Рациональная теория гомотопий
В математике и, в частности, в топологии , рациональная теория гомотопии — это упрощенная версия теории гомотопии для топологических пространств , в которой все кручения в гомотопических группах игнорируются. [1] Ее основали Деннис Салливан ( 1977 г. ) и Дэниел Куиллен ( 1969 г. ). [1] Такое упрощение гомотопической теории значительно упрощает некоторые вычисления.
Рациональные гомотопические типы односвязных пространств можно отождествить с (классами изоморфизма) некоторых алгебраических объектов, называемых минимальными моделями Салливана, которые представляют собой коммутативные дифференциально-градуированные алгебры над рациональными числами, удовлетворяющими определенным условиям.
Геометрическим приложением была теорема Салливана и Мишлин Виге-Пуарье (1976): каждое односвязное замкнутое риманово многообразие X, кольцо рациональных когомологий которого не порождается одним элементом, имеет бесконечное множество геометрически различных замкнутых геодезических . [2] В доказательстве использовалась теория рациональной гомотопии, чтобы показать, что Бетти пространства свободных петель X числа неограничены. Тогда теорема следует из результата Детлефа Громоля и Вольфганга Мейера, полученного в 1969 году.
Рациональные пространства [ править ]
Непрерывная карта односвязных , топологических пространств называется рациональной гомотопической эквивалентностью если она индуцирует изоморфизм на гомотопических группах, тензорированных с рациональными числами . [1] Эквивалентно: f является рациональной гомотопической эквивалентностью тогда и только тогда, когда она индуцирует изоморфизм на гомологии с рациональными коэффициентами. сингулярных группах [3] Рациональная гомотопическая категория (односвязных пространств) определяется как локализация категории односвязных пространств относительно рациональной гомотопической эквивалентности. Цель теории рациональной гомотопии — понять эту категорию (т. е. определить информацию, которую можно восстановить из рациональной гомотопической эквивалентности).
Один из основных результатов состоит в том, что рациональная гомотопическая категория эквивалентна полной подкатегории гомотопической категории топологических пространств, подкатегории рациональных пространств. По определению, рациональное пространство — это односвязный комплекс CW , все гомотопические группы которого являются векторными пространствами над рациональными числами. Для любого односвязного комплекса CW , существует рациональное пространство , единственный с точностью до гомотопической эквивалентности , с отображением который индуцирует изоморфизм гомотопических групп, тензорированных с рациональными числами. [4] Пространство называется рационализацией . Это частный случай конструкции Салливана локализации пространства на заданном наборе простых чисел .
Эквивалентные определения можно получить, используя гомологии, а не гомотопические группы. А именно, односвязный комплекс CW является рациональным пространством тогда и только тогда, когда его группы гомологий являются рациональными векторными пространствами для всех . [5] Рационализация односвязного комплекса CW это уникальное рациональное пространство (с точностью до гомотопической эквивалентности) с отображением который индуцирует изоморфизм рациональных гомологий. Таким образом, у человека есть
и
для всех .
Эти результаты для односвязных пространств с небольшими изменениями распространяются на нильпотентные пространства (пространства, фундаментальная группа и которых нильпотентна нильпотентно действует на высших гомотопических группах).
Вычисление гомотопических групп сфер — центральная открытая проблема теории гомотопий. Однако рациональные гомотопические группы сфер были вычислены Жаном-Пьером Серром в 1951 году:
и
Это предполагает возможность описания всей категории рациональных гомотопий практически вычислимым способом. Рациональная теория гомотопий во многом достигла этой цели.
В теории гомотопий сферы и пространства Эйленберга – Маклейна представляют собой два совершенно разных типа базовых пространств, из которых могут быть построены все пространства. В рациональной теории гомотопий эти два типа пространств становятся гораздо ближе. В частности, расчет Серра предполагает, что это пространство Эйленберга – Маклейна . В более общем смысле, пусть X — любое пространство, кольцо рациональных когомологий которого представляет собой свободную градуированно-коммутативную алгебру ( тензорное произведение кольца многочленов на генераторах четной степени и внешней алгебры на генераторах нечетной степени). Тогда рационализация является произведением пространств Эйленберга–Маклейна. Гипотеза о кольце когомологий применима к любой компактной группе Ли (или, в более общем смысле, к любому пространству петель ). [6] Например, для унитарной группы ( n ) SU
Кольцо когомологий и алгебра гомотопическая Ли
Есть два основных инварианта пространства X в категории рациональных гомотопий: рациональных когомологий кольцо и гомотопическая алгебра Ли . Рациональные когомологии — это градуированная коммутативная алгебра над , а гомотопические группы образуют градуированную алгебру Ли посредством произведения Уайтхеда . (точнее, написав для пространства петель X мы имеем это является градуированной алгеброй Ли над . Ввиду изоморфизма , это просто означает сдвиг градуировки на 1.) Например, приведенная выше теорема Серра гласит, что — свободная градуированная алгебра Ли от одной образующей степени .
Другой способ думать о гомотопической алгебре Ли состоит в том, что гомологии пространства петель X являются универсальной обертывающей алгеброй гомотопической алгебры Ли: [7]
И наоборот, можно восстановить рациональную гомотопическую алгебру Ли из гомологий пространства петель как подпространства примитивных элементов в алгебре Хопфа. . [8]
Центральный результат теории состоит в том, что рациональную гомотопическую категорию можно описать чисто алгебраическим способом; фактически, двумя разными алгебраическими способами. Во-первых, Квиллен показал, что рациональная гомотопическая категория эквивалентна гомотопической категории связных дифференциально-градуированных алгебр Ли . (Соответствующая градуированная алгебра Ли является гомотопической алгеброй Ли.) Во-вторых, Квиллен показал, что рациональная гомотопическая категория эквивалентна гомотопической категории 1-связных дифференциальных градуированных кокоммутативных коалгебр . [9] (Ассоциированная коалгебра — это рациональные гомологии X как коалгебры; двойственное векторное пространство — это кольцо рациональных когомологий.) Эти эквивалентности были одними из первых применений теории модельных категорий Квиллена .
В частности, из второго описания следует, что для любого градуированно-коммутативного -алгебра А вида
с каждым векторным пространством конечной размерности, существует односвязное пространство X , кольцо рациональных когомологий которого изоморфно A . (Напротив, существует множество ограничений, не до конца понятных, на целые или по модулю p кольца когомологий топологических пространств для простых чисел p .) В том же духе Салливан показал, что любые градуированные коммутативные -алгебра с которое удовлетворяет двойственности Пуанкаре, является кольцом когомологий некоторого односвязного гладкого замкнутого многообразия, за исключением размерности 4 a ; в этом случае нужно также предположить, что пара пересечений на имеет форму над . [10]
Может возникнуть вопрос, как перейти между двумя алгебраическими описаниями рациональной гомотопической категории. Короче говоря, алгебра Ли определяет градуированную коммутативную алгебру с помощью когомологий алгебры Ли , а расширенная коммутативная алгебра определяет градуированную алгебру Ли с помощью приведенных когомологий Андре – Квиллена . В более общем смысле существуют версии этих конструкций для дифференциально-градуированных алгебр. Эта двойственность между коммутативными алгебрами и алгебрами Ли является разновидностью двойственности Кошуля .
Алгебры Салливана [ править ]
Для пространств, рациональные гомологии которых в каждой степени имеют конечную размерность, Салливан классифицировал все типы рациональных гомотопий в терминах более простых алгебраических объектов - алгебр Салливана. По определению алгебра Салливана — это коммутативная дифференциальная градуированная алгебра над рациональными числами. , базовой алгеброй которой является свободная коммутативная градуированная алгебра в градуированном векторном пространстве
удовлетворяющее следующему «условию нильпотентности» на своем дифференциале d : пространство V представляет собой объединение возрастающей серии градуированных подпространств, , где на и содержится в . В контексте дифференциально-градуированных алгебр A слово «коммутативный» означает градуированно-коммутативный; то есть,
для входа и б в .
Алгебра Салливана называется минимальной, если образ d содержится в , где является прямой суммой подпространств положительной степени .
Модель Салливана для коммутативной дифференциальной градуированной алгебры A является алгеброй Салливана. с гомоморфизмом что индуцирует изоморфизм когомологий. Если , то A имеет минимальную модель Салливана, единственную с точностью до изоморфизма. (Предупреждение: минимальная алгебра Салливана с той же алгеброй когомологий, что и A, не обязательно должна быть минимальной моделью Салливана для A : также необходимо, чтобы изоморфизм когомологий был индуцирован гомоморфизмом дифференциальных градуированных алгебр. Существуют примеры неизоморфных минимальные модели Салливана с изоморфными алгебрами когомологий.)
пространства Салливана топологического Минимальная модель
Для любого топологического пространства X Салливан определил коммутативную дифференциальную градуированную алгебру , называемая алгеброй полиномиальных дифференциальных форм на X с рациональными коэффициентами. Элемент этой алгебры состоит из (примерно) полиномиальной формы на каждом сингулярном симплексе X , совместимой с картами граней и вырождения. Эта алгебра обычно очень велика (несчетная размерность), но ее можно заменить алгеброй гораздо меньшего размера. Точнее, любая дифференциально-градуированная алгебра с той же минимальной моделью Салливана, что и называется моделью пространства X . Когда X односвязен, такая модель определяет рациональный гомотопический тип X .
Для любого односвязного комплекса CW X со всеми рациональными группами гомологий конечной размерности существует минимальная модель Салливана. для , который обладает тем свойством, что и все имеют конечную размерность. называется минимальной моделью Салливана X ; Это оно уникально с точностью до изоморфизма. [11] Это дает эквивалентность между рациональными гомотопическими типами таких пространств и таких алгебр со свойствами:
- Рациональные когомологии пространства — это когомологии его минимальной модели Салливана.
- Пространства неразложимых в V являются двойственными рациональным гомотопическим группам пространства X .
- Произведение Уайтхеда на рациональной гомотопии является двойственным к «квадратичной части» дифференциала d .
- Два пространства имеют один и тот же рациональный гомотопический тип тогда и только тогда, когда их минимальные алгебры Салливана изоморфны.
- односвязное пространство X с Каждой возможной алгебре Салливана соответствует и все конечной размерности.
Когда X — гладкое многообразие, дифференциальная алгебра гладких дифференциальных форм на X ( комплекс де Рама ) является почти моделью для X ; точнее, это тензорное произведение модели X с вещественными числами и, следовательно, определяет тип вещественной гомотопии . Можно пойти дальше и определить p -пополненный гомотопический тип для X простого числа p . «Арифметический квадрат» Салливана сводит многие проблемы теории гомотопий к комбинации рациональной и p -полной теории гомотопий для всех простых чисел p . [12]
Построение минимальных моделей Салливана для односвязных пространств распространяется и на нильпотентные пространства. Для более общих фундаментальных групп все становится сложнее; например, рациональные гомотопические группы конечного комплекса CW (такие как клин ) могут быть бесконечномерными векторными пространствами.
Формальные пространства [ править ]
Коммутативная дифференциальная градуированная алгебра A , опять же с , называется формальным , если A имеет модель с исчезающим дифференциалом. Это эквивалентно требованию, чтобы алгебра когомологий A (рассматриваемая как дифференциальная алгебра с тривиальным дифференциалом) была моделью A (хотя она не обязательно должна быть минимальной моделью). Таким образом, рациональный гомотопический тип формального пространства полностью определяется его кольцом когомологий.
Примеры формальных пространств включают сферы, H-пространства , симметрические пространства и компактные кэлеровы многообразия . [13] Формальность сохраняется по продуктам и суммам клина . Для многообразий формальность сохраняется благодаря связным суммам .
С другой стороны, замкнутые нильмногообразия почти никогда не являются формальными: если M формальное нильмногообразие, то M должно быть тором некоторой размерности. [14] Простейшим примером неформального нильмногообразия является многообразие Гейзенберга , фактор группы Гейзенберга вещественных верхних треугольных матриц размера 3 × 3 с единицами на диагонали по ее подгруппе матриц с целыми коэффициентами. Замкнутые симплектические многообразия не обязательно должны быть формальными: простейшим примером является многообразие Кодаиры – Терстона (произведение многообразия Гейзенберга с окружностью). Существуют также примеры неформальных односвязных симплектических замкнутых многообразий. [15]
Неформальность часто можно обнаружить с помощью продуктов Massey . Действительно, если дифференциально-градуированная алгебра A является формальной, то все произведения Мэсси (более высокого порядка) должны обращаться в нуль. Обратное неверно: формальность означает, грубо говоря, «единообразное» исчезновение всех продуктов Massey. Дополнение к кольцам Борромео является неформальным пространством: оно поддерживает нетривиальное тройное произведение Масси.
Примеры [ править ]
- Если X — сфера нечетной размерности , ее минимальная модель Салливана имеет один генератор a степени с , и базис элементов 1, a .
- Если X — сфера четной размерности , ее минимальная модель Салливана имеет два генератора a и b степеней и , с , , и базис элементов , , , где стрелка указывает действие d .
- Если X — комплексное проективное пространство с , ее минимальная модель Салливана имеет два генератора u и x степени 2 и , с и . Имеет основу из элементов , , .
- Предположим, что V имеет 4 элемента a , b , x , y степеней 2, 3, 3 и 4 с дифференциалами , , , . Тогда эта алгебра является минимальной алгеброй Салливана, которая не является формальной. Алгебра когомологий имеет нетривиальные компоненты только в размерности 2, 3, 6, порожденные соответственно a , b и . Любой гомоморфизм V в его алгебру когомологий отобразит y в 0, а x в кратное b ; так что это будет отображаться до 0. Таким образом, V не может быть моделью своей алгебры когомологий. Соответствующие топологические пространства представляют собой два пространства с изоморфными кольцами рациональных когомологий, но разными типами рациональных гомотопий. Обратите внимание, что находится в продукте Massey .
Эллиптические и гиперболические пространства [ править ]
Теория рациональной гомотопии выявила неожиданную дихотомию среди конечных комплексов CW: либо рациональные гомотопические группы равны нулю в достаточно высоких степенях, либо они растут экспоненциально . А именно, пусть X — односвязное пространство такое, что является конечномерным -векторное пространство (например, этим свойством обладает конечный комплекс CW). Определим X как рационально эллиптический, если также является конечномерным -векторное пространство, а в остальном - рационально гиперболическое . Затем Феликс и Гальперин показали: если X рационально гиперболично, то существует действительное число и целое число N такое, что
для всех . [16]
Например, сферы, комплексные проективные пространства и однородные пространства для компактных групп Ли являются эллиптическими. С другой стороны, «большинство» конечных комплексов гиперболичны. Например:
- Кольцо рациональных когомологий эллиптического пространства удовлетворяет двойственности Пуанкаре. [17]
- Если X — эллиптическое пространство, верхняя ненулевая группа рациональных когомологий которого имеет степень n , то каждое число Бетти не более чем биномиальный коэффициент (с равенством для n -мерного тора). [18]
- Эйлерова характеристика эллиптического пространства X неотрицательна. Если характеристика Эйлера положительна, то все нечетные числа Бетти равны нулю, а кольцо рациональных когомологий X является полным кольцом пересечений . [19]
Существует много других ограничений на кольцо рациональных когомологий эллиптического пространства. [20]
предсказывает Гипотеза Ботта , что каждое односвязное замкнутое риманово многообразие с неотрицательной секционной кривизной должно быть рационально эллиптическим. Об этой гипотезе известно очень мало, хотя она справедлива для всех известных примеров таких многообразий. [21]
Гипотеза Гальперина утверждает, что рациональная спектральная последовательность Серра расслоенной последовательности односвязных пространств с рационально эллиптическим слоем ненулевой эйлеровой характеристики исчезает на второй странице.
Односвязный конечный комплекс X рационально эллиптичен тогда и только тогда, когда рациональные гомологии пространства петель растет не более чем полиномиально. В более общем смысле X называется целоэллиптическим , если модулю p гомологии по растет не более чем полиномиально для каждого простого числа p . Все известные римановы многообразия неотрицательной секционной кривизны на самом деле целоэллиптические. [22]
См. также [ править ]
- Теорема Манделла - аналог теории рациональных гомотопий в p-адических условиях.
- Теория хроматической гомотопии
Примечания [ править ]
- ^ Jump up to: Перейти обратно: а б с Гесс 1999 , с. 757.
- ^ Феликс, Опрея и Танре (2008), Теорема 5.13.
- ^ Феликс, Гальперин и Томас (2001), Теорема 8.6.
- ^ Феликс, Гальперин и Томас (2001), Теорема 9.7.
- ^ Феликс, Гальперин и Томас (2001), Теорема 9.3.
- ^ Феликс, Гальперин и Томас (2001), следствие предложения 16.7.
- ^ Феликс, Гальперин и Томас (2001), Теорема 21.5 (i).
- ^ Феликс, Гальперин и Томас (2001), теорема 21.5(iii).
- ^ Квиллен (1969), Следствие II.6.2.
- ^ Салливан (1977), Теорема 13.2.
- ^ Феликс, Гальперин и Томас (2001), Предложение 12.10.
- ^ Мэй и Понто (2012), раздел 13.1.
- ^ Феликс, Опрея и Танре (2008), Теорема 4.43.
- ^ Феликс, Опрея и Танре (2008), Примечание 3.21.
- ^ Феликс, Опрея и Танре (2008), Теорема 8.29.
- ^ Феликс, Гальперин и Томас (2001), Теорема 33.2.
- ^ Феликс, Гальперин и Томас (2001), Предложение 38.3.
- ^ Павлов (2002), Теорема 1.
- ^ Феликс, Гальперин и Томас (2001), Предложение 32.10.
- ^ Феликс, Гальперин и Томас (2001), раздел 32.
- ^ Феликс, Опрея и Танре (2008), Гипотеза 6.43.
- ^ Феликс, Гальперин и Томас (1993), раздел 3.
Ссылки [ править ]
- Феликс, Ив; Гальперин, Стивен; Томас, Жан-Клод (1993), «Эллиптические пространства II», Математическое образование , 39 (1–2): 25–32, doi : 10.5169/seals-60412 , MR 1225255
- Феликс, Ив; Гальперин, Стивен; Томас, Жан-Клод (2001), Теория рациональной гомотопии , Нью-Йорк: Springer Nature , doi : 10.1007/978-1-4613-0105-9 , ISBN 0-387-95068-0 , МР 1802847
- Феликс, Ив; Гальперин, Стивен; Томас, Жан-Клод (2015), Рациональная гомотопическая теория II , Сингапур: World Scientific , doi : 10.1142/9473 , ISBN 978-981-4651-42-4 , МР 3379890
- Феликс, Ив; Опрея, Джон; Танре, Дэниел (2008), Алгебраические модели в геометрии , Оксфорд: Oxford University Press , ISBN 978-0-19-920651-3 , МР 2403898
- Гриффитс, Филипп А .; Морган, Джон В. (1981), Рациональная теория гомотопии и дифференциальные формы , Бостон: Биркхойзер, ISBN 3-7643-3041-4 , МР 0641551
- Гесс, Кэтрин (1999), «История теории рациональной гомотопии», Джеймс, Иоан М. (редактор), «История топологии» , Амстердам: Северная Голландия, стр. 757–796, номер документа : 10.1016/B978-044482375. -5/50028-6 , ISBN 0-444-82375-1 , МР 1721122
- Гесс, Кэтрин (2007), «Рациональная теория гомотопии: краткое введение» (PDF) , Взаимодействие между теорией гомотопии и алгеброй , Современная математика, том. 436, Американское математическое общество , стр. 175–202, arXiv : math/0604626 , doi : 10.1090/conm/436/08409 , ISBN 9780821838143 , МР 2355774
- Мэй, Дж. Питер ; Понто, Кэтлин (2012), Более краткая алгебраическая топология. Локализация, завершение и категории моделей (PDF) , University of Chicago Press , ISBN 978-0-226-51178-8 , МР 2884233
- Павлов, Александр В. (2002), «Оценки чисел Бетти рационально эллиптических пространств», Сибирский математический журнал , 43 (6): 1080–1085, doi : 10.1023/A:1021173418920 , MR 1946233
- Куиллен, Дэниел (1969), «Рациональная теория гомотопий», Annals of Mathematics , 90 (2): 205–295, doi : 10.2307/1970725 , JSTOR 1970725 , MR 0258031
- Салливан, Деннис (1977), «Бесконечно-малые вычисления в топологии» , Publications Mathématiques de l'IHÉS , 47 : 269–331, doi : 10.1007/bf02684341 , hdl : 10338.dmlcz/128041 , MR 0646078
- Салливан, Деннис (2001) [1994], «Рациональная теория гомотопий» , Энциклопедия математики , EMS Press
- Салливан, Деннис; Виге-Пуарье, Мишлин (1976), «Теория гомологии замкнутой геодезической задачи», Journal of Differential Geometry , 11 (4): 633–644, doi : 10.4310/jdg/1214433729 , MR 0455028