Дифференциальная градуированная алгебра Ли

В математике , в частности в абстрактной алгебре и топологии , дифференциально-градуированная алгебра Ли (или dg алгебра Ли , или dgla ) — это градуированное векторное пространство с добавленной алгеброй Ли и цепными комплексными структурами, которые совместимы. Такие объекты имеют применение в теории деформаций. ^[1] и рациональная теория гомотопий .

Определение

Дифференциальная градуированная алгебра Ли — это градуированное векторное пространство. $L=\bigoplus L_{i}$ над полем вместе нулевой характеристики с билинейным отображением $[\cdot ,\cdot ]\colon L_{i}\otimes L_{j}\to L_{i+j}$ и дифференциал $d:L_{i}\to L_{i-1}$ удовлетворяющий

[x,y]=(-1)^{|x||y|+1}[y,x],

градуированное тождество Якоби :

(-1)^{|x||z|}[x,[y,z]]+(-1)^{|y||x|}[y,[z,x]]+(-1)^{|z||y|}[z,[x,y]]=0,

и градуированное правило Лейбница :

d[x,y]=[dx,y]+(-1)^{|x|}[x,dy]

для любых однородных x , y и z в L. элементов Обратите внимание, что дифференциал понижает степень, и поэтому эта дифференциально-градуированная алгебра Ли считается гомологически градуированной. Если вместо дифференциальной повышенной степени дифференциально-градуированная алгебра Ли называется когомологически градуированной (обычно, чтобы подчеркнуть этот момент, градуировка записывается в верхнем индексе: $L^{i}$ ). Выбор когомологической градуировки обычно зависит от личных предпочтений или ситуации, поскольку они эквивалентны: гомологически градуированное пространство можно превратить в когомологическое, установив $L^{i}=L_{-i}$ .

Альтернативные эквивалентные определения дифференциальной градуированной алгебры Ли включают:

объект алгебры Ли, внутренний по отношению к категории цепных комплексов ;
строгий $L_{\infty }$ -алгебра.

Морфизм градуированное дифференциально-градуированных алгебр Ли — это линейное отображение $f:L\to L^{\prime }$ которое коммутирует со скобкой и дифференциалом, т. е. $f[x,y]_{L}=[f(x),f(y)]_{L^{\prime }}$ и $f(d_{L}x)=d_{L^{\prime }}f(x)$ . Дифференциально градуированные алгебры Ли и их морфизмы определяют категорию .

Продукты и сопутствующие продукты

Произведение , двух дифференциально-градуированных алгебр Ли $L\times L^{\prime }$ , определяется следующим образом: возьмите прямую сумму двух градуированных векторных пространств $L\oplus L^{\prime }$ и оснастите его кронштейном $[(x,x^{\prime }),(y,y^{\prime })]=([x,y],[x^{\prime },y^{\prime }])$ и дифференциал $D(x,x^{\prime })=(dx,d^{\prime }x^{\prime })$ .

Копроизведение двух дифференциально-градуированных алгебр Ли: $L*L^{\prime }$ , часто называют бесплатным продуктом. Она определяется как свободная градуированная алгебра Ли на двух базовых векторных пространствах с уникальным дифференциалом, расширяющим два исходных по модулю отношений, присутствующих в любой из двух исходных алгебр Ли.

Связь с теорией деформации

Основное применение — к теории деформации над полями нулевой характеристики (в частности, над комплексными числами ). Идея восходит к Дэниела Квиллена работам по теории рациональной гомотопии . Один из способов сформулировать этот тезис (принадлежащий Владимиру Дринфельду , Борису Фейгину , Пьеру Делиню , Максиму Концевичу и другим) может быть таким: ^[1]

Любая разумная формальная задача деформации в нулевой характеристике может быть описана элементами Маурера–Картана соответствующей дифференциально-градуированной алгебры Ли.

Элемент Маурера-Картана представляет собой элемент степени −1, $x\in L_{-1}$ , что является решением уравнения Маурера–Картана :