Гомотопическая алгебра Ли

В математике , в частности в абстрактной алгебре и топологии , гомотопическая алгебра Ли (или $L_{\infty }$ -алгебра ) — обобщение понятия дифференциально-градуированной алгебры Ли . Если быть более конкретным, тождество Якоби справедливо только в гомотопическом смысле. Следовательно, дифференциально-градуированную алгебру Ли можно рассматривать как гомотопическую алгебру Ли, в которой на носу выполняется тождество Якоби. Эти гомотопические алгебры полезны при классификации задач деформации над характеристикой 0 в теории деформации, поскольку функторы деформации классифицируются классами квазиизоморфизма $L_{\infty }$ -алгебры. ^[1] Позже Джонатан Придэм распространил это на все характеристики. ^[2]

Гомотопические алгебры Ли имеют приложения в математике и математической физике ; они связаны, например, с формализмом Баталина–Вилковиского так же, как и дифференциально-градуированные алгебры Ли.

Определение [ править ]

Существует несколько различных определений гомотопической алгебры Ли, некоторые из которых больше подходят для определенных ситуаций, чем другие. Наиболее традиционное определение — через симметричные многолинейные карты, но существует также более краткое геометрическое определение, использующее язык формальной геометрии . Здесь делается общее предположение, что основное поле имеет нулевую характеристику.

Геометрическое определение [ править ]

Гомотопическая алгебра Ли в градуированном векторном пространстве $V=\bigoplus V_{i}$ представляет собой непрерывный вывод, $m$ , порядка $>1$ которое обращается в ноль на формальном многообразии ${\hat {S}}\Sigma V^{*}$ . Здесь ${\hat {S}}$ — полная симметрическая алгебра, $\Sigma$ является подвеской градуированного векторного пространства, а $V^{*}$ обозначает линейный двойственный. Обычно описывается $(V,m)$ как гомотопическая алгебра Ли и ${\hat {S}}\Sigma V^{*}$ с дифференциалом $m$ как представление коммутативной дифференциальной градуированной алгебры.

Используя это определение гомотопической алгебры Ли, можно определить морфизм гомотопических алгебр Ли: $f\colon (V,m_{V})\to (W,m_{W})$ , как морфизм $f\colon {\hat {S}}\Sigma V^{*}\to {\hat {S}}\Sigma W^{*}$ их представления коммутативных дифференциальных градуированных алгебр, коммутирующих с векторным полем, т. е. $f\circ m_{V}=m_{W}\circ f$ . Гомотопические алгебры Ли и их морфизмы определяют категорию .

Определение с помощью многолинейных карт [ править ]

Более традиционное определение гомотопической алгебры Ли — это бесконечный набор симметричных полилинейных отображений, который иногда называют определением через высшие скобки. Следует отметить, что эти два определения эквивалентны.

Гомотопическая алгебра Ли ^[3] в градуированном векторном пространстве $V=\bigoplus V_{i}$ представляет собой набор симметричных многолинейных карт $l_{n}\colon V^{\otimes n}\to V$ степени $n-2$ , иногда называемый $n$ -арная скобка, для каждого $n\in \mathbb {N}$ . Более того, карты $l_{n}$ удовлетворяют обобщенному тождеству Якоби:

\sum _{i+j=n+1}\sum _{\sigma \in \mathrm {UnShuff} (i,n-i)}\chi (\sigma ,v_{1},\dots ,v_{n})(-1)^{i(j-1)}l_{j}(l_{i}(v_{\sigma (1)},\dots ,v_{\sigma (i)}),v_{\sigma (i+1)},\dots ,v_{\sigma (n)})=0,

для каждого н. Здесь внутренняя сумма превышает $(i,j)$ - перетасовывает и $\chi$ является подписью перестановки. Приведенная выше формула имеет содержательную интерпретацию для низких значений $n$ ; например, когда $n=1$ это говорит о том, что $l_{1}$ квадратов к нулю (т.е. это дифференциал на $V$ ), когда $n=2$ это говорит о том, что $l_{1}$ является производным от $l_{2}$ , и когда $n=3$ это говорит о том, что $l_{2}$ удовлетворяет тождеству Якоби до точного срока $l_{3}$ (т. е. оно справедливо с точки зрения гомотопии). Обратите внимание, что когда верхние скобки $l_{n}$ для $n\geq 3$ исчезнуть, определение дифференциальной градуированной алгебры Ли на $V$ восстанавливается.

Используя подход с помощью полилинейных отображений, морфизм гомотопических алгебр Ли можно определить с помощью набора симметричных полилинейных отображений. $f_{n}\colon V^{\otimes n}\to W$ которые удовлетворяют определенным условиям.

Определение через операды [ править ]

Существует также более абстрактное определение гомотопической алгебры, использующее теорию операд : то есть гомотопическая алгебра Ли — это алгебра над операдой в категории цепных комплексов над $L_{\infty }$ операда.

(Квази)изоморфизмы и минимальные модели [ править ]

Морфизм гомотопических алгебр Ли называется (квази)изоморфизмом, если его линейная компонента $f\colon V\to W$ является (квази)изоморфизмом, где дифференциалы $V$ и $W$ являются просто линейными компонентами $m_{V}$ и $m_{W}$ .

Важным специальным классом гомотопических алгебр Ли являются так называемые минимальные гомотопические алгебры Ли, для которых характерно обращение в нуль их линейной компоненты. $l_{1}$ . Это означает, что любой квазиизоморфизм минимальных гомотопических алгебр Ли должен быть изоморфизмом. Любая гомотопическая алгебра Ли квазиизоморфна минимальной, которая должна быть единственной с точностью до изоморфизма, и поэтому ее называют ее минимальной моделью .

Примеры [ править ]

Потому что $L_{\infty }$ -алгебры имеют столь сложную структуру, что описание даже простых случаев в большинстве случаев может оказаться нетривиальной задачей. К счастью, существуют простые случаи, возникающие из дифференциально-градуированных алгебр Ли, и случаи, возникающие из конечномерных примеров.

алгебры Ли градуированные Дифференциально

Один из доступных классов примеров $L_{\infty }$ -алгебры возникают в результате вложения дифференциально-градуированных алгебр Ли в категорию $L_{\infty }$ -алгебры. Это можно описать $l_{1}$ давая вывод, $l_{2}$ структура алгебры Ли и $l_{k}=0$ для остальных карт.

Двухчленные L _∞ алгебры [ править ]

В градусах 0 и 1 [ править ]

Одним из примечательных классов примеров являются $L_{\infty }$ -алгебры, которые имеют только два ненулевых векторных пространства $V_{0},V_{1}$ . Затем, выработав определение для $L_{\infty }$ -алгебры это означает, что существует линейное отображение

d\colon V_{1}\to V_{0}

,

билинейные карты

l_{2}\colon V_{i}\times V_{j}\to V_{i+j}

, где

0\leq i+j\leq 1

,

и трехлинейная карта

l_{3}\colon V_{0}\times V_{0}\times V_{0}\to V_{1}

которые удовлетворяют множеству идентичностей. ^[4] ^{стр. 28} В частности, карта $l_{2}$ на $V_{0}\times V_{0}\to V_{0}$ подразумевает, что он имеет структуру алгебры Ли с точностью до гомотопии. Это определяется дифференциалом $l_{3}$ поскольку дает $L_{\infty }$ -структура алгебры подразумевает

dl_{3}(a,b,c)=-[[a,b],c]+[[a,c],b]+[a,[b,c]]

,

показывая, что это более высокая скобка Ли. Фактически, некоторые авторы пишут карты $l_{n}$ как $[-,\cdots ,-]_{n}:V_{\bullet }\to V_{\bullet }$ , поэтому предыдущее уравнение можно прочитать как

d[a,b,c]_{3}=-[[a,b],c]+[[a,c],b]+[a,[b,c]]

,

показывая, что дифференциал 3-скобки не позволяет 2-скобке быть структурой алгебры Ли. Это всего лишь алгебра Ли с точностью до гомотопии. Если бы мы взяли комплекс $H_{*}(V_{\bullet },d)$ затем $H_{0}(V_{\bullet },d)$ имеет структуру алгебры Ли по индуцированному отображению $[-,-]_{2}$ .

В градусах 0 и n [ править ]

В этом случае для $n\geq 2$ , дифференциала нет, поэтому $V_{0}$ является алгеброй Ли на носу, но есть дополнительные данные векторного пространства $V_{n}$ в степени $n$ и более высокий кронштейн

l_{n+2}\colon \bigoplus ^{n+2}V_{0}\to V_{n}.

Оказывается, эта высшая скобка на самом деле является высшим коцилем в когомологиях алгебры Ли . Точнее, если мы перепишем $V_{0}$ как алгебра Ли ${\mathfrak {g}}$ и $V_{n}$ и представление алгебры Ли $V$ (задается структурной картой $\rho$ ), то существует биекция четверок

({\mathfrak {g}},V,\rho ,l_{n+2})

где

l_{n+2}\colon {\mathfrak {g}}^{\otimes n+2}\to V

является

(n+2)

-коцикл

и двухсрочный $L_{\infty }$ -алгебры с ненулевыми векторными пространствами в градусах $0$ и $n$ . ^[4]^{стр. 42}Заметим, что эта ситуация во многом аналогична связи между групповыми когомологиями и строением n-групп с двумя нетривиальными гомотопическими группами. В случае срока срока $L_{\infty }$ -алгебры в градусах $0$ и $1$ аналогичная связь существует между коциклами алгебры Ли и такими высшими скобками. При первом осмотре это не очевидный результат, но он становится понятен после рассмотрения гомологического комплекса.

H_{*}(V_{1}\xrightarrow {d} V_{0})

,

поэтому дифференциал становится тривиальным. Это дает эквивалент $L_{\infty }$ -алгебра, которую затем можно анализировать, как и раньше.

Пример в градусах 0 и 1 [ править ]

Одним из простых примеров алгебры Ли-2 является $L_{\infty }$ -алгебра с $V_{0}=(\mathbb {R} ^{3},\times )$ где $\times$ является векторным произведением векторов и $V_{1}=\mathbb {R}$ является тривиальным представлением. Тогда есть более высокая планка $l_{3}$ заданное скалярным произведением векторов

l_{3}(a,b,c)=a\cdot (b\times c).

Можно проверить дифференциал этого $L_{\infty }$ -алгебра всегда равна нулю, если использовать базовую линейную алгебру ^[4]^{стр. 45}.

Конечномерный пример [ править ]

Придумывая простые примеры ради изучения природы $L_{\infty }$ -алгебры – сложная проблема. Например, ^[5] задано градуированное векторное пространство $V=V_{0}\oplus V_{1}$ где $V_{0}$ имеет базис, заданный вектором $w$ и $V_{1}$ имеет базис, заданный векторами $v_{1},v_{2}$ , есть $L_{\infty }$ -структура алгебры, заданная следующими правилами

{\begin{aligned}&l_{1}(v_{1})=l_{1}(v_{2})=w\\&l_{2}(v_{1}\otimes v_{2})=v_{1},l_{2}(v_{1}\otimes w)=w\\&l_{n}(v_{2}\otimes w^{\otimes n-1})=C_{n}w{\text{ for }}n\geq 3\end{aligned}},

где $C_{n}=(-1)^{n-1}(n-3)C_{n-1},C_{3}=1$ . Обратите внимание, что первые несколько констант

{\begin{matrix}C_{3}&C_{4}&C_{5}&C_{6}\\1&-1&-2&12\end{matrix}}

С $l_{1}(w)$ должен иметь степень $-1$ , из аксиом следует, что $l_{1}(w)=0$ . Есть и другие подобные примеры для супер ^[6] Алгебры Ли. ^[7] Более того, $L_{\infty }$ структуры в градуированных векторных пространствах, базовое векторное пространство которых является двумерным, полностью классифицированы. ^[3]

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

^ Лурье, Джейкоб . «Производная алгебраическая геометрия X: проблемы формальных модулей» (PDF) . п. 31, теорема 2.0.2.
^ Придэм, Джонатан Пол (2012). «Производные деформации схем» . Коммуникации в анализе и геометрии . 20 (3): 529–563. arXiv : 0908.1963 . дои : 10.4310/CAG.2012.v20.n3.a4 . МР 2974205 .
^ Перейти обратно: ^а ^б Daily, Мэрилин Элизабет (14 апреля 2004 г.). $L_{\infty }$ Структуры в пространствах малой размерности (доктор философии). hdl : 1840.16/5282 .
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с Баэз, Джон С .; Кран, Алисса С. (24 января 2010 г.). «Многомерная алгебра VI: 2-алгебры лжи». Теория и приложения категорий . 12 : 492–528. arXiv : math/0307263 .
^ Ежедневно, Мэрилин; Лада, Том (2005). «Конечномерное $L_{\infty }$ Пример алгебры в калибровочной теории» . Гомологии, гомотопии и приложения . 7 (2): 87–93. doi : 10.4310/HHA.2005.v7.n2.a4 . MR 2156308 .
^ Фиаловский, Алиса; Пенкава, Майкл (2002). «Примеры бесконечности и алгебр Ли и их версальных деформаций» . Публикации Банахового центра . 55 : 27–42. arXiv : математика/0102140 . дои : 10.4064/bc55-0-2 . МР 1911978 . S2CID 14082754 .
^ Фиаловский, Алиса; Пенкава, Майкл (2005). «Сильно гомотопические алгебры Ли одной четной и двух нечетных размерностей» . Журнал алгебры . 283 (1): 125–148. arXiv : математика/0308016 . дои : 10.1016/j.jalgebra.2004.08.023 . МР 2102075 . S2CID 119142148 .

Введение [ править ]

Теория деформации (конспекты лекций) - дает отличный обзор гомотопических алгебр Ли и их связи с теорией деформации и квантованием деформации.
Лада, Том; Сташефф, Джим (1993). «Введение в алгебры Ли для физиков». Международный журнал теоретической физики . 32 (7): 1087–1104. arXiv : hep-th/9209099 . Бибкод : 1993IJTP...32.1087L . дои : 10.1007/BF00671791 . S2CID 16456088 .

По физике [ править ]

Арванитакис, Алекс С. (2019). «L∞-алгебра S-матрицы». arXiv : 1903.05643 [ hep-th ].
Хом, Олаф; Цвибах, Бартон (2017). «L∞ Алгебры и теория поля». Форчр. Физ . 65 (3–4): 1700014. arXiv : 1701.08824 . Бибкод : 2017ForPh..6500014H . дои : 10.1002/prop.201700014 . S2CID 90628041 . — К классификации пертурбативных калибровочно-инвариантных классических полей.

В теории деформации и струн [ править ]

Придэм, Джонатан П. (2015). «Производные деформации стопок Артина». Коммуникации в анализе и геометрии . 23 (3): 419–477. arXiv : 0805.3130 . дои : 10.4310/CAG.2015.v23.n3.a1 . МР 3310522 . S2CID 14505074 .
Придэм, Джонатан П. (2010). «Объединение производных теорий деформации» . Достижения в математике . 224 (3): 772–826. arXiv : 0705.0344 . дои : 10.1016/j.aim.2009.12.009 . МР 2628795 . S2CID 14136532 .
Ху, По; Криж, Игорь; Воронов, Александр А. (2006). «О гипотезе когомологий Хохшильда Концевича». Математическая композиция . 142 (1): 143–168. arXiv : math/0309369 . дои : 10.1112/S0010437X05001521 . МР 2197407 . S2CID 15153116 .

Связанные идеи [ править ]

Робертс, Джастин; Виллертон, Саймон (2010). «О весовых системах Розанского – Виттена» . Алгебраическая и геометрическая топология . 10 (3): 1455–1519. arXiv : математика/0602653 . дои : 10.2140/agt.2010.10.1455 . МР 2661534 . S2CID 17829444 . (Алгебры Ли в производной категории когерентных пучков.)

Внешние ссылки [ править ]

«Учебный семинар по теории деформаций» . Институт математики Макса Планка. 2018. Обсуждает теорию деформации в контексте $L_{\infty }$ -алгебры.

[1] Лурье, Джейкоб . «Производная алгебраическая геометрия X: проблемы формальных модулей» (PDF) . п. 31, теорема 2.0.2.

[2] Придэм, Джонатан Пол (2012). «Производные деформации схем» . Коммуникации в анализе и геометрии . 20 (3): 529–563. arXiv : 0908.1963 . дои : 10.4310/CAG.2012.v20.n3.a4 . МР 2974205 .

[Daily04-3] Перейти обратно: ^а ^б Daily, Мэрилин Элизабет (14 апреля 2004 г.). $L_{\infty }$ Структуры в пространствах малой размерности (доктор философии). hdl : 1840.16/5282 .

[:0-4] Перейти обратно: ^а ^б ^с Баэз, Джон С .; Кран, Алисса С. (24 января 2010 г.). «Многомерная алгебра VI: 2-алгебры лжи». Теория и приложения категорий . 12 : 492–528. arXiv : math/0307263 .

[5] Ежедневно, Мэрилин; Лада, Том (2005). «Конечномерное $L_{\infty }$ Пример алгебры в калибровочной теории» . Гомологии, гомотопии и приложения . 7 (2): 87–93. doi : 10.4310/HHA.2005.v7.n2.a4 . MR 2156308 .

[6] Фиаловский, Алиса; Пенкава, Майкл (2002). «Примеры бесконечности и алгебр Ли и их версальных деформаций» . Публикации Банахового центра . 55 : 27–42. arXiv : математика/0102140 . дои : 10.4064/bc55-0-2 . МР 1911978 . S2CID 14082754 .

[7] Фиаловский, Алиса; Пенкава, Майкл (2005). «Сильно гомотопические алгебры Ли одной четной и двух нечетных размерностей» . Журнал алгебры . 283 (1): 125–148. arXiv : математика/0308016 . дои : 10.1016/j.jalgebra.2004.08.023 . МР 2102075 . S2CID 119142148 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]