Квадратичная алгебра

В математике квадратичная алгебра — это фильтрованная алгебра, порождённая элементами первой степени, с определяющими соотношениями степени 2. Как отмечал Юрий Манин , такие алгебры играют важную роль в теории квантовых групп . Важнейшим классом градуированных квадратичных алгебр являются алгебры Кошуля .

Определение

Градуированная квадратичная алгебра A определяется векторным пространством образующих V = A ₁ и подпространством однородных квадратичных отношений S ⊂ V ⊗ V . Таким образом

$A=T(V)/\langle S\rangle$

и наследует свою градуировку от тензорной алгебры T ( V ).

Если вместо этого подпространству отношений разрешено также содержать неоднородные элементы степени 2, т.е. S ⊂ k ⊕ V ⊕ ( V ⊗ V ), эта конструкция приводит к фильтрованной квадратичной алгебре .

Градуированная квадратичная алгебра A , как указано выше, допускает двойственную квадратичную алгебру : квадратичную алгебру, порожденную V ^* и с квадратичными соотношениями, образующими ортогональное дополнение к S в V ^* ⊗ V ^* .

Примеры

• Тензорная алгебра , симметрическая алгебра и внешняя алгебра конечномерного векторного пространства являются градуированными квадратичными (фактически Кошулевым) алгебрами.
• Универсальная обертывающая алгебра конечномерной алгебры Ли является фильтрованной квадратичной алгеброй.
• Алгебра Клиффорда конечномерного векторного пространства, снабженного квадратичной формой, является фильтрованной квадратичной алгеброй.
• Алгебра Вейля конечномерного симплектического векторного пространства является фильтрованной квадратичной алгеброй.

Дальнейшее чтение

• Мазорчук Владимир; Овсиенко, Серж; Строппель, Катарина (2009), «Квадратичные двойственные элементы, двойственные функторы Кошуля и приложения» , Trans. амер. Математика. Соц. , 361 (3): 1129–1172, arXiv : math.RT/0603475 , doi : 10.1090/S0002-9947-08-04539-X