Виртуальный фундаментальный класс

В математике , особенно в перечислительной геометрии , виртуальный фундаментальный класс $[X]_{E^{\bullet }}^{\text{vir}}$ пространства $X$ является заменой классического фундаментального класса $[X]\in A^{*}(X)$ в своем кольце Чоу , которое ведет себя лучше по отношению к рассматриваемым перечислительным задачам. Таким образом, существует цикл, который можно использовать для ответа на конкретные перечислимые задачи, такие как количество степеней. $d$ рациональные кривые на трехмерном многообразии пятой степени . Например, в теории Громова–Виттена Концевича пространства модулей

${\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}(X,\beta )$

для $X$ схема и $\beta$ класс в $A_{1}(X)$, их поведение на границе может быть диким, например ^{стр. 503} имеющие на границе компоненты более высокой размерности, чем в основном пространстве. Один из таких примеров находится в пространстве модулей

${\overline {\mathcal {M}}}_{1,n}(\mathbb {P} ^{2},1[H])$

для $H$ класс строки в $\mathbb {P} ^{2}$. Некомпактная «гладкая» компонента пуста, но граница содержит карты кривых.

$f:C\to \mathbb {P} ^{2}$

компоненты которого состоят из одной кривой степени 3, стягивающейся в точку. Существует виртуальный фундаментальный класс, который затем можно использовать для подсчета количества кривых в этом семействе.

Геометрическая мотивация

Мы можем понять мотивацию определения виртуального фундаментального класса. ^{стр. 10} рассматривая, какую ситуацию следует имитировать для простого случая (например, плавного полного пересечения). Предположим, у нас есть разнообразие $X$ (представляющее грубое пространство некоторой задачи о модулях ${\mathcal {X}}$), которое вырезано из окружающего гладкого пространства $Y$ по разделу $s$ ранга- $r$ векторный пучок $E\to Y$. Затем $X$ имеет «виртуальное измерение» $(n-r)$ (где $n$ это размерность $Y$). Это тот случай, если $s$ является поперечным сечением, но если $s$ нет, и он находится в подгруппе $E'\subset E$ где он трансверсален, то мы можем получить цикл гомологии, рассматривая класс Эйлера расслоения коядра $E/E'$ над $X$. Этот пакет действует как обычный пакет $X$ в $Y$.

Теперь эта ситуация рассматривается в теории пересечения Фултона-Макферсона, рассматривая индуцированный конус $E|_{X}$ и глядя на пересечение индуцированного сечения $s$ на индуцированном конусе и нулевом сечении, давая цикл на $X$. Если нет очевидного окружающего пространства $Y$ для которого существует вложение, мы должны полагаться на методы теории деформации, чтобы построить этот цикл в пространстве модулей, представляющем фундаментальный класс. Теперь в случае, когда у нас есть раздел $s:Y\to E$ вырезание $X$, существует точная последовательность из четырех членов

$0\to T_{X}\to T_{Y}|_{X}\xrightarrow {ds} E|_{X}\to {\text{ob}}\to 0$

где последний член представляет собой «пучок препятствий». Для общего случая существует точная последовательность

$0\to {\mathcal {T}}_{1}\to E_{1}\to E_{2}\to {\mathcal {T}}_{2}\to 0$

где $E_{1},E_{2}$ действовать аналогично $T_{Y}|_{X},E|_{X}$ и ${\mathcal {T}}_{1},{\mathcal {T}}_{2}$ действуют как касательный и препятствующий пучки. Обратите внимание, что конструкция Беренда-Фантечи представляет собой дуализацию точной последовательности, приведенной в конкретном примере выше. ^{стр. 44} .

Замечания по поводу определений и особых случаев

Существует несколько определений виртуальных фундаментальных классов. все из которых включены в определение морфизмов стеков Делиня-Мамфорда с использованием внутреннего нормального конуса и идеальной теории препятствий , но первые определения более пригодны для построения простых примеров для определенных типов схем, например схем с компонентами. различной размерности. Таким образом, структура виртуальных фундаментальных классов становится более прозрачной, что дает больше понимания их поведения и структуры.

Виртуальный фундаментальный класс вложения в гладкую схему

Одно из первых определений виртуального фундаментального класса. ^{стр. 10} относится к следующему случаю: предположим, что у нас есть вложение схемы $X$ в плавную схему $Y$

$i:X\hookrightarrow Y$

и векторное расслоение (называемое расслоением препятствий )

$\pi :E_{X/Y}\to X$

такой, что нормальный конус $C_{X/Y}$ встраивается в $E_{X/Y}$ над $X$. Один естественный кандидат на такой пучок препятствий, если задан формулой

$E_{X/Y}=\bigoplus _{j=1}^{r}i^{*}{\mathcal {O}}_{Y}(-D_{j})$

для делителей, связанных с ненулевым набором образующих $f_{1},\ldots ,f_{r}$ для идеала ${\mathcal {I}}_{X/Y}$. Затем мы можем построить виртуальный фундаментальный класс $X$ используя обобщенный морфизм Гайзина, заданный композицией

$A_{*}(Y)\xrightarrow {\sigma } A_{*}(C_{X/Y})\xrightarrow {i_{*}} A_{*}(E_{X/Y})\xrightarrow {0_{E_{X/Y}}^{!}} A_{*-r}(X)$

обозначенный $f_{E_{X/Y}}^{!}$, где $\sigma$ это карта, данная

$\sigma ([V])=[C_{V\cap X}V]$

и $0_{E_{X/Y}}^{!}$является обратным изоморфизму плоского обратного образа

$\pi ^{*}:A_{k-r}(X)\to A_{k}(E_{X/Y})$.

Здесь мы используем $0$ в карте, поскольку оно соответствует нулевой секции векторного расслоения. Затем виртуальный фундаментальный класс предыдущей настройки определяется как

$[X]_{E_{X/Y}}^{\text{vir}}:=f_{E_{X/Y}}^{!}([Y])$

который представляет собой обобщенный морфизм Гайзина фундаментального класса $Y$.

Замечания по построению

Первое отображение в определении морфизма Гайзина соответствует специализации на нормальном конусе ^{стр. 89} , который по сути является первой частью стандартного морфизма Гайзина, определенного в Фултоне. ^{стр. 90} . Но поскольку мы не работаем с гладкими многообразиями, конструкция конуса Фултона не работает, поскольку она давала бы $C_{X/Y}\cong N_{X/Y}$, следовательно, нормальный расслоение может действовать как расслоение препятствий. Таким образом, на промежуточном этапе использования специализации нормального конуса сохраняются только данные теории пересечений $Y$ соответствует сорту $X$.

См. также

• Группа Chow стека

Ссылки

• Виртуальные фундаментальные классы, глобальные нормальные конусы и канонические классы Фултона.