Операда
В математике операда , каждая из которых имеет фиксированное конечное число входов ( — это структура, состоящая из абстрактных операций аргументов) и один выход, а также спецификацию того, как составлять эти операции. Учитывая операду , определяется алгебра над быть множеством вместе с конкретными операциями над этим множеством, которые ведут себя точно так же, как абстрактные операции . Например, есть операда Лия такие, что алгебры над являются в точности алгебрами Ли ; в некотором смысле абстрактно кодирует операции, общие для всех алгебр Ли. Операда относится к своим алгебрам так же, как группа относится к своим групповым представлениям .
История
[ редактировать ]Операды происходят из алгебраической топологии ; они были введены для характеристики итерированных пространств петель Дж . Майклом Бордманом и Райнером М. Фогтом в 1968 году. [1] [2] и Дж. Питера Мэя в 1972 году. [3]
Мартин Маркл, Стив Шнайдер и Джим Сташефф пишут в своей книге об операдах: [4]
- «Имя операда и формальное определение впервые появляются в начале 1970-х годов в книге Дж. Питера Мэя «Геометрия итерированных пространств циклов», но годом или более ранее Бордман и Фогт описали ту же концепцию под названием категорий операторов в стандарте. form , вдохновленный PROP и PACT Адамса и Мак Лейна. На самом деле, существует множество предыстории. Вейбель [Вэй] указывает, что эта концепция впервые возникла сто лет назад в А. Н. Уайтхеда «Трактате об универсальной алгебре» . 1898 год».
Слово «операда» было создано Мэем как сочетание слов «операции» и « монада » (а также потому, что его мать была оперной певицей). [5]
Интерес к операдам значительно возобновился в начале 90-х годов, когда на основе ранних идей Максима Концевича Виктор Гинзбург и Михаил Капранов обнаружили, что некоторые двойственности явления в теории рациональной гомотопии можно объяснить с помощью Кошуля . двойственности операд [6] [7] Операды с тех пор нашли множество применений, таких как деформационное квантование многообразий Пуассона , гипотеза Делиня , [8] или графов гомологии в работах Максима Концевича и Томаса Вильвахера .
Интуиция
[ редактировать ]Предполагать это набор и для мы определяем
- ,
набор всех функций из декартова произведения копии к .
Мы можем составить эти функции: учитывая , , функция
определяется следующим образом: учитывая аргументы от , мы разделим их на блоки, первый из которых имеет аргументы, второй аргументы и т. д., а затем применить до первого блока, ко второму блоку и т. д. Затем мы применяем в список значения, полученные из таким образом.
Мы также можем переставлять аргументы, т.е. у нас есть правильное действие. симметрической группы на , определяемый
для , и .
Приведенное ниже определение симметричной операды отражает основные свойства этих двух операций. и .
Определение
[ редактировать ]Несимметричная операда
[ редактировать ]Несимметричная операда (иногда называемая операдой без перестановок или несимметричной операдой). или простая операда) состоит из следующего:
- последовательность множеств, элементы которых называются -арные операции ,
- элемент в называется личностью ,
- для всех положительных целых чисел , , композиции функция
удовлетворяющие следующим аксиомам когерентности:
- личность :
- ассоциативность :
Симметричная операда
[ редактировать ]Симметричная операда (часто называемая просто операдой ) — это несимметричная операда. как и выше, вместе с правым действием симметрической группы на для , обозначенный и удовлетворение
- эквивариантность : учитывая перестановку ,
- (где в правой части относится к элементу который действует на съемочной площадке разбив его на блоки, первые по размеру , второй по размеру , через размер блока , а затем переставляет их местами блокирует по , сохраняя каждый блок нетронутым)
- и учитывая перестановки ,
- (где обозначает элемент который переставляет первый из этих блоков на , второй по и т. д. и сохраняет их общий порядок).
Действия перестановки в этом определении жизненно важны для большинства приложений, включая исходное приложение для зацикливания пространств.
Морфизмы
[ редактировать ]Морфизм операд состоит из последовательности
что:
- сохраняет идентичность:
- сохраняет композицию: для каждой n -арной операции и операции ,
- сохраняет действия перестановки: .
Таким образом, операды образуют категорию , обозначаемую .
В других категориях
[ редактировать ]До сих пор операды рассматривались только в категории множеств. можно определить операды в любой симметричной моноидальной категории C. В более общем смысле , В этом случае каждый является объектом C , композиция является морфизмом в C (где обозначает тензорное произведение моноидальной категории), а действия элементов симметрической группы задаются изоморфизмами в C .
Типичным примером является категория топологических пространств и непрерывных карт, где моноидальное произведение задается декартовым произведением . В этом случае топологическая операда задается последовательностью пространств (а не множеств) . Структурные отображения операды (состав и действия симметрических групп) при этом считаются непрерывными. Результат называется топологической операдой . Аналогично, при определении морфизма операд необходимо было бы предположить, что рассматриваемые отображения непрерывны.
Другие общие настройки для определения операд включают, например, модули над коммутативным кольцом , цепные комплексы , группоиды (или даже сами категории категорий), коалгебры и т. д.
Алгебраистское определение
[ редактировать ]Для коммутативного кольца R рассмотрим категорию модулей над R . Операду . над R можно определить как моноидный объект в моноидальной категории эндофункторов на (это монада ), удовлетворяющая некоторому условию конечности. [примечание 1]
Например, моноидный объект в категории «полиномиальные эндофункторы» на это операда. [8] Аналогично, симметричную операду можно определить как моноидный объект в категории -объекты , где означает симметричную группу. [9] Моноидный объект в категории комбинаторных видов — это операда в конечных множествах.
Операду в указанном выше смысле иногда рассматривают как обобщенное кольцо . Например, Николай Дуров определяет свои обобщенные кольца как моноидные объекты в моноидальной категории эндофункторов на которые коммутируют с отфильтрованными копределами. [10] Это обобщение кольца, поскольку каждое обычное кольцо R определяет монаду который отправляет набор X в базовый набор свободного R -модуля созданный X.
Понимание аксиом
[ редактировать ]Аксиома ассоциативности
[ редактировать ]«Ассоциативность» означает, что композиция операций ассоциативна.(функция ассоциативен), аналогичный аксиоме теории категорий, согласно которой ; это не операции означает, что сами ассоциативны как операции.Сравните с ассоциативной операдой ниже.
Ассоциативность в теории операд означает, что выражения могут быть написаны с использованием операций без двусмысленности из опущенных составов, точно так же, как ассоциативность операций позволяет записывать продукты без двусмысленности из опущенных скобок.
Например, если — это бинарная операция, которая записывается как или . Так что может быть или не быть ассоциативным.
Тогда то, что обычно пишут однозначно записывается операдически как . Это отправляет к (применять на первых двух и тождество на третьем), а затем слева "умножается" к .Это становится яснее, если изобразить его в виде дерева:
что дает 3-арную операцию:
Однако выражение неоднозначно априори :это может означать , если сначала исполняются внутренние композиции, или это может означать ,если первыми выполняются внешние композиции (операции читаются справа налево).Письмо , Это против . То есть в дереве отсутствуют «вертикальные скобки»:
Если первыми составляются две верхние строки операций (ставится верхняя скобка в начале линия; сначала выполняет внутреннюю композицию), следующие результаты:
который затем однозначно оценивается и дает 4-арную операцию.В качестве аннотированного выражения:
Если первыми составляются две нижние строки операций (ставится нисходящая скобка в начале линия; сначала делает внешнюю композицию), следующие результаты:
который затем однозначно вычисляет 4-арную операцию:
Аксиома операды ассоциативности состоит в том, что они дают один и тот же результат , и, следовательно, выражение является однозначным.
Аксиома тождества
[ редактировать ]Аксиому идентичности (для бинарной операции) можно представить в виде дерева как:
это означает, что три полученные операции равны: до- или пост-компоновка с идентификатором не имеет значения. Что касается категорий, является следствием аксиомы тождества.
Примеры
[ редактировать ]Операда эндоморфизмов в множествах и операдных алгебрах
[ редактировать ]Самые основные операды приведены выше в разделе «Интуиция». Для любого набора , получаем операду эндоморфизма состоящий из всех функций . Эти операды важны, поскольку они служат для определения операдных алгебр . Если является операдой, операдной алгеброй над дано набором и операдный морфизм . Интуитивно такой морфизм превращает каждую «абстрактную» операцию в «бетон» -арная операция на множестве . Оперированная алгебра над таким образом, состоит из набора вместе с конкретными операциями по которые следуют правилам, абстрактно заданным операдой .
Операда эндоморфизмов в векторных пространствах и операдных алгебрах
[ редактировать ]Если k — поле , мы можем рассмотреть категорию конечномерных векторных пространств над k ; это становится моноидальной категорией, используя обычное тензорное произведение по k. Затем мы можем определить операды эндоморфизмов в этой категории следующим образом. Пусть V — конечномерное векторное пространство. Операда эндоморфизма из V состоит [11]
- = пространство линейных отображений ,
- (состав) дано , , ..., , их состав задан картой ,
- (идентичность) Элемент идентификации в это карта личности ,
- (симметричное групповое действие) действует на переставляя компоненты тензоров в .
Если — операда, k -линейная операдная алгебра над задается конечномерным векторным пространством V над k и операдным морфизмом ; это равносильно указанию конкретных полилинейных операций над V , которые ведут себя как операции . (Обратите внимание на аналогию между операдами и операдными алгебрами и кольцами и модулями: модуль над кольцом R задается абелевой группой M вместе с кольцевым гомоморфизмом .)
В зависимости от приложений возможны вариации вышесказанного: например, в алгебраической топологии вместо векторных пространств и тензорных произведений между ними используются (разумные) топологические пространства и декартовы произведения между ними.
Операды «Кое-что»
[ редактировать ]Маленькая двухдисковая операда — это топологическая операда, в которой состоит из упорядоченных списков из n непересекающихся дисков внутри диска единичного сосредоточено в начале координат. Симметричная группа действует на такие конфигурации, переставляя список маленьких дисков. Оперная композиция для дисков изображена на рисунке справа, где элемент состоит из элемента чтобы получить элемент полученный путем сжатия конфигурации и вставив его в i-й диск , для .
Аналогично можно определить маленькую операду из n-дисков , рассматривая конфигурации непересекающихся n -шаров внутри единичного шара . [12]
Первоначально операда маленьких n-кубов или операда маленьких интервалов (первоначально называвшаяся маленькими n -кубами PROP ) была определена Майклом Бордманом и Райнером Фогтом аналогичным образом в терминах конфигураций непересекающихся, выровненных по осям n -мерных гиперкубов (n- размерные интервалы ) внутри единичного гиперкуба . [13] Позже это было обобщено Мэем. [14] к маленьким выпуклым телам операд , а «диски» — это случай «фольклора», происходящий от «маленьких выпуклых тел». [15]
Деревья с корнями
[ редактировать ]В теории графов корневые деревья образуют естественную операду. Здесь, — множество всех корневых деревьев с n листьями, где листья пронумерованы от 1 до n. Группа работает с этим набором, переставляя метки листьев. Оперная композиция дается заменой i -го листа по корню i -го дерева , для , таким образом присоединяя n деревьев к и образуя большее дерево, корень которого считается таким же, как корень и чьи листья пронумерованы по порядку.
Швейцарско-сырная операда
[ редактировать ]Операда « швейцарский сыр» — это двухцветная топологическая операда, определенная в терминах конфигураций непересекающихся n -мерных дисков внутри единичного n -полудиска и n -мерных полудисков, центрированных в основании единичного полудиска и находящихся внутри него. Операльная композиция получается путем склеивания конфигураций «маленьких» дисков внутри единичного полудиска с «маленькими» дисками в другом единичном полудиске и конфигураций «маленьких» дисков и полудисков внутри единичного полудиска с другим единичным полудиском.
Швейцарскую сырную операду определил Александр А. Воронов . [16] Его использовал Максим Концевич для формулировки сырной версии гипотезы Делиня о когомологиях Хохшильда. [17] Kontsevich's conjecture was proven partly by Po Hu , Igor Kriz , and Alexander A. Voronov [18] а затем полностью Джастином Томасом . [19]
Ассоциативная операда
[ редактировать ]Другой класс примеров операд — это те, которые отражают структуры алгебраических структур, таких как ассоциативные алгебры, коммутативные алгебры и алгебры Ли. Каждый из них может быть представлен как конечно представленная операда, каждая из которых генерируется бинарными операциями.
Например, ассоциативная операда — это симметричная операда, созданная бинарной операцией. , при условии лишь того, что
Это условие соответствует ассоциативности бинарной операции ; письмо мультипликативно, вышеуказанное условие . Эту ассоциативность операции не следует путать с ассоциативностью композиции , которая имеет место в любой операде; см. аксиому ассоциативности выше.
В ассоциативной операде каждый задается симметрической группой , на котором действует путем правильного умножения. Композитный переставляет свои входы в блоки в соответствии с , а внутри блоков согласно соответствующему .
Алгебры над ассоциативной операдой представляют собой в точности полугруппы : множества, объединенные одной бинарной ассоциативной операцией. -линейные алгебры k над ассоциативной операдой являются в точности ассоциативными k- алгебрами .
Терминальная симметричная операда
[ редактировать ]Терминальная симметричная операда — это операда, которая имеет одну n -арную операцию для каждого n , причем каждая действует банально. Алгебры над этой операдой являются коммутативными полугруппами; k -алгебрами -линейные алгебры являются коммутативными ассоциативными k .
Операды из групп кос
[ редактировать ]Аналогично, существует не- операда, для которой каждая задается группой кос Артина . Более того, это не- операда имеет структуру косой операды, которая обобщает понятие операды от симметричных групп кос к группам кос.
Линейная алгебра
[ редактировать ]В линейной алгебре вещественные векторные пространства можно рассматривать как алгебры над операдой. всех линейных комбинаций [ нужна ссылка ] . Эта операда определяется для , с очевидным действием перестановка компонентов и композиция заданное конкатенацией векторов , где . Вектор например представляет собой операцию формирования линейной комбинации с коэффициентами 2,3,-5,0,...
Эта точка зрения формализует представление о том, что линейные комбинации являются наиболее общим видом операций над векторным пространством. Сказать, что векторное пространство является алгеброй над операдой линейных комбинаций, — это в точности утверждение, что все возможные алгебраические операции в векторном пространстве являются линейные комбинации. Основные операции сложения векторов и скалярного умножения являются порождающим набором операды всех линейных комбинаций, тогда как операда линейных комбинаций канонически кодирует все возможные операции в векторном пространстве.
Точно так же можно считать, что аффинные комбинации , конические комбинации и выпуклые комбинации соответствуют субоперадам, где члены вектора если сумма равна 1, то все члены неотрицательны или оба соответственно. Графически это бесконечная аффинная гиперплоскость, бесконечный гипероктант и бесконечный симплекс. Это формализует то, что подразумевается под будучи или стандартный симплекс, являющийся модельным пространством, и такие наблюдения, как то, что каждый ограниченный выпуклый многогранник является образом симплекса. Здесь субоперады соответствуют более ограниченным операциям и, следовательно, более общим теориям.
Коммутативно-кольцевая операда и операда Ли
[ редактировать ]Операда коммутативных колец — это операда , алгебрами которой являются коммутативные кольца. Это определяется , с очевидным действием и операдическая композиция, задаваемая заменой переменных полиномами (с перенумерованными переменными). Можно определить аналогичную операду, алгебры которой являются ассоциативными коммутативными алгебрами над некоторым фиксированным базовым полем. Кошул -двойственной этой операде является операда Ли (алгебры которой являются алгебрами Ли), и наоборот.
Бесплатные операды
[ редактировать ]Типичные алгебраические конструкции (например, конструкции свободной алгебры) могут быть распространены на операды. Позволять обозначают категорию, объектами которой являются множества, на которых группа действует. Тогда существует забывчивый функтор , который просто забывает оперную композицию. Можно построить левый сопряженный этому забывчивому функтору (это обычное определение свободного функтора ). Учитывая набор операций E , является свободной операдой на языке E.
Подобно группе или кольцу, свободная конструкция позволяет выразить операду через образующие и отношения. Путем свободного представления операды мы имеем в виду написание как частное свободной операды где E описывает генераторы и ядро эпиморфизма описывает отношения.
(симметричная) операда называется квадратичным, если оно имеет свободное представление такое, что является генератором, а отношение содержится в . [20]
Клоны
[ редактировать ]Клоны — это особый случай операд, которые также закрываются при совместном определении аргументов («повторное использование» некоторых данных). Клоны можно эквивалентно определить как операды, которые также являются миньонами (или клоноидами ).
Операды в теории гомотопий
[ редактировать ]Этот раздел нуждается в расширении . Вы можете помочь, добавив к нему . ( декабрь 2018 г. ) |
В Сташефф (2004) Сташефф пишет:
- Операды особенно важны и полезны в категориях с хорошим понятием «гомотопии», где они играют ключевую роль в организации иерархий высших гомотопий.
См. также
[ редактировать ]- ПРО (теория категорий)
- Алгебра над операдой
- Управляемый высшего порядка
- E∞-операда
- Псевдоалгебра
- Мультикатегория
Примечания
[ редактировать ]- ^ «конечность» относится к тому факту, что в определении операды разрешено только конечное число входных данных. Например, условие выполняется, если можно написать
- ,
- .
Цитаты
[ редактировать ]- ^ Бордман, Дж. М .; Фогт, Р.М. (1 ноября 1968 г.). «Гомотопия-все $H$-пространства» . Бюллетень Американского математического общества . 74 (6): 1117–1123. дои : 10.1090/S0002-9904-1968-12070-1 . ISSN 0002-9904 .
- ^ Бордман, Дж. М .; Фогт, Р.М. (1973). Гомотопически-инвариантные алгебраические структуры на топологических пространствах . Конспект лекций по математике. Том. 347. дои : 10.1007/bfb0068547 . ISBN 978-3-540-06479-4 . ISSN 0075-8434 .
- ^ Мэй, JP (1972). Геометрия итерированных пространств циклов . Конспект лекций по математике. Том. 271. CiteSeerX 10.1.1.146.3172 . дои : 10.1007/bfb0067491 . ISBN 978-3-540-05904-2 . ISSN 0075-8434 .
- ^ «Операды в алгебре, топологии и физике»: Мартин Маркл, Стив Шнайдер, Джим Сташефф, Математические обзоры и монографии, Том: 96; 2002 г.
- ^ Мэй, Дж. Питер . «Операды, алгебры и модули» (PDF) . math.uchicago.edu . п. 2 . Проверено 28 сентября 2018 г.
- ^ Гинзбург, Виктор ; Капранов, Михаил (1994). «Двойственность Кошуля для операд» . Математический журнал Дьюка . 76 (1): 203–272. дои : 10.1215/S0012-7094-94-07608-4 . ISSN 0012-7094 . МР 1301191 . S2CID 115166937 . Zbl 0855.18006 – через проект Евклид .
- ^ Лоде, Жан-Луи (1996). «Возрождение оперы» . www.numdam.org . Семинар Николя Бурбаки . МР 1423619 . Збл 0866.18007 . Проверено 27 сентября 2018 г.
- ^ Перейти обратно: а б Концевич, Максим; Сойбельман, Ян (26 января 2000 г.). «Деформации алгебр над операдами и гипотеза Делиня». arXiv : math/0001151 .
- ^ Джонс, JDS; Гетцлер, Эзра (8 марта 1994 г.). «Операды, гомотопическая алгебра и повторные интегралы для пространств двойных петель». arXiv : hep-th/9403055 .
- ^ Н. Дуров, Новый подход к геометрии Аракелова, Боннский университет, докторская диссертация, 2007; arXiv:0704.2030 .
- ^ Маркл, Мартин (2006). «Операды и реквизит». Справочник по алгебре . 5 (1): 87–140. arXiv : math/0601129 . дои : 10.1016/S1570-7954(07)05002-4 . ISBN 9780444531018 . S2CID 3239126 . Пример 2
- ^ Джованни Джачетта, Луиджи Манджаротти, Геннадий Сарданашвили (2005) Геометрические и алгебраические топологические методы в квантовой механике, ISBN 981-256-129-3 , стр. 474 475.
- ^ Гринлис, JPC (2002). Аксиоматическая, обогащенная и мотививная теория гомотопии . Труды Института перспективных исследований НАТО по аксиоматической, обогащенной и мотивационной теории гомотопии. Кембридж, Великобритания : Springer Science & Business Media. стр. 154–156. ISBN 978-1-4020-1834-3 .
- ^ Мэй, JP (1977). «Теория бесконечного пространства петель» . Бык. амер. Математика. Соц . 83 (4): 456–494. дои : 10.1090/s0002-9904-1977-14318-8 .
- ^ Сташефф, Джим (1998). «Прививка вишневых деревьев Бордмана к квантовой теории поля». arXiv : математика/9803156 .
- ^ Воронов, Александр А. (1999). Швейцарская сырная операда . Современная математика. Балтимор, Мэриленд, США : AMS. стр. 365–373. ISBN 978-0-8218-7829-3 .
- ^ Концевич, Максим (1999). «Операды и мотивы в квантовании деформации» . Летт. Математика. Физ . 48 : 35–72. arXiv : математика/9904055 . Бибкод : 1999math......4055K . дои : 10.1023/А:1007555725247 . S2CID 16838440 .
- ^ Ху, По; Криж, Игорь; Воронов, Александр А. (2006). «О гипотезе когомологий Хохшильда Концевича» . Математическая композиция . 142 (1): 143–168. arXiv : math/0309369 . дои : 10.1112/S0010437X05001521 .
- ^ Томас, Джастин (2016). «Гипотеза Концевича о швейцарском сыре» . Геом. Тополь . 20 (1): 1–48. arXiv : 1011.1635 . дои : 10.2140/gt.2016.20.1 . S2CID 119320246 .
- ^ Маркл, Мартин (2006). «Операды и реквизит». Справочник по алгебре . 5 : 87–140. дои : 10.1016/S1570-7954(07)05002-4 . ISBN 9780444531018 . S2CID 3239126 . Определение 37
Ссылки
[ редактировать ]- Том Ленстер (2004). Высшие операды, высшие категории . Издательство Кембриджского университета. arXiv : math/0305049 . Бибкод : 2004hohc.book.....L . ISBN 978-0-521-53215-0 .
- Мартин Маркл, Стив Шнайдер , Джим Сташефф (2002). Операды в алгебре, топологии и физике . Американское математическое общество. ISBN 978-0-8218-4362-8 .
{{cite book}}
: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка ) - Маркл, Мартин (июнь 2006 г.). «Операды и реквизит». arXiv : math/0601129 .
- Сташефф, Джим (июнь – июль 2004 г.). «Что такое... операда?» (PDF) . Уведомления Американского математического общества . 51 (6): 630–631 . Проверено 17 января 2008 г.
- Лоде, Жан Луи ; Валлетт, Бруно (2012), Алгебраические операды (PDF) , Основы математических наук, том. 346, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-3-642-30361-6
- Зинбиэль, Гийом В. (2012), «Энциклопедия типов алгебр 2010», в Бай, Ченгмин; Го, Ли; Лоде, Жан-Луи (ред.), Операды и универсальная алгебра , Серия Нанкай в чистом виде, Прикладная математика и теоретическая физика, том. 9, стр. 217–298, arXiv : 1101.0267 , Bibcode : 2011arXiv1101.0267Z , ISBN 9789814365116
- Фрессе, Бенуа (17 мая 2017 г.), Гомотопия операд и групп Гротендика-Тейхмюллера , Математические обзоры и монографии, Американское математическое общество , ISBN 978-1-4704-3480-9 , МР 3643404 , Збл 1373.55014
- Мигель А. Мендес (2015). Установить операды в комбинаторике и информатике . SpringerBriefs по математике. ISBN 978-3-319-11712-6 .
- Самуэле Жиродо (2018). Несимметричные операды в комбинаторике . Международное издательство Спрингер. ISBN 978-3-030-02073-6 .