Гомотопическая ассоциативная алгебра

В математике такая алгебра , как $(\mathbb {R} ,+,\cdot )$ имеет умножение $\cdot$ которого ассоциативность хорошо выражена на носу. Это означает, что для любых действительных чисел $a,b,c\in \mathbb {R}$ у нас есть

$a\cdot (b\cdot c)-(a\cdot b)\cdot c=0$.

Но есть алгебры $R$ которые не обязательно ассоциативны, то есть если $a,b,c\in R$ затем

$a\cdot (b\cdot c)-(a\cdot b)\cdot c\neq 0$

в общем. Существует понятие алгебры, называемое $A_{\infty }$-алгебры, которые все еще обладают свойством умножения, которое по-прежнему действует как первое соотношение, что означает, что ассоциативность сохраняется, но сохраняется только до гомотопии , что является способом сказать, что после операции «сжатия» информации в алгебре умножение ассоциативно. Это означает, что, хотя мы получаем нечто похожее на второе уравнение неравенства, на самом деле мы получаем равенство после «сжатия» информации в алгебре.

Изучение $A_{\infty }$-алгебры - это подмножество гомотопической алгебры , где существует гомотопическое понятие ассоциативных алгебр через дифференциально-градуированную алгебру с операцией умножения и серией высших гомотопий, обеспечивающих невозможность ассоциативности умножения. Грубо говоря, $A_{\infty }$-алгебра $(A^{\bullet },m_{i})$ это $\mathbb {Z}$-градуированное векторное пространство над полем $k$ с рядом операций $m_{i}$ на $i$-я тензорная степень $A^{\bullet }$. $m_{1}$ соответствует цепному комплексному дифференциалу , $m_{2}$ – это карта умножения, и чем выше $m_{i}$ являются мерой отсутствия ассоциативности $m_{2}$. Глядя на основную алгебру когомологий $H(A^{\bullet },m_{1})$, карта $m_{2}$ должна быть ассоциативная карта. Затем эти высшие карты $m_{3},m_{4},\ldots$ следует интерпретировать как высшие гомотопии, где $m_{3}$ это провал $m_{2}$ быть ассоциативным, $m_{4}$ это провал для $m_{3}$ быть более высокой ассоциативностью и так далее. Их структура была первоначально обнаружена Джимом Сташеффом. при изучении A∞-пространств , но позже это было интерпретировано как чисто алгебраическая структура. Это пространства, снабженные отображениями, ассоциативными только с точностью до гомотопии, и структура A∞ отслеживает эти гомотопии, гомотопии гомотопий и т. д.

Они повсеместно распространены в гомологической зеркальной симметрии из-за их необходимости определять структуру категории D Фукая -бран на многообразии Калаби – Яу , которые имеют только гомотопическую ассоциативную структуру.

Определение

Определение

Для фиксированного поля $k$ а $A_{\infty }$-алгебра это $\mathbb {Z}$-градуированное векторное пространство

$A=\bigoplus _{p\in \mathbb {Z} }A^{p}$

такой, что для $d\geq 1$ существует степень $2-d$, $k$-линейные карты

$m_{d}\colon (A^{\bullet })^{\otimes d}\to A^{\bullet }$

которые удовлетворяют условию связности:

$\sum _{\begin{matrix}1\leq p\leq d\\0\leq q\leq d-p\end{matrix}}(-1)^{\alpha }m_{d-p+1}(a_{d},\ldots ,a_{p+q+1},m_{p}(a_{p+q},\ldots ,a_{q+1}),a_{q},\ldots ,a_{1})=0$,

где $\alpha =(-1)^{{\text{deg}}(a_{1})+\cdots +\deg(a_{q})-q}$.

Понимание условий согласованности

Условия когерентности легко записать для малых степеней ^{стр. 583–584} .

д=1

Для $d=1$ это условие, которое

$m_{1}(m_{1}(a_{1}))=0$,

с $1\leq p\leq 1$ предоставление $p=1$ и $0\leq q\leq d-1$. Эти два неравенства заставляют $m_{d-p+1}=m_{1}$ в условии когерентности, следовательно, единственным входным сигналом является $m_{1}(a_{1})$. Поэтому $m_{1}$ представляет собой дифференциал.

д=2

Распаковка условия когерентности для $d=2$ дает степень $0$ карта $m_{2}$. В сумме имеют место неравенства

${\begin{matrix}1\leq p\leq 2\\0\leq q\leq 2-p\end{matrix}}$

индексов, дающих $(p,q)$ равный $(1,0),(1,1),(2,0)$. Распаковка суммы когерентности дает соотношение

$m_{2}(a_{2},m_{1}(a_{1}))+(-1)^{\deg(a_{1})-1}m_{2}(m_{1}(a_{2}),a_{1})+m_{1}(m_{2}(a_{1},a_{2}))=0$,

который при переписывании с помощью

$(-1)^{\deg a}m_{1}(a)=d(a)$ и $(-1)^{\deg a_{1}}m_{2}(a_{2},a_{1})=a_{2}\cdot a_{1}$

как дифференциал и умножение, это

$d(a_{2}\cdot a_{1})=(-1)^{\deg(a_{1})}d(a_{2})\cdot a_{1}+a_{2}\cdot d(a_{1})$,

что является правилом Лейбница для дифференциально-градуированных алгебр.

д=3

В этой степени выявляется структура ассоциативности. Обратите внимание, если $m_{3}=0$ тогда существует структура дифференциально-градуированной алгебры, которая становится прозрачной после расширения условия когерентности и умножения на соответствующий коэффициент $(-1)^{k}$, условие когерентности выглядит примерно так:

${\begin{aligned}m_{2}(m_{2}(a\otimes b)\otimes c)-m_{2}(a\otimes m_{2}(b\otimes c))=&\pm m_{3}(m_{1}(a)\otimes b\otimes c)\\&\pm m_{3}(a\otimes m_{1}(b)\otimes c)\\&\pm m_{3}(a\otimes b\otimes m_{1}(c))\\&\pm m_{1}(m_{3}(a\otimes b\otimes c)).\end{aligned}}$

Обратите внимание, что левая часть уравнения представляет собой неудачу для $m_{2}$ быть ассоциативной алгеброй на носу. Один из входов для первых трех $m_{3}$ карты являются кограницами, поскольку $m_{1}$ является дифференциалом, поэтому в алгебре когомологий $(H^{*}(A^{\bullet },m_{1}),[m_{2}])$ все эти элементы исчезнут, поскольку $m_{1}(a)=m_{1}(b)=m_{1}(c)=0$. Это включает в себя последний срок $m_{1}(m_{3}(a\otimes b\otimes c))$ поскольку это также кограница, дающая нулевой элемент в алгебре когомологий. Из этих отношений мы можем интерпретировать $m_{3}$ карту как нарушение ассоциативности $m_{2}$, что означает, что он ассоциативен только с точностью до гомотопии.

d=4 и члены более высокого порядка

Кроме того, члены более высокого порядка, для $d\geq 4$, когерентные условия дают множество различных терминов, объединяющих строку последовательных $a_{p+i},\ldots ,a_{p+1}$ в какой-то $m_{p}$ и вставить этот термин в $m_{d-p+1}$ вместе с остальными $a_{j}$в элементах $a_{d},\ldots ,a_{1}$. При объединении $m_{1}$ В терминах есть часть условия когерентности, которая читается аналогично правой части $d=3$, а именно существуют члены

${\begin{aligned}&\pm m_{d}(a_{d},\ldots ,a_{2},m_{1}(a_{1}))\\&\pm \cdots \\&\pm m_{d}(m_{1}(a_{d}),a_{d-1},\ldots ,a_{1})\\&\pm m_{1}(m_{d}(a_{d},\ldots ,a_{1})).\end{aligned}}$

В степени $d=4$ остальные члены можно записать как

${\begin{aligned}&\pm m_{3}(m_{2}(a_{4},a_{3}),a_{2},a_{1})\\&\pm m_{3}(a_{4},m_{2}(a_{3},a_{2}),a_{1})\\&\pm m_{3}(a_{4},a_{3},m_{2}(a_{2},a_{1}))\\&\pm m_{2}(m_{3}(a_{4},a_{3},a_{2}),a_{1})\\&\pm m_{2}(a_{4},m_{3}(a_{3},a_{2},a_{1})),\end{aligned}}$

показывая, как элементы на изображении $m_{3}$ и $m_{2}$ взаимодействовать. Это означает гомотопию элементов, в том числе и того, что находится по образу $m_{2}$ минус умножение элементов, где один является гомотопическим входом, отличаются границей. Для более высокого порядка $d>4$, эти средние члены можно увидеть, как средние карты $m_{2},\ldots ,m_{d-1}$ вести себя по отношению к термам, исходящим из образа другого более высокого гомотопического отображения.

Схематическая интерпретация аксиом

Существует хороший схематический формализм алгебр, который описан в книге «Алгебра+Гомотопия=Операда». объясняя, как визуально думать об этих высших гомотопиях. Эта интуиция алгебраически выражена в приведенном выше обсуждении, но полезно также ее визуализировать.

Примеры

Ассоциативные алгебры

Любая ассоциативная алгебра $(A,\cdot )$ имеет $A_{\infty }$-бесконечная структура путем определения $m_{2}(a,b)=a\cdot b$ и $m_{i}=0$ для $i\neq 2$. Следовательно $A_{\infty }$-алгебры обобщают ассоциативные алгебры.

Дифференциальные градуированные алгебры

Любая дифференциально-градуированная алгебра $(A^{\bullet },d)$ имеет каноническую структуру как $A_{\infty }$-алгебра где $m_{1}=d$ и $m_{2}$ это карта умножения. Все остальные карты более высокого уровня $m_{i}$ равны $0$. Используя структурную теорему для минимальных моделей, существует каноническое $A_{\infty }$-структура на алгебре градуированных когомологий $HA^{\bullet }$ сохраняющее структуру квазиизоморфизма исходной дифференциально-градуированной алгебры. Одним из распространенных примеров таких dga является алгебра Кошуля, возникающая из регулярной последовательности . Это важный результат, поскольку он помогает проложить путь к эквивалентности гомотопических категорий.

${\text{Ho}}({\text{dga}})\simeq {\text{Ho}}(A_{\infty }{\text{-alg}})$

дифференциально-градуированных алгебр и $A_{\infty }$-алгебры.

Коцепные алгебры H-пространств

Один из мотивирующих примеров $A_{\infty }$-алгебры возникают в результате изучения H-пространств . Всякий раз, когда топологическое пространство $X$ является H-пространством, ассоциированным с ним сингулярным цепным комплексом $C_{*}(X)$ имеет канонический $A_{\infty }$-структура алгебры из ее структуры как H-пространства.

Пример с бесконечным количеством нетривиальных m _i

Рассмотрим градуированную алгебру $V^{\bullet }=V_{0}\oplus V_{1}$ над полем $k$ характеристики $0$ где $V_{0}$ определяется степенью $0$ векторы $v_{1},v_{2}$ и $V_{1}$ определяется степенью $1$ вектор $w$. Даже в этом простом примере есть нетривиальная проблема. $A_{\infty }$-структура, дающая дифференциалы во всех возможных степенях. Частично это связано с тем, что существует степень $1$ вектор, дающий степень $k$ векторное пространство рангов $1$ в $(V^{\bullet })^{\otimes k}$. Определите дифференциал $m_{1}$ к

${\begin{aligned}m_{1}(v_{0})=w\\m_{1}(v_{1})=w,\end{aligned}}$

и для $d\geq 2$

${\begin{aligned}m_{d}(v_{1}\otimes w^{\otimes k}\otimes v_{1}\otimes w^{\otimes (d-2)-k})&=(-1)^{k}s_{d}v_{1}&0\leq k\leq d-2\\m_{d}(v_{1}\otimes w^{\otimes (d-2)}\otimes v_{2})&=s_{d+1}v_{1}\\m_{d}(v_{1}\otimes w^{\otimes (d-1)})&=s_{d+1}w,\end{aligned}}$

где $m_{n}=0$ на любой карте, не указанной выше и $s_{n}=(-1)^{(n-1)(n-2)/2}$. В степени $d=2$, поэтому для карты умножения мы имеем ${\begin{aligned}m_{2}(v_{1},v_{1})&=-v_{1}\\m_{2}(v_{1},v_{2})&=v_{1}\\m_{2}(v_{1},w)&=w.\end{aligned}}$И в $d=3$ приведенные выше соотношения дают

${\begin{aligned}m_{3}(v_{1},v_{1},w)&=v_{1}\\m_{3}(v_{1},w,v_{1})&=-v_{1}\\m_{3}(v_{1},w,v_{2})&=-v_{1}\\m_{3}(v_{1},w,w)&=-w.\end{aligned}}$

Когда эти уравнения связаны с нарушением ассоциативности, существуют ненулевые члены. Например, условия согласованности для $v_{1},v_{2},w$ приведу нетривиальный пример, где ассоциативность не держится на носу. Заметим, что в алгебре когомологий $H^{*}(V^{\bullet },[m_{2}])$ у нас есть только степень $0$ условия $v_{1},v_{2}$ с $w$ убивает дифференциал $m_{1}$.

Характеристики

Перенос A ∞ структуры

Одно из ключевых свойств $A_{\infty }$-алгебры – их структура может быть перенесена на другие алгебраические объекты при наличии правильных гипотез. Ранняя интерпретация этого свойства была следующей: $A_{\infty }$-алгебра $A^{\bullet }$ и гомотопическая эквивалентность комплексов

$f\colon B^{\bullet }\to A^{\bullet }$,

тогда есть $A_{\infty }$-структура алгебры на $B^{\bullet }$ унаследовано от $A^{\bullet }$ и $f$ может быть расширен до морфизма $A_{\infty }$-алгебры. Существует множество теорем этого типа с различными гипотезами о $B^{\bullet }$ и $f$, некоторые из которых имеют более сильные результаты, такие как единственность с точностью до гомотопии структуры на $B^{\bullet }$ и строгость на карте $f$.

Структура

Минимальные модели и теорема Кадеишвили

Одна из важных структурных теорем для $A_{\infty }$-алгебры – это существование и единственность минимальных моделей , которые определяются как $A_{\infty }$-алгебры, в которых дифференциальное отображение $m_{1}=0$ равен нулю. Взяв алгебру когомологий $HA^{\bullet }$ из $A_{\infty }$-алгебра $A^{\bullet }$ из дифференциала $m_{1}$, поэтому как градуированная алгебра,

$HA^{\bullet }={\frac {{\text{ker}}(m_{1})}{m_{1}(A^{\bullet })}}$,

с картой умножения $[m_{2}]$. Оказывается, эта градуированная алгебра может быть канонически снабжена $A_{\infty }$-структура,

$(HA^{\bullet },0,[m_{2}],m_{3},m_{4},\ldots )$,

который единственен с точностью до квазиизоморфизмов $A_{\infty }$-алгебры. На самом деле утверждение еще сильнее: существует каноническое $A_{\infty }$-морфизм

$(HA^{\bullet },0,[m_{2}],m_{3},m_{4},\ldots )\to A^{\bullet }$,

который поднимает карту идентичности $A^{\bullet }$. Обратите внимание, что эти более высокие продукты представляют собой продукт Мэсси .

Мотивация

Эта теорема очень важна для изучения дифференциальных градуированных алгебр, поскольку изначально они были введены для изучения гомотопической теории колец. Поскольку операция когомологии убивает гомотопическую информацию, а не каждая дифференциальная градуированная алгебра квазиизоморфна своей алгебре когомологий, при выполнении этой операции информация теряется. Но минимальные модели позволяют восстановить класс квазиизоморфизма, забывая при этом о дифференциале. Аналогичный результат Максима Концевича и Яна Сойбельмана для структуру A∞ - категорий дает A∞-категорий на категории когомологий. $H^{*}(D_{\infty }^{b}(X))$ dg-категории, состоящей из коцепных комплексов когерентных пучков на неособом многообразии $X$ над полем $k$ характеристики $0$ и морфизмы, заданные полным комплексом бикомплекса Чеха дифференциального градуированного пучка ${\mathcal {Hom}}^{\bullet }({\mathcal {F}}^{\bullet },{\mathcal {G}}^{\bullet })$^{стр. 586-593} . В этом заключалась степень $k$ морфизмы в категории $H^{*}(D_{\infty }^{b}(X))$ даны ${\text{Ext}}({\mathcal {F}}^{\bullet },{\mathcal {G}}^{\bullet })$.

Приложения

Существует несколько приложений этой теоремы. В частности, для dg-алгебры, такой как алгебра де Рама $(\Omega ^{\bullet }(X),d,\wedge )$или алгебру когомологий Хохшильда , они могут быть снабжены $A_{\infty }$-структура.

Структура Мэсси от DGA

Дана дифференциально-градуированная алгебра $(A^{\bullet },d)$ его минимальная модель как $A_{\infty }$-алгебра $(HA^{\bullet },0,[m_{2}],m_{3},m_{4},\ldots )$ построен с использованием продуктов Massey. То есть,

${\begin{aligned}m_{3}(x_{3},x_{2},x_{1})&=\langle x_{3},x_{2},x_{1}\rangle \\m_{4}(x_{4},x_{3},x_{2},x_{1})&=\langle x_{4},x_{3},x_{2},x_{1}\rangle \\&\cdots &\end{aligned}}$

Оказывается, любой $A_{\infty }$-структура алгебры на $HA^{\bullet }$ тесно связано с этой конструкцией. Учитывая еще один $A_{\infty }$-структура на $HA^{\bullet }$ с картами $m_{i}'$, есть отношение

$m_{n}(x_{1},\ldots ,x_{n})=\langle x_{1},\ldots ,x_{n}\rangle +\Gamma$,

где

$\Gamma \in \sum _{j=1}^{n-1}{\text{Im}}(m_{j})$.

Отсюда все такие $A_{\infty }$-обогащения алгебры когомологий связаны друг с другом.

Градуированные алгебры из своей ext алгебры

Другая структурная теорема — это восстановление алгебры по ее ext-алгебре. Дана связная градуированная алгебра

$A=k_{A}\oplus A_{1}\oplus A_{2}\oplus \cdots$,

канонически это ассоциативная алгебра. Существует ассоциированная алгебра, называемая ее Ext-алгеброй, определяемая как

$\operatorname {Ext} _{A}^{\bullet }(k_{A},k_{A})$,

где умножение задается произведением Йонеды . Затем существует $A_{\infty }$-квазиизоморфизм между $(A,0,m_{2},0,\ldots )$ и $\operatorname {Ext} _{A}^{\bullet }(k_{A},k_{A})$. Эта идентификация важна, поскольку она дает возможность показать, что все производные категории являются производными аффинно , то есть они изоморфны производной категории некоторой алгебры.

См. также

• A∞-категория
• Ассоциэдр
• Гипотеза зеркальной симметрии
• Гомологическая зеркальная симметрия
• Гомотопическая алгебра Ли
• Производная алгебраическая геометрия

Ссылки

• Валлетт, Бруно (2012). «Алгебра+Гомотопия=Операда». arXiv : 1202.3245 [ math.AT ].
• Пенкава, Майкл; Шварц, Альберт (1994). «Алгебры A-бесконечности и когомологии пространств модулей». arXiv : hep-th/9408064 .
• Ройцхайм, Констанца; Уайтхаус, Сара (2011). «Единственность A-бесконечных структур и когомологий Хохшильда». Алгебраическая и геометрическая топология . 11 : 107–143. arXiv : 0909.3222 . дои : 10.2140/agt.2011.11.107 . S2CID   115160163 .
• Концевич, Максим (1994). «Гомологическая алгебра зеркальной симметрии». arXiv : alg-geom/9411018 . — Оригинальная перелинковка бумаги $A_{\infty }$ структуры зеркальной симметрии
• Лу, Д.-М.; Палмьери, Дж. Х.; У, К.-С.; Чжан, Джей-Джей (2006). «Структура A-бесконечности на Ext-алгебрах». arXiv : math/0606144 .
• Аспинуолл, Пол С.; Бриджленд, Том; Кроу, Аластер; Дуглас, Майкл Р.; Гросс, Марк; Капустин Антон; Мур, Грегори В.; Сигал, Грэм; Сендрой, Балаж; Уилс, ПМХ (2009). Браны Дирихле и зеркальная симметрия (PDF) . Клей монографии по математике. Том. 4. с. 593 для примера $A_{\infty }$-категория с нетривиальным $m_{3}$. ISBN  978-0-8218-3848-8 .
• Надлер, Дэвид; Заслоу, Эрик (2006). «Конструируемые пучки и категория Фукая». arXiv : math/0604379 .
• Зайдель, Пол (2003). «Гомологическая зеркальная симметрия поверхности четвертой степени». arXiv : математика/0310414 .
• Чжоу, Цзявэй (2019). О построении минимальной модели некоторых алгебр A-бесконечности (доктор философии). Калифорнийский университет в Ирвине. 7в313232.
• Сагаве, Штеффен (2010). «DG-алгебры и производные A-бесконечности алгебры». Журнал чистой и прикладной математики . 2010 (639): 73-105. arXiv : 0711.4499 . дои : 10.1515/CRELLE.2010.011 . S2CID   14676841 .