Стек Делиня – Мамфорда

В алгебраической геометрии стек Делиня – Мамфорда представляет собой стек F такой, что

1. диагональный морфизм $F\to F\times F$ представима . , квазикомпактна и разделена
2. Существует схема U и этальное сюръективное отображение. $U\to F$ (так называемый атлас ).

Пьер Делинь и Дэвид Мамфорд ввели это понятие в 1969 году, когда доказали, что пространства модулей стабильных кривых фиксированного арифметического рода являются собственными гладкими стопками Делиня – Мамфорда.

Если «этальный» ослаблен до « гладкого », то такой стек называется алгебраическим стеком (также называемым стеком Артина, в честь Майкла Артина ). Алгебраическое пространство — это Делинь–Мамфорд.

Ключевой факт о стеке Делиня–Мамфорда F заключается в том, что любой X в $F(B)$, где B квазикомпактно, имеет лишь конечное число автоморфизмов.Стек Делиня-Мамфорда допускает представление группоидом ; см. схему группоида .

Примеры

Аффинные стеки

Стеки Делиня – Мамфорда обычно строятся путем взятия фактора стека некоторого сорта, где стабилизаторами являются конечные группы. Например, рассмотрим действие циклической группы $C_{n}=\langle a\mid a^{n}=1\rangle$ на $\mathbb {C} ^{2}$ данный

$$a\cdot \colon (x,y)\mapsto (\zeta _{n}x,\zeta _{n}y).$$

Тогда коэффициент стека $[\mathbb {C} ^{2}/C_{n}]$ представляет собой аффинный гладкий стек Делиня–Мамфорда с нетривиальным стабилизатором в начале координат. Если мы хотим думать об этом как о категории, расслоенной на группоиды по $({\text{Sch}}/\mathbb {C} )_{fppf}$ потом даю схему $S\to \mathbb {C}$ более высокая категория определяется выражением

$${\text{Spec}}(\mathbb {C} [s]/(s^{n}-1))\times {\text{Spec}}(\mathbb {C} [x,y])(S)\rightrightarrows {\text{Spec}}(\mathbb {C} [x,y])(S).$$

Обратите внимание, что мы могли бы быть немного более общими, если бы рассматривали групповое действие на $\mathbb {A} ^{2}\in {\text{Sch}}/{\text{Spec}}(\mathbb {Z} [\zeta _{n}])$.

линия

Неаффинные примеры возникают при выборе фактора стека для взвешенного проективного пространства/многообразия. Например, пространство $\mathbb {P} (2,3)$ строится по фактору стека $[\mathbb {C} ^{2}-\{0\}/\mathbb {C} ^{*}]$ где $\mathbb {C} ^{*}$- действие задается

$$\lambda \cdot (x,y)=(\lambda ^{2}x,\lambda ^{3}y).$$

Обратите внимание: поскольку этот фактор не принадлежит конечной группе, нам приходится искать точки со стабилизаторами и соответствующие им группы стабилизаторов. Затем $(x,y)=(\lambda ^{2}x,\lambda ^{3}y)$ тогда и только тогда, когда $x=0$ или $y=0$ и $\lambda =\zeta _{3}$ или $\lambda =\zeta _{2}$соответственно, показывая, что единственные стабилизаторы конечны, следовательно, стек Делиня – Мамфорда.

Стекистая кривая

Основная статья: Stacky Curve

Непример

Один простой пример стека Делиня – Мамфорда: $[pt/\mathbb {C} ^{*}]$ так как у этого есть бесконечный стабилизатор. Стеки этой формы являются примерами стеков Артина.

Ссылки

• Делинь, Пьер ; Мамфорд, Дэвид (1969), «Неприводимость пространства кривых данного рода» , Publications Mathématiques de l'IHÉS , 36 (1): 75–109, CiteSeerX   10.1.1.589.288 , doi : 10.1007/BF02684599 , MR   0262240