PROP (теория категорий)

В теории категорий , разделе математики, PROP — это симметричная строгая моноидальная категория , объектами которой являются натуральные числа n, отождествляемые с конечными множествами. $\{0,1,\ldots ,n-1\}$ и чье тензорное произведение дается на объектах путем сложения чисел. ^[1] за «симметричности» для каждого n на симметричная группа n буквах задается как подгруппа группы автоморфизмов n Из - . Имя PROP является аббревиатурой от « Категория продукта и перестановки ».

Это понятие было введено Адамсом и Мак Лейном; топологическая версия была позже предложена Бордманом и Фогтом. ^[2] Вслед за ними Дж. П. Мэй затем ввел термин « операда », который представляет собой особый вид PROP, для объекта, который Бордман и Фогт назвали «категорией операторов в стандартной форме».

Имеются следующие включения полных подкатегорий: ^[3]

{\mathsf {Operads}}\subset {\tfrac {1}{2}}{\mathsf {PROP}}\subset {\mathsf {PROP}}

где первая категория — это категория (симметричных) операд.

Примеры и варианты

Важным элементарным классом реквизитов являются множества ${\mathcal {R}}^{\bullet \times \bullet }$ всех кольцом матриц (независимо от количества строк и столбцов) над некоторым фиксированным ${\mathcal {R}}$ . Более конкретно, эти матрицы являются морфизмами PROP; объекты могут быть приняты как $\{{\mathcal {R}}^{n}\}_{n=0}^{\infty }$ (наборы векторов) или просто натуральные числа (поскольку объекты не обязательно должны быть множествами с некоторой структурой). В этом примере:

Состав $\circ$ морфизмов – это обычное умножение матриц .
Тождественный морфизм объекта $n$ (или ${\mathcal {R}}^{n}$ ) — единичная матрица со стороной $n$ .
Продукт $\otimes$ $\otimes$ действует на объекты как сложение ( $m\otimes n=m+n$ $m\otimes n=m+n$ или ${\mathcal {R}}^{m}\otimes {\mathcal {R}}^{n}={\mathcal {R}}^{m+n}$ ${\mathcal {R}}^{m}\otimes {\mathcal {R}}^{n}={\mathcal {R}}^{m+n}$ ) и на морфизмах типа операции построения блочно-диагональных матриц : $\alpha \otimes \beta ={\begin{bmatrix}\alpha &0\\0&\beta \end{bmatrix}}$ $\alpha \otimes \beta = {\begin{bmatrix} \alpha &0\\0&\beta \end{bmatrix}}$ .
- Таким образом, совместимость состава и продукта сводится к
  $(A\otimes B)\circ (C\otimes D)={\begin{bmatrix}A&0\\0&B\end{bmatrix}}\circ {\begin{bmatrix}C&0\\0&D\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}AC&0\\0&BD\end{bmatrix}}=(A\circ C)\otimes (B\circ D)$ .
- В крайнем случае матрицы без строк ( $0\times n$ матрицы) или отсутствие столбцов ( $m\times 0$ матрицы) разрешены, а по счету умножения — как нулевые матрицы. $\otimes$ идентичность – это $0\times 0$ матрица.
Перестановки матрицы в PROP — это перестановок . Таким образом, левое действие перестановки на матрице (морфизм этого PROP) заключается в перестановке строк, тогда как правое действие — в перестановке столбцов.

Существуют также реквизиты матриц, в которых произведение $\otimes$ является произведением Кронекера , но в этом классе PROP все матрицы должны иметь вид $k^{m}\times k^{n}$ (стороны — все степени некоторого общего основания $k$ ); это координатные аналоги соответствующих симметричных моноидальных категорий векторных пространств при тензорном произведении.

Дополнительные примеры реквизитов:

дискретная категория $\mathbb {N}$ натуральных чисел,
категория FinSet натуральных чисел и функций между ними,
категория Bij натуральных чисел и биекций,
категория Inj натуральных чисел и инъекций.

Если отбросить требование «симметричность», то возникает понятие категории «ПРО» . Если слово «симметричный» заменить на b raid , то получится понятие Категория ПРОБ .

категория Bij _Braid натуральных чисел, снабженная группой кос B _n в качестве автоморфизмов каждого n (и никаких других морфизмов).

это PROB, но не PROP.

расширенная симплексная категория $\Delta _{+}$ натуральных чисел и функций, сохраняющих порядок .

это пример PRO, который даже не является PROB.

Алгебры ПРО

Алгебра PRO $P$ в моноидальной категории $C$ является строгим моноидальным функтором из $P$ к $C$ . Каждый ПРО $P$ и категория $C$ порождать категорию $\mathrm {Alg} _{P}^{C}$ алгебр, объектами которых являются алгебры $P$ в $C$ и чьи морфизмы являются естественными преобразованиями между ними.

Например:

алгебра $\mathbb {N}$ это всего лишь объект $C$ ,
алгебра FinSet является коммутативным моноидным объектом $C$ ,
алгебра $\Delta$ является моноидным объектом в $C$ .

Точнее, то, что мы подразумеваем здесь под «алгебрами $\Delta$ в $C$ являются моноидными объектами в $C$ "например, заключается в том, что категория алгебр $P$ в $C$ эквивалентно в категории моноидов $C$ .

См. также

Ссылки

^ Мак Лейн 1965 , Гл. В, § 24.
^ Бордман, Дж. М.; Фогт, Р.М. (1968). «Гомотопия-все H-пространства» (PDF) . Бык. амер. Математика. Соц . 74 (6): 1117–22. дои : 10.1090/S0002-9904-1968-12070-1 . МР 0236922 .
^ Маркл, Мартин (2006). «Операды и реквизит». Справочник по алгебре . 5 (1): 87–140. дои : 10.1016/S1570-7954(07)05002-4 . ISBN 978-0-444-53101-8 . S2CID 3239126 . стр. 45

Мак Лейн, Сондерс (1965). «Категорическая алгебра» . Бюллетень Американского математического общества . 71 : 40–106. дои : 10.1090/S0002-9904-1965-11234-4 .
Маркл, Мартин; Шнайдер, Стив ; Сташефф, Джим (2002). Операды в алгебре, топологии и физике . Американское математическое общество. ISBN 978-0-8218-4362-8 .
Ленстер, Том (2004). Высшие операды, высшие категории . Издательство Кембриджского университета. arXiv : math/0305049 . Бибкод : 2004hohc.book.....L . ISBN 978-0-521-53215-0 .

Эта теории категорий статья, посвященная , незавершена . Вы можете помочь Википедии, расширив ее .

[1] Мак Лейн 1965 , Гл. В, § 24.

[2] Бордман, Дж. М.; Фогт, Р.М. (1968). «Гомотопия-все H-пространства» (PDF) . Бык. амер. Математика. Соц . 74 (6): 1117–22. дои : 10.1090/S0002-9904-1968-12070-1 . МР 0236922 .

[3] Маркл, Мартин (2006). «Операды и реквизит». Справочник по алгебре . 5 (1): 87–140. дои : 10.1016/S1570-7954(07)05002-4 . ISBN 978-0-444-53101-8 . S2CID 3239126 . стр. 45

[1]

[2]

[3]