Рубашка двойственности

В математике , двойственность Кошуля , названная в честь французского математика Жана-Луи Кошуля — это любой из различных видов двойственностей, встречающихся в теории представлений алгебр Ли , абстрактных алгебр ( полупростых алгебр ) и топология (например, эквивариантные когомологии ). Прототипом является переписка БГГ Иосифа Бернштейна , Исраэля Гельфанда и Сергея Гельфанда. Это двойственность между производной категорией и симметрической алгебры производной категорией внешней алгебры . Важность этого понятия основана на подозрении, что двойственность Кошуля кажется вполне повсеместной в природе.

Двойственность Кошуля для градуированных модулей

Простейший и в каком-то смысле прототипический случай двойственности Кошуля возникает следующим образом: для одномерного векторного пространства V над полем k с двойственным векторным пространством $V^{*}$, внешняя алгебра V именно имеет две нетривиальные компоненты, а

$\bigwedge ^{1}V=V,\quad \bigwedge ^{0}V=k.$

Эта внешняя алгебра и симметрическая алгебра $V^{*}$, $\operatorname {Sym} (V^{*})$, служат для построения двухступенчатого цепного комплекса

$V\otimes _{k}\operatorname {Sym} (V^{*})\to k\otimes _{k}\operatorname {Sym} (V^{*})$

дифференциал которого индуцирован естественным оценочным отображением

$V\otimes _{k}V^{*}\to k,\quad v\otimes _{k}\varphi \mapsto \varphi (v).$

Выбирая базис V , $\operatorname {Sym} (V^{*})$ можно отождествить с кольцом многочленов от одной переменной, $k[t]$, и предыдущий цепной комплекс становится изоморфным комплексу

$k[t]{\stackrel {t}{\longrightarrow }}k[t]$

дифференциал которого есть умножение на t . Это вычисление показывает, что когомологии вышеуказанного комплекса равны 0 в левом члене и k в правом члене. Другими словами, k (рассматриваемый как цепной комплекс, сосредоточенный в одной степени) квазиизоморфен указанному выше комплексу, что обеспечивает тесную связь между внешней алгеброй V и симметрической алгеброй его двойственного элемента.

двойственный

Двойственность Кошуля в интерпретации Александра Бейлинсона , Виктора Гинзбурга и Вольфганга Зёргеля. можно сформулировать, используя понятие алгебры Кошуля . Примером такой алгебры Кошуля A является симметрическая алгебра $S(V)$ в конечномерном векторном пространстве. В более общем смысле можно показать, что любая алгебра Кошуля является квадратичной алгеброй , т. е. имеет вид

$A=T(V)/R,$

где $T(V)$ — тензорная алгебра в конечномерном векторном пространстве, а $R$ является подмодулем $T^{2}(V)=V\otimes V$. совпадает Тогда двойственный Кошулю с квадратичным двойственным

$A^{!}:=T(V^{*})/R'$

где $V^{*}$ является ( k -линейным) двойственным и $R'\subset V^{*}\otimes V^{*}$ состоит из тех элементов, на которых элементы R (т. е. отношения в A ) обращаются в нуль. Кошул-двойник $A=S(V)$ дается $A^{!}=\Lambda (V^{*})$, внешняя алгебра на двойственной к V . В общем случае двойственная алгебра Кошуля снова является алгеброй Кошуля. Его противоположное кольцо представляет собой градуированное кольцо саморасширений основного поля k, рассматриваемое как A -модуль:

$(A^{!})^{\text{opp}}=\operatorname {Ext} _{A}^{*}(k,k).$

Рубашка двойственности

Если алгебра $A$ Кошул, существует эквивалентность между некоторыми подкатегориями категорий градуированных производных $A$- и $A^{!}$-модули. Эти подкатегории определяются некоторыми условиями ограниченности градуировки относительно когомологической степени комплекса.

Варианты

В качестве альтернативы переходу к определенным подкатегориям производных категорий $A$ и $A^{!}$ чтобы получить эквивалентности, вместо этого можно получить эквивалентности между определенными факторами гомотопических категорий. Обычно эти факторы больше, чем производная категория, поскольку они получаются путем исключения некоторой подкатегории категории ациклических комплексов, но они имеют то преимущество, что каждый комплекс модулей определяет некоторый элемент категории без необходимости наложения условий ограниченности. Другая переформулировка дает эквивалентность производной категории $A$ и «кодерированная» категория коалгебры $(A^{!})^{*}$.

Распространение двойственности Кошуля на D -модули устанавливает аналогичную эквивалентность производных категорий между dg-модулями над dg-алгеброй. $\Omega _{X}$ дифференциалов Кэлера на гладком алгебраическом многообразии X и $D_{X}$-модули.

Рубашка двойственности для операд

Расширение изложенной выше концепции двойственности Кошуля было сформулировано Гинзбургом и Капрановым, которые ввели понятие квадратичной операды и определили квадратично-двойственную к такой операде. Грубо говоря, операда — это алгебраическая структура, состоящая из объекта, состоящего из n -арных операций для всех n . Алгебра над операдой — это объект, на котором действуют эти n -арные операции. Например, существует операда, называемая ассоциативной операдой , алгебры которой являются ассоциативными алгебрами, т. е., в зависимости от конкретного контекста, некоммутативными кольцами (или, в зависимости от контекста, некоммутативными градуированными кольцами, дифференциально градуированными кольцами). Алгебры над так называемой коммутативной операдой — это коммутативные алгебры, т. е. коммутативные (возможно, градуированные, дифференциально градуированные) кольца. Еще одним примером является операда Ли, алгебры которой являются алгебрами Ли . Упомянутая выше квадратичная двойственность такова, что ассоциативная операда самодуальна, а коммутативная и лиева операда соответствуют друг другу при этой двойственности.

Двойственность Кошуля для операд устанавливает эквивалентность между алгебрами над двойственными операдами. Частный случай ассоциативных алгебр возвращает функтор $A\mapsto A^{!}$ упомянуто выше.

См. также

• Алгебра Зинбиля

Ссылки

• Придди, Резолюции Стюарта Б. Кошула . Труды Американского математического общества 152 (1970), 39–60.

Внешние ссылки

• http://www.math.harvard.edu/~lurie/282ynotes/LectureXXIII-Koszul.pdf
• http://people.mpim-bonn.mpg.de/geordie/Soergel.pdf
• http://arxiv.org/pdf/1109.6117v1.pdf