонами (или клоноидами ).

Операды в теории гомотопий [ править ]

В Сташефф (2004) Сташефф пишет:

Операды особенно важны и полезны в категориях с хорошим понятием «гомотопии», где они играют ключевую роль в организации иерархий высших гомотопий.

См. также [ править ]

Примечания [ править ]

^ «конечность» относится к тому факту, что в определении операды разрешено только конечное число входных данных. Например, условие выполняется, если можно написать
$T(V)=\bigoplus _{n=1}^{\infty }T_{n}\otimes V^{\otimes n}$ ,

$\gamma (V):T_{n}\otimes T_{i_{1}}\otimes \cdots \otimes T_{i_{n}}\to T_{i_{1}+\dots +i_{n}}$ .

Цитаты [ править ]

^ Бордман, Дж. М .; Фогт, Р.М. (1 ноября 1968 г.). «Гомотопия-все $H$-пространства» . Бюллетень Американского математического общества . 74 (6): 1117–1123. дои : 10.1090/S0002-9904-1968-12070-1 . ISSN 0002-9904 .
^ Бордман, Дж. М .; Фогт, Р.М. (1973). Гомотопически-инвариантные алгебраические структуры на топологических пространствах . Конспект лекций по математике. Том. 347. дои : 10.1007/bfb0068547 . ISBN 978-3-540-06479-4 . ISSN 0075-8434 .
^ Мэй, JP (1972). Геометрия итерированных пространств циклов . Конспект лекций по математике. Том. 271. CiteSeerX 10.1.1.146.3172 . дои : 10.1007/bfb0067491 . ISBN 978-3-540-05904-2 . ISSN 0075-8434 .
^ «Операды в алгебре, топологии и физике»: Мартин Маркл, Стив Шнайдер, Джим Сташефф, Математические обзоры и монографии, Том: 96; 2002 г.
^ Мэй, Дж. Питер . «Операды, алгебры и модули» (PDF) . math.uchicago.edu . п. 2 . Проверено 28 сентября 2018 г.
^ Гинзбург, Виктор ; Капранов, Михаил (1994). «Двойственность Кошуля для операд» . Математический журнал Дьюка . 76 (1): 203–272. дои : 10.1215/S0012-7094-94-07608-4 . ISSN 0012-7094 . МР 1301191 . S2CID 115166937 . Zbl 0855.18006 – через проект Евклид .
^ Лоде, Жан-Луи (1996). «Возрождение оперы» . www.numdam.org . Семинар Николя Бурбаки . МР 1423619 . Збл 0866.18007 . Проверено 27 сентября 2018 г.
^ Перейти обратно: ^а ^б Концевич, Максим; Сойбельман, Ян (26 января 2000 г.). «Деформации алгебр над операдами и гипотеза Делиня». arXiv : math/0001151 .
^ Джонс, JDS; Гетцлер, Эзра (8 марта 1994 г.). «Операды, гомотопическая алгебра и повторные интегралы для пространств двойных петель». arXiv : hep-th/9403055 .
^ N. Durov, New approach to Arakelov geometry, University of Bonn, PhD thesis, 2007; arXiv:0704.2030 .
^ Маркл, Мартин (2006). «Операды и реквизит». Справочник по алгебре . 5 (1): 87–140. arXiv : math/0601129 . дои : 10.1016/S1570-7954(07)05002-4 . ISBN 9780444531018 . S2CID 3239126 . Пример 2
^ Джованни Джачетта, Луиджи Манджаротти, Геннадий Сарданашвили (2005) Геометрические и алгебраические топологические методы в квантовой механике, ISBN 981-256-129-3 , стр. 474 475.
^ Гринлис, JPC (2002). Аксиоматическая, обогащенная и мотививная теория гомотопии . Труды Института перспективных исследований НАТО по аксиоматической, обогащенной и мотивационной теории гомотопии. Кембридж, Великобритания : Springer Science & Business Media. стр. 154–156. ISBN 978-1-4020-1834-3 .
^ Мэй, JP (1977). «Теория бесконечного пространства петель» . Бык. амер. Математика. Соц . 83 (4): 456–494. дои : 10.1090/s0002-9904-1977-14318-8 .
^ Сташефф, Джим (1998). «Прививка вишневых деревьев Бордмана к квантовой теории поля». arXiv : математика/9803156 .
^ Воронов, Александр А. (1999). Швейцарская сырная операда . Современная математика. Балтимор, Мэриленд, США : AMS. стр. 100-1 365–373. ISBN 978-0-8218-7829-3 .
^ Концевич, Максим (1999). «Операды и мотивы в квантовании деформации» . Летт. Математика. Физ . 48 : 35–72. arXiv : математика/9904055 . Бибкод : 1999math......4055K . дои : 10.1023/А:1007555725247 . S2CID 16838440 .
^ Ху, По; Криж, Игорь; Воронов, Александр А. (2006). «О гипотезе когомологий Хохшильда Концевича» . Математическая композиция . 142 (1): 143–168. arXiv : math/0309369 . дои : 10.1112/S0010437X05001521 .
^ Томас, Джастин (2016). «Гипотеза Концевича о швейцарском сыре» . Геом. Тополь . 20 (1): 1–48. arXiv : 1011.1635 . дои : 10.2140/gt.2016.20.1 . S2CID 119320246 .
^ Маркл, Мартин (2006). «Операды и реквизит». Справочник по алгебре . 5 : 87–140. дои : 10.1016/S1570-7954(07)05002-4 . ISBN 9780444531018 . S2CID 3239126 . Определение 37

Ссылки [ править ]

Том Ленстер (2004). Высшие операды, высшие категории . Издательство Кембриджского университета. arXiv : math/0305049 . Бибкод : 2004hohc.book.....L . ISBN 978-0-521-53215-0 .
Мартин Маркл, Стив Шнайдер , Джим Сташефф (2002). Операды в алгебре, топологии и физике . Американское математическое общество. ISBN 978-0-8218-4362-8 . {{cite book}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
Маркл, Мартин (июнь 2006 г.). «Операды и реквизит». arXiv : math/0601129 .
Сташефф, Джим (июнь – июль 2004 г.). «Что такое... операда?» (PDF) . Уведомления Американского математического общества . 51 (6): 630–631 . Проверено 17 января 2008 г.
Лоде, Жан Луи ; Валлетт, Бруно (2012), Алгебраические операды (PDF) , Основы математических наук, том. 346, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-3-642-30361-6
Зинбиэль, Гийом В. (2012), «Энциклопедия типов алгебр 2010», в Бай, Ченгмин; Го, Ли; Лоде, Жан-Луи (ред.), Операды и универсальная алгебра , Серия Нанкай в чистом виде, Прикладная математика и теоретическая физика, том. 9, стр. 217–298, arXiv : 1101.0267 , Bibcode : 2011arXiv1101.0267Z , ISBN 9789814365116
Фрессе, Бенуа (17 мая 2017 г.), Гомотопия операд и групп Гротендика-Тейхмюллера , Математические обзоры и монографии, Американское математическое общество , ISBN 978-1-4704-3480-9 , МР 3643404 , Збл 1373.55014
Мигель А. Мендес (2015). Установить операды в комбинаторике и информатике . SpringerBriefs по математике. ISBN 978-3-319-11712-6 .
Самуэле Жиродо (2018). Несимметричные операды в комбинаторике . Международное издательство Спрингер. ISBN 978-3-030-02073-6 .

Внешние ссылки [ править ]

[9] «конечность» относится к тому факту, что в определении операды разрешено только конечное число входных данных. Например, условие выполняется, если можно написать
$T(V)=\bigoplus _{n=1}^{\infty }T_{n}\otimes V^{\otimes n}$ ,

$\gamma (V):T_{n}\otimes T_{i_{1}}\otimes \cdots \otimes T_{i_{n}}\to T_{i_{1}+\dots +i_{n}}$ .

[1] Бордман, Дж. М .; Фогт, Р.М. (1 ноября 1968 г.). «Гомотопия-все $H$-пространства» . Бюллетень Американского математического общества . 74 (6): 1117–1123. дои : 10.1090/S0002-9904-1968-12070-1 . ISSN 0002-9904 .

[2] Бордман, Дж. М .; Фогт, Р.М. (1973). Гомотопически-инвариантные алгебраические структуры на топологических пространствах . Конспект лекций по математике. Том. 347. дои : 10.1007/bfb0068547 . ISBN 978-3-540-06479-4 . ISSN 0075-8434 .

[3] Мэй, JP (1972). Геометрия итерированных пространств циклов . Конспект лекций по математике. Том. 271. CiteSeerX 10.1.1.146.3172 . дои : 10.1007/bfb0067491 . ISBN 978-3-540-05904-2 . ISSN 0075-8434 .

[Stasheff-et-al-2002-4] «Операды в алгебре, топологии и физике»: Мартин Маркл, Стив Шнайдер, Джим Сташефф, Математические обзоры и монографии, Том: 96; 2002 г.

[5] Мэй, Дж. Питер . «Операды, алгебры и модули» (PDF) . math.uchicago.edu . п. 2 . Проверено 28 сентября 2018 г.

[6] Гинзбург, Виктор ; Капранов, Михаил (1994). «Двойственность Кошуля для операд» . Математический журнал Дьюка . 76 (1): 203–272. дои : 10.1215/S0012-7094-94-07608-4 . ISSN 0012-7094 . МР 1301191 . S2CID 115166937 . Zbl 0855.18006 – через проект Евклид .

[7] Лоде, Жан-Луи (1996). «Возрождение оперы» . www.numdam.org . Семинар Николя Бурбаки . МР 1423619 . Збл 0866.18007 . Проверено 27 сентября 2018 г.

[Deligne-8] Перейти обратно: ^а ^б Концевич, Максим; Сойбельман, Ян (26 января 2000 г.). «Деформации алгебр над операдами и гипотеза Делиня». arXiv : math/0001151 .

[10] Джонс, JDS; Гетцлер, Эзра (8 марта 1994 г.). «Операды, гомотопическая алгебра и повторные интегралы для пространств двойных петель». arXiv : hep-th/9403055 .

[11] N. Durov, New approach to Arakelov geometry, University of Bonn, PhD thesis, 2007; arXiv:0704.2030 .

[12] Маркл, Мартин (2006). «Операды и реквизит». Справочник по алгебре . 5 (1): 87–140. arXiv : math/0601129 . дои : 10.1016/S1570-7954(07)05002-4 . ISBN 9780444531018 . S2CID 3239126 . Пример 2

[13] Джованни Джачетта, Луиджи Манджаротти, Геннадий Сарданашвили (2005) Геометрические и алгебраические топологические методы в квантовой механике, ISBN 981-256-129-3 , стр. 474 475.

[14] Гринлис, JPC (2002). Аксиоматическая, обогащенная и мотививная теория гомотопии . Труды Института перспективных исследований НАТО по аксиоматической, обогащенной и мотивационной теории гомотопии. Кембридж, Великобритания : Springer Science & Business Media. стр. 154–156. ISBN 978-1-4020-1834-3 .

[15] Мэй, JP (1977). «Теория бесконечного пространства петель» . Бык. амер. Математика. Соц . 83 (4): 456–494. дои : 10.1090/s0002-9904-1977-14318-8 .

[16] Сташефф, Джим (1998). «Прививка вишневых деревьев Бордмана к квантовой теории поля». arXiv : математика/9803156 .

[17] Воронов, Александр А. (1999). Швейцарская сырная операда . Современная математика. Балтимор, Мэриленд, США : AMS. стр. 100-1 365–373. ISBN 978-0-8218-7829-3 .

[18] Концевич, Максим (1999). «Операды и мотивы в квантовании деформации» . Летт. Математика. Физ . 48 : 35–72. arXiv : математика/9904055 . Бибкод : 1999math......4055K . дои : 10.1023/А:1007555725247 . S2CID 16838440 .

[19] Ху, По; Криж, Игорь; Воронов, Александр А. (2006). «О гипотезе когомологий Хохшильда Концевича» . Математическая композиция . 142 (1): 143–168. arXiv : math/0309369 . дои : 10.1112/S0010437X05001521 .

[20] Томас, Джастин (2016). «Гипотеза Концевича о швейцарском сыре» . Геом. Тополь . 20 (1): 1–48. arXiv : 1011.1635 . дои : 10.2140/gt.2016.20.1 . S2CID 119320246 .

[21] Маркл, Мартин (2006). «Операды и реквизит». Справочник по алгебре . 5 : 87–140. дои : 10.1016/S1570-7954(07)05002-4 . ISBN 9780444531018 . S2CID 3239126 . Определение 37

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[примечание 1]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]