Гипотеза зеркальной симметрии

В математике зеркальная симметрия - это гипотетическая связь между определенными многообразиями Калаби – Яу и построенным «зеркальным многообразием». Гипотеза позволяет связать количество рациональных кривых на многообразии Калаби-Яу (закодированных как инварианты Громова-Виттена ) с интегралами из семейства многообразий (закодированными как интегралы периода от вариации структур Ходжа ). Короче говоря, это означает, что существует связь между количеством родов $g$ алгебраические кривые степени $d$ на сорте Калаби-Яу $X$ и интегралы на двойственном многообразии ${\check {X}}$ . Эти отношения были первоначально открыты Канделасом , де ла Оссой , Грином и Парксом. ^[1] в статье, посвященной изучению общего квинтического трехмерного многообразия в $\mathbb {P} ^{4}$ как разновидность $X$ и конструкция ^[2] из квинтиковой семьи Дворков $X_{\psi }$ предоставление ${\check {X}}={\tilde {X}}_{\psi }$ . Вскоре после этого Шелдон Кац написал обзорную статью. ^[3] обрисовывает часть их конструкции и предполагает, какой может быть строгая математическая интерпретация.

Построение зеркала квинтической тройки.

Первоначально конструкция зеркальных многообразий была открыта с помощью специальной процедуры. По сути, к общей квинтике тройки $X\subset \mathbb {CP} ^{4}$ должно быть ассоциировано однопараметрическое семейство Калаби-Яу многообразий $X_{\psi }$ который имеет множество особенностей. После раздутия этих особенностей они разрешаются и появляется новое многообразие Калаби-Яу. $X^{\vee }$ был построен. у которого был перевернутый ромб Ходжа. В частности, существуют изоморфизмы $H^{q}(X,\Omega _{X}^{p})\cong H^{q}(X^{\vee },\Omega _{X^{\vee }}^{3-p})$ но самое главное, есть изоморфизм $H^{1}(X,\Omega _{X}^{1})\cong H^{1}(X^{\vee },\Omega _{X^{\vee }}^{2})$ где теория струн ( А- модель $X$ ) для государств в $H^{1}(X,\Omega _{X}^{1})$ заменяется теорией струн ( В- моделью $X^{\vee }$ ) имеющие состояния в $H^{1}(X^{\vee },\Omega _{X^{\vee }}^{2})$ . Теория струн в А-модели зависела только от келеровой или симплектической структуры на $X$ в то время как B-модель зависит только от сложной структуры $X^{\vee }$ . Здесь мы обрисуем первоначальную конструкцию зеркальных многообразий и рассмотрим теорию струн и гипотезу о зеркальных многообразиях в следующем разделе этой статьи.

Комплексные модули

Напомним, что общее квинтическое тройное многообразие ^[2]^[4] $X$ в $\mathbb {P} ^{4}$ определяется однородным полиномом степени $5$ . Этот полином эквивалентно описывается как глобальное сечение линейного расслоения. $f\in \Gamma (\mathbb {P} ^{4},{\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{4}}(5))$ . ^[1]^[5] Обратите внимание, что векторное пространство глобальных разделов имеет размерность. $\dim {\Gamma (\mathbb {P} ^{4},{\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{4}}(5))}=126$ но есть две эквивалентности этих многочленов. Во-первых, полиномы при масштабировании алгебраическим тором $\mathbb {G} _{m}$ ^[6] (ненулевые масштабаторы базового поля) с учетом эквивалентных пространств. Во-вторых, проективная эквивалентность задается автоморфизмов группой $\mathbb {P} ^{4}$ , ${\text{PGL}}(5)$ который $24$ размерный. Это дает $101$ пространство размерных параметров $U_{\text{smooth}}\subset \mathbb {P} (\Gamma (\mathbb {P} ^{4},{\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{4}}(5)))/PGL(5)$ с $126-24-1=101$ , который можно построить с помощью геометрической теории инвариантов . Набор $U_{\text{smooth}}$ соответствует классам эквивалентности полиномов, которые определяют гладкие трехмерные многообразия Калаби-Яу квинтики в $\mathbb {P} ^{4}$ , дающий пространство модулей квинтик Калаби-Яу. ^[7] Теперь, используя двойственность Серра и тот факт, что каждое многообразие Калаби-Яу имеет тривиальное каноническое расслоение $\omega _{X}$ , пространство деформаций имеет изоморфизм $H^{1}(X,T_{X})\cong H^{2}(X,\Omega _{X})$ с $(2,1)$ часть Ходжа структуры $H^{3}(X)$ . Согласно теореме Лефшеца о гиперплоскости, единственной нетривиальной группой когомологий является $H^{3}(X)$ поскольку остальные изоморфны $H^{i}(\mathbb {P} ^{4})$ . Используя характеристику Эйлера и класс Эйлера , который является высшим классом Чженя , размерность этой группы равна $204$ . Это потому, что ${\begin{aligned}\chi (X)&=-200\\&=h^{0}+h^{2}-h^{3}+h^{4}+h^{6}\\&=1+1-\dim H^{3}(X)+1+1\end{aligned}}$ Используя структуру Ходжа, мы можем найти размеры каждого из компонентов. Во-первых, потому что $X$ Калаби-Яу, $\omega _{X}\cong {\mathcal {O}}_{X}$ так $H^{0}(X,\Omega _{X}^{3})\cong H^{0}(X,{\mathcal {O}}_{X})$ давая числа Ходжа $h^{0,3}=h^{3,0}=1$ , следовательно $\dim H^{2}(X,\Omega _{X})=h^{1,2}=101$ задающая размерность пространства модулей многообразий Калаби-Яу. По теореме Богомолева-Тяна-Тодорова все такие деформации беспрепятственны, поэтому гладкое пространство $U_{\text{smooth}}$ на самом деле является пространством модулей трехмерных многообразий пятой степени. Весь смысл этой конструкции в том, чтобы показать, как комплексные параметры в этом пространстве модулей преобразуются в кэлеровы параметры зеркального многообразия.

Зеркальный коллектор

Существует выдающееся семейство многообразий Калаби-Яу. $X_{\psi }$ называется семьей Дворков . Это проективная семья $X_{\psi }={\text{Proj}}\left({\frac {\mathbb {C} [\psi ][x_{0},\ldots ,x_{4}]}{(x_{0}^{5}+\cdots +x_{4}^{5}-5\psi x_{0}x_{1}x_{2}x_{3}x_{4})}}\right)$ над комплексной плоскостью ${\text{Spec}}(\mathbb {C} [\psi ])$ . Теперь обратите внимание, что существует только одно измерение сложных деформаций этого семейства, исходящее из $\psi$ имеющие различные значения. Это важно, потому что ромб Ходжа зеркального коллектора ${\check {X}}$ имеет $\dim H^{2,1}({\check {X}})=1.$ В любом случае, семья $X_{\psi }$ имеет группу симметрии $G=\left\{(a_{0},\ldots ,a_{4})\in (\mathbb {Z} /5)^{5}:\sum a_{i}=0\right\}$ действуя посредством $(a_{0},\ldots ,a_{4})\cdot [x_{0}:\cdots :x_{4}]=[e^{a_{0}\cdot 2\pi i/5}x_{0}:\cdots :e^{a_{4}\cdot 2\pi i/5}x_{4}]$ Обратите внимание на проективность $X_{\psi }$ является причиной состояния $\sum _{i}a_{i}=0.$ Соответствующее частное многообразие $X_{\psi }/G$ имеет разрешение крепантное ^[2]^[5] взорвав $100$ особенности ${\check {X}}\to X_{\psi }/G$ давая новое многообразие Калаби-Яу ${\check {X}}$ с $101$ параметры в $H^{1,1}({\check {X}})$ . Это зеркальный коллектор и имеет $H^{3}({\check {X}})=4$ где каждое число Ходжа $1$ .

Идеи из теории струн

В теории струн есть класс моделей, называемых нелинейными сигма-моделями , которые изучают семейства отображений. $\phi :\Sigma \to X$ где $\Sigma$ это род $g$ алгебраическая кривая и $X$ Калаби -Яу . Эти кривые $\Sigma$ называются мировыми листами и представляют рождение и смерть частицы в виде замкнутой струны. Поскольку струна со временем может разделиться на две или более струны, и в конечном итоге эти струны сойдутся вместе и схлопнутся в конце времени жизни частицы, алгебраическая кривая математически представляет это время жизни струны. Для простоты первоначально рассматривались только кривые рода 0, и многие результаты, популяризированные в математике, были сосредоточены только на этом случае.

Кроме того, в физической терминологии эти теории $(2,2)$ гетеротические теории струн, потому что они имеют $N=2$ суперсимметрия бывает парной, поэтому на самом деле существует четыре суперсимметрии. Это важно, поскольку подразумевает наличие пары операторов $(Q,{\overline {Q}})$ действующий на гильбертовом пространстве состояний, но определенный только с точностью до знака. Именно эта двусмысленность изначально подсказала физикам, что должна существовать пара многообразий Калаби-Яу, имеющих двойственные теории струн, которые обмениваются этой двусмысленностью друг с другом.

Пространство $X$ имеет сложную структуру, которая представляет собой интегрируемую почти комплексную структуру $J\in {\text{End}}(TX)$ , и поскольку это кэлерово многообразие , оно обязательно имеет симплектическую структуру $\omega$ называемая формой Кэлера , которую можно комплексифицировать до комплексифицированной формы Кэлера $\omega ^{\mathbb {C} }=B+i\omega$ который является закрытым $(1,1)$ -форма, следовательно, ее класс когомологий находится в $[\omega ^{\mathbb {C} }]\in H^{1}(X,\Omega _{X}^{1})$ Основная идея гипотез зеркальной симметрии заключается в изучении деформаций или модулей сложной структуры. $J$ и комплексифицированная симплектическая структура $\omega ^{\mathbb {C} }$ таким образом, что эти двое двойственны друг другу. В частности, с точки зрения физики. ^[8]^: 1–2 суперконформная теория поля многообразия Калаби-Яу $X$ должна быть эквивалентна двойственной суперконформной теории поля зеркального многообразия $X^{\vee }$ . Здесь конформная означает конформную эквивалентность , которая совпадает с классом эквивалентности комплексных структур на кривой $\Sigma$ .

Существует два варианта нелинейных сигма-моделей, называемые A-моделью и B-моделью, которые рассматривают пары $(X,\omega ^{\mathbb {C} })$ и $(X,J)$ и их модули. ^[9]^{: глава 38, стр. 729}

А-модель

Корреляционные функции из теории струн

Учитывая многообразие Калаби-Яу. $X$ с комплексифицированным классом Кэлера $[\omega ^{\mathbb {C} }]\in H^{1}(X,\Omega _{X}^{1})$ Нелинейная сигма-модель теории струн должна содержать три поколения частиц, а также электромагнитное , слабое и сильное взаимодействия. ^[10]^: 27 трехточечная функция, называемая связью Юкавы Чтобы понять, как взаимодействуют эти силы, вводится , которая действует как корреляционная функция для состояний в $H^{1}(X,\Omega _{X}^{1})$ . Обратите внимание, что это пространство является собственным пространством оператора $Q$ о гильбертовом пространстве состояний теории струн. ^[8]^: 3–5 Эта трехточечная функция «вычисляется» как ${\begin{aligned}\langle \omega _{1},\omega _{2},\omega _{3}\rangle =&\int _{X}\omega _{1}\wedge \omega _{2}\wedge \omega _{3}+\sum _{\beta \neq 0}n_{\beta }\int _{\beta }\omega _{1}\int _{\beta }\omega _{2}\int _{\beta }\omega _{2}{\frac {e^{2\pi i\int _{\beta }\omega ^{\mathbb {C} }}}{1-e^{2\pi i\int _{\beta }\omega ^{\mathbb {C} }}}}\end{aligned}}$ используя методы Фейнмана, интегральные по траекториям , где $n_{\beta }$ — наивное число рациональных кривых с классом гомологии $\beta \in H_{2}(X;\mathbb {Z} )$ , и $\omega _{i}\in H^{1}(X,\Omega _{X})$ . Определение этих инстантонных чисел $n_{\beta }$ является предметом теории Громова–Виттена . Обратите внимание, что в определении этой корреляционной функции она зависит только от класса Кэлера. Это вдохновило некоторых математиков на изучение гипотетических пространств модулей кэлеровых структур на многообразии.

Математическая интерпретация корреляционных функций А-модели

В А-модели соответствующее пространство модулей — это модули псевдоголоморфных кривых ^[11]^: 153 ${\overline {\mathcal {M}}}_{g,k}(X,J,\beta )=\{(u:\Sigma \to X,j,z_{1},\ldots ,z_{k}):u_{*}[\Sigma ]=\beta ,{\overline {\partial }}_{J}u=0\}$ или пространства модулей Концевича ^[12] ${\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}(X,\beta )=\{u:\Sigma \to X:u{\text{ is stable and }}u_{*}([\Sigma ])=\beta \}$ Эти пространства модулей могут быть оснащены виртуальным фундаментальным классом. $[{\overline {\mathcal {M}}}_{g,k}(X,J,\beta )]^{virt}$ или $[{\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}(X,\beta )]^{virt}$ который представлен как исчезающее место сечения $\pi _{Coker}(v)$ пучка, называемого пучком препятствий ${\underline {\text{Obs}}}$ по пространству модулей. Этот раздел взят из дифференциального уравнения ${\overline {\partial }}_{J}(u)=v$ что можно рассматривать как возмущение карты $u$ . Его также можно рассматривать как двойственный Пуанкаре Эйлера класс . ${\underline {\text{Obs}}}$ если это векторный пакет .

В исходной конструкции рассматриваемая A-модель находилась в трехмерном многообразии общей квинтики в $\mathbb {P} ^{4}$ . ^[9]

B-модель

Корреляционные функции из теории струн

Для того же многообразия Калаби-Яу $X$ в подразделе A-модели существует двойственная суперконформная теория поля, имеющая состояния в собственном пространстве $H^{1}(X,T_{X})$ оператора ${\overline {Q}}$ . Его трехточечная корреляционная функция определяется как $\langle \theta _{1},\theta _{2},\theta _{3}\rangle =\int _{X}\Omega \wedge (\nabla _{\theta _{1}}\nabla _{\theta _{2}}\nabla _{\theta _{3}}\Omega )$ где $\Omega \in H^{0}(X,\Omega _{X}^{3})$ является голоморфной 3-формой на $X$ и для бесконечно малой деформации $\theta$ (с $H^{1}(X,T_{X})$ — касательное пространство к пространству модулей многообразий Калаби-Яу, содержащее $X$ , по отображению Кодаиры–Спенсера и теореме Богомолева-Тяна-Тодорова ) существует связность Гаусса-Манина $\nabla _{\theta }$ принимая $(p,q)$ класс к $(p+1,q-1)$ класс, следовательно $\Omega \wedge (\nabla _{\theta _{1}}\nabla _{\theta _{2}}\nabla _{\theta _{3}}\Omega )\in H^{3}(X,\Omega _{X}^{3})$ может быть интегрирован в $X$ . Обратите внимание, что эта корреляционная функция зависит только от сложной структуры $X$ .

Другая формулировка связи Гаусса-Манина.

Действие классов когомологий $\theta \in H^{1}(X,T_{X})$ на $\Omega \in H^{0}(X,\Omega _{X}^{3})$ также можно понимать как когомологический вариант предмета интерьера . Локально класс $\theta$ соответствует коциклу Чеха $[\theta _{i}]_{i\in I}$ для какой-нибудь достаточно красивой обложки $\{U_{i}\}_{i\in I}$ давая раздел $\theta _{i}\in T_{X}(U_{i})$ . Затем продукт вставки дает элемент $\iota _{\theta _{i}}(\Omega |_{U_{i}})\in H^{0}(U_{i},\Omega _{X}^{2}|_{U_{i}})$ который можно вклеить обратно в элемент $\iota _{\theta }(\Omega )$ из $H^{1}(X,\Omega _{X}^{2})$ . Это потому, что на перекрытиях $U_{i}\cap U_{j}=U_{ij},$ $\theta _{i}|_{ij}=\theta _{j}|_{ij}$ предоставление ${\begin{aligned}(\iota _{\theta _{i}}\Omega |_{U_{i}})|_{U_{ij}}&=\iota _{\theta _{i}|_{U_{ij}}}(\Omega |_{U_{ij}})\\&=\iota _{\theta _{j}|_{U_{ij}}}(\Omega |_{U_{ij}})\\&=(\iota _{\theta _{j}}\Omega |_{U_{j}})|_{U_{ij}}\end{aligned}}$ следовательно, он определяет 1-коцикл. Повторение этого процесса дает 3-коцикл $\iota _{\theta _{1}}\iota _{\theta _{2}}\iota _{\theta _{3}}\Omega \in H^{3}(X,{\mathcal {O}}_{X})$ что равно $\nabla _{\theta _{1}}\nabla _{\theta _{2}}\nabla _{\theta _{3}}\Omega$ . Это связано с тем, что локально связность Гаусса-Манина действует как внутреннее произведение.

Математическая интерпретация корреляционных функций B-модели

Математически B-модель представляет собой вариацию структур Ходжа , которая изначально была задана конструкцией семейства Дворков.

Зеркальная гипотеза

Связь этих двух моделей теории струн путем разрешения неоднозначности знака операторов $(Q,{\overline {Q}})$ привели физиков к следующей гипотезе: ^[8]^: 22 для многообразия Калаби-Яу $X$ должно существовать зеркальное многообразие Калаби-Яу $X^{\vee }$ такая, что существует зеркальный изоморфизм $H^{1}(X,\Omega _{X})\cong H^{1}(X^{\vee },T_{X^{\vee }})$ обеспечивая совместимость связанных A-модели и B-модели. Это значит, что дано $H\in H^{1}(X,\Omega _{X})$ и $\theta \in H^{1}(X^{\vee },T_{X^{\vee }})$ такой, что $H\mapsto \theta$ под зеркальной картой имеет место равенство корреляционных функций $\langle H,H,H\rangle =\langle \theta ,\theta ,\theta \rangle$ Это важно, поскольку оно связано с числом степеней $d$ род $0$ кривые на пятой тройке $X$ в $\mathbb {P} ^{4}$ (так $H^{1,1}\cong \mathbb {Z}$ ) к интегралам в вариации структур Ходжа. Более того, эти интегралы на самом деле вычислимы!

См. также

Внешние ссылки

https://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-969-topics-in-geometry-mirror-symmetry-spring-2009/lecture-notes/

Ссылки

^ Jump up to: ^а ^б Канделас, Филип; Де Ла Осса, Ксения К.; Грин, Пол С.; Паркс, Линда (29 июля 1991 г.). «Пара многообразий Калаби-Яу как точно разрешимая суперконформная теория». Ядерная физика Б . 359 (1): 21–74. Бибкод : 1991НуФБ.359...21С . дои : 10.1016/0550-3213(91)90292-6 . ISSN 0550-3213 .
^ Jump up to: ^а ^б ^с Ору, Деннис. «Трехкратный Квинтик и его зеркало» (PDF) .
^ Кац, Шелдон (29 декабря 1993 г.). «Рациональные кривые в трехмерных многообразиях Калаби-Яу». arXiv : alg-geom/9312009 .
^ например, многообразие Калаби-Яу как множество является подмножеством комплексного проективного пространства. $\{[x_{0}:x_{1}:x_{2}:x_{3}:x_{4}]\in \mathbb {CP} ^{4}:x_{0}^{5}+x_{1}^{5}+x_{2}^{5}+x_{3}^{5}+x_{4}^{5}=0\}$
^ Jump up to: ^а ^б Моррисон, Дэвид Р. (1993). «Зеркальная симметрия и рациональные кривые на тройных многообразиях пятой степени: руководство для математиков». Дж. Амер. Математика. Соц . 6 : 223–247. arXiv : alg-geom/9202004 . дои : 10.1090/S0894-0347-1993-1179538-2 . S2CID 9228037 .
^ Что можно рассматривать как $\mathbb {C} ^{*}$ - действие по $\mathbb {C} ^{5}-\{0\}$ построение сложного проективного пространства $\mathbb {CP} ^{4}$
^ В более общем смысле, такие пространства модулей строятся с использованием проективной эквивалентности схем в фиксированном проективном пространстве на фиксированной гильбертовой схеме.
^ Jump up to: ^а ^б ^с Кокс, Дэвид А.; Кац, Шелдон (1999). Зеркальная симметрия и алгебраическая геометрия . Американское математическое общество. ISBN 978-0-8218-2127-5 . OCLC 903477225 .
^ Jump up to: ^а ^б Пандхарипанде, Рахул; Хори, Кентаро (2003). Зеркальная симметрия . Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. ISBN 0-8218-2955-6 . OCLC 52374327 .
^ Гамильтон, MJD (24 июля 2020 г.). «Бозон Хиггса для математиков. Конспект лекций по калибровочной теории и нарушению симметрии». arXiv : 1512.02632 [ math.DG ].
^ Макдафф, Дуса (2012). J-голоморфные кривые и симплектическая топология . Саламон, Д. (Дитмар) (2-е изд.). Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. ISBN 978-0-8218-8746-2 . OCLC 794640223 .
^ Концевич, М.; Манин, Ю (1994). «Классы Громова-Виттена, квантовые когомологии и перечислительная геометрия» . Связь в математической физике . 164 (3): 525–562. arXiv : hep-th/9402147 . Бибкод : 1994CMaPh.164..525K . дои : 10.1007/BF02101490 . ISSN 0010-3616 . S2CID 18626455 .

Книги/Заметки

Зеркальная симметрия - Института математики Клэя электронная книга
Зеркальная симметрия и алгебраическая геометрия - Кокс, Кац
О работах Гивенталя относительно зеркальной симметрии

Первые доказательства

Эквивариант Громова - Инварианты Виттена - оригинальное доказательство Гивенталя проективных полных пересечений.
Зеркальная формула для тройных многообразий пятой степени.
Рациональные кривые на гиперповерхностях (по А. Гивенталю) - объяснение доказательства Гивенталя
Принцип зеркала I - доказательство Лиана, Лю и Яу, устраняющее пробелы в доказательстве Гивенталя. Его доказательство потребовало неразвитой теории гомологии Флоера.
Двойные многогранники и зеркальная симметрия для гиперповерхностей Калаби-Яу в торических многообразиях - первая общая конструкция зеркальных многообразий для гиперповерхностей Калаби-Яу в торических многообразиях
Зеркальная симметрия абелевых многообразий

Производная геометрия в зеркальной симметрии

Заметки о суперсимметричных и голоморфных теориях поля в размерностях 2 и 4.

Исследовать

Зеркальная симметрия: от категорий к подсчету кривых - связь между гомологической зеркальной симметрией и классической зеркальной симметрией
Внутренняя зеркальная симметрия и проколотые инварианты Громова-Виттена.

Гомологическая зеркальная симметрия

[:0-1] Jump up to: ^а ^б Канделас, Филип; Де Ла Осса, Ксения К.; Грин, Пол С.; Паркс, Линда (29 июля 1991 г.). «Пара многообразий Калаби-Яу как точно разрешимая суперконформная теория». Ядерная физика Б . 359 (1): 21–74. Бибкод : 1991НуФБ.359...21С . дои : 10.1016/0550-3213(91)90292-6 . ISSN 0550-3213 .

[:3-2] Jump up to: ^а ^б ^с Ору, Деннис. «Трехкратный Квинтик и его зеркало» (PDF) .

[3] Кац, Шелдон (29 декабря 1993 г.). «Рациональные кривые в трехмерных многообразиях Калаби-Яу». arXiv : alg-geom/9312009 .

[4] например, многообразие Калаби-Яу как множество является подмножеством комплексного проективного пространства. $\{[x_{0}:x_{1}:x_{2}:x_{3}:x_{4}]\in \mathbb {CP} ^{4}:x_{0}^{5}+x_{1}^{5}+x_{2}^{5}+x_{3}^{5}+x_{4}^{5}=0\}$

[:2-5] Jump up to: ^а ^б Моррисон, Дэвид Р. (1993). «Зеркальная симметрия и рациональные кривые на тройных многообразиях пятой степени: руководство для математиков». Дж. Амер. Математика. Соц . 6 : 223–247. arXiv : alg-geom/9202004 . дои : 10.1090/S0894-0347-1993-1179538-2 . S2CID 9228037 .

[6] Что можно рассматривать как $\mathbb {C} ^{*}$ - действие по $\mathbb {C} ^{5}-\{0\}$ построение сложного проективного пространства $\mathbb {CP} ^{4}$

[7] В более общем смысле, такие пространства модулей строятся с использованием проективной эквивалентности схем в фиксированном проективном пространстве на фиксированной гильбертовой схеме.

[:4-8] Jump up to: ^а ^б ^с Кокс, Дэвид А.; Кац, Шелдон (1999). Зеркальная симметрия и алгебраическая геометрия . Американское математическое общество. ISBN 978-0-8218-2127-5 . OCLC 903477225 .

[:1-9] Jump up to: ^а ^б Пандхарипанде, Рахул; Хори, Кентаро (2003). Зеркальная симметрия . Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. ISBN 0-8218-2955-6 . OCLC 52374327 .

[10] Гамильтон, MJD (24 июля 2020 г.). «Бозон Хиггса для математиков. Конспект лекций по калибровочной теории и нарушению симметрии». arXiv : 1512.02632 [ math.DG ].

[11] Макдафф, Дуса (2012). J-голоморфные кривые и симплектическая топология . Саламон, Д. (Дитмар) (2-е изд.). Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. ISBN 978-0-8218-8746-2 . OCLC 794640223 .

[12] Концевич, М.; Манин, Ю (1994). «Классы Громова-Виттена, квантовые когомологии и перечислительная геометрия» . Связь в математической физике . 164 (3): 525–562. arXiv : hep-th/9402147 . Бибкод : 1994CMaPh.164..525K . дои : 10.1007/BF02101490 . ISSN 0010-3616 . S2CID 18626455 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]