Алгебраическое пространство

В математике . алгебраические пространства образуют обобщение схем алгебраической геометрии , введенных Майклом Артином для использования в теории деформаций . Интуитивно, схемы задаются путем склейки аффинных схем с использованием топологии Зарисского , а алгебраические пространства задаются путем склейки аффинных схем с использованием более тонкой этальной топологии . В качестве альтернативы можно думать о схемах как о локально изоморфных аффинным схемам в топологии Зарисского, тогда как алгебраические пространства локально изоморфны аффинным схемам в этальной топологии.

Полученная категория алгебраических пространств расширяет категорию схем и позволяет осуществлять некоторые естественные конструкции, которые используются при построении пространств модулей , но не всегда возможны в меньшей категории схем, например, факторизация свободного действия. ( конечной группой см. теорему Киля–Мори ).

Определение

Существует два распространенных способа определения алгебраических пространств: их можно определить либо как факторы схем по этальным отношениям эквивалентности, либо как пучки на большом этальном узле , локально изоморфные схемам. Эти два определения по сути эквивалентны.

пространства как

Алгебраическое пространство X состоит из схемы U и замкнутой подсхемы R ⊆ U × U , удовлетворяющей следующим двум условиям:

1. R — отношение эквивалентности как подмножество U × U

Проекции pi _→ : R 2. U на каждый фактор являются этальными отображениями .

Некоторые авторы, такие как Кнутсон, добавляют дополнительное условие, согласно которому алгебраическое пространство должно быть квазиразделенным , а это означает, что диагональное отображение квазикомпактно.

Всегда можно предположить, что R и U — аффинные схемы . Это означает, что теория алгебраических пространств не зависит от полной теории схем и действительно может использоваться как (более общая) замена этой теории.

Если R — тривиальное отношение эквивалентности для каждого связного компонента U (т.е. для всех x , y, принадлежащих одному и тому же связному компоненту U , мы имеем xRy тогда и только тогда, когда x = y ), то алгебраическое пространство будет схемой в обычный смысл. Поскольку общее алгебраическое пространство X не удовлетворяет этому требованию, оно позволяет одной компоненте связности множеством « листов U покрывать X ». Тогда множество точек, лежащих в основе алгебраического пространства X , задается формулой | У | / | р | как набор классов эквивалентности .

Пусть Y — алгебраическое пространство, определенное отношением эквивалентности S ⊂ V × V . Тогда множество Hom( Y , X ) морфизмов алгебраических пространств определяется условием, что оно делает последовательность спуска

$\mathrm {Hom} (Y,X)\rightarrow \mathrm {Hom} (V,X){{{} \atop \longrightarrow } \atop {\longrightarrow \atop {}}}\mathrm {Hom} (S,X)$

точное (это определение мотивировано теоремой Гротендика о спуске для сюръективных этальных отображений аффинных схем). Благодаря этим определениям алгебраические пространства образуют категорию .

Пусть U — аффинная схема над полем k, системой многочленов g ( x ), x = ( x1 _{заданным} ,..., ) _xn , пусть

$k\{x_{1},\ldots ,x_{n}\}\$

обозначим кольцо алгебраических функций от x над k и пусть X = { R ⊂ U × U } — алгебраическое пространство.

Соответствующие слои Õ _{X , x} на X затем определяются как локальные кольца алгебраических функций, определяемые Õ _{U , u} , где u ∈ U — точка, лежащая над x, а Õ _{U , u} соответствующее u — локальное кольцо , кольцо

k { Икс ₁ , ..., Икс _п } / ( г )

алгебраических функций на U .

Точка в алгебраическом пространстве называется гладкой, если Õ _{X , x} ≅ k { z ₁ , ..., z _d } для некоторых неопределенных z ₁ , ..., z _d . Тогда размерность X в точке x определяется как d .

Морфизм f : Y → X алгебраических пространств называется этальным в точке y ∈ Y (где x = f ( y )), если индуцированное отображение на слоях

Õ _{X , x} → Õ _{Y , y}

является изоморфизмом.

Структурный пучок O _X на алгебраическом пространстве X определяется путем сопоставления кольца функций O ( V ) на V (задаваемого этальными отображениями V в аффинную прямую A ¹ в только что определенном смысле) к любому алгебраическому пространству V этальному над X. ,

Алгебраические пространства как пучки

Алгебраическое пространство ${\mathfrak {X}}$ можно определить как пучок множеств

${\mathfrak {X}}:({\text{Sch}}/S)_{\text{et}}^{op}\to {\text{Sets}}$

такой, что

1. Существует плоский сюръективный морфизм $h_{X}\to {\mathfrak {X}}$
2. диагональный морфизм $\Delta _{{\mathfrak {X}}/S}:{\mathfrak {X}}\to {\mathfrak {X}}\times {\mathfrak {X}}$ является представительным.

Второе условие эквивалентно тому свойству, что для любых схем $Y,Z$ и морфизмы $h_{Y},h_{Z}\to {\mathfrak {X}}$, их волокно-продукт снопов

$h_{Y}\times _{\mathfrak {X}}h_{Z}$

представима схемой над $S$. Обратите внимание, что некоторые авторы, такие как Кнутсон, добавляют дополнительное условие, согласно которому алгебраическое пространство должно быть квазиразделенным , а это означает, что диагональное отображение квазикомпактно.

Алгебраические пространства и схемы

Алгебраические пространства подобны схемам, и большая часть теории схем распространяется на алгебраические пространства. Например, большинство свойств морфизмов схем применимо и к алгебраическим пространствам, можно определить когомологии квазикогерентных пучков, это имеет обычные свойства конечности для собственных морфизмов и т. д.

• Собственные алгебраические пространства над полем размерности один (кривые) являются схемами.
• Неособые собственные алгебраические пространства размерности два над полем (гладкие поверхности) являются схемами.
• Квазиотделенные групповые объекты в категории алгебраических пространств над полем являются схемами, хотя существуют не квазиотделенные групповые объекты, которые не являются схемами.
• Объекты коммутативной группы в категории алгебраических пространств над произвольной схемой, являющиеся собственными, локально конечными представлениями, плоскими и когомологически плоскими в размерности 0, являются схемами.
• Не каждая особая алгебраическая поверхность является схемой.
• Пример Хиронаки можно использовать для создания неособого трехмерного собственного алгебраического пространства, которое не является схемой, заданной фактором схемы по группе порядка 2, действующей свободно. Это иллюстрирует одно различие между схемами и алгебраическими пространствами: фактор алгебраического пространства по дискретной группе, действующей свободно, является алгебраическим пространством, но фактор схемы по дискретной группе, действующей свободно, не обязательно должен быть схемой (даже если группа конечно).
• Каждое квазиотдельное алгебраическое пространство содержит плотную открытую аффинную подсхему, и дополнение такой подсхемы всегда имеет коразмерность ≥ 1. Таким образом, алгебраические пространства в некотором смысле «близки» к аффинным схемам.
• Фактор комплексных чисел по решетке является алгебраическим пространством, но не является эллиптической кривой, хотя соответствующее аналитическое пространство является эллиптической кривой (или, точнее, является образом эллиптической кривой под действием функтора из комплексных алгебраических пространств в аналитические пространства). На самом деле этот фактор алгебраического пространства не является схемой, не является полным и даже не квазиотделимым. Это показывает, что, хотя фактор алгебраического пространства по бесконечной дискретной группе является алгебраическим пространством, он может иметь странные свойства и может не быть тем алгебраическим пространством, которое «ожидали». Аналогичные примеры дают частное комплексной аффинной прямой по целым числам или частное комплексной аффинной прямой за вычетом начала координат по степеням некоторого числа: опять же, соответствующее аналитическое пространство является многообразием, а алгебраическое пространство - нет.

Алгебраические пространства и аналитические пространства

Алгебраические пространства над комплексными числами тесно связаны с аналитическими пространствами и многообразиями Мойшезона .

Грубо говоря, разница между комплексными алгебраическими пространствами и аналитическими пространствами состоит в том, что комплексные алгебраические пространства образуются путем склейки аффинных частей с помощью этальной топологии, а аналитические пространства образуются путем склейки с классической топологией. В частности, существует функтор от комплексных алгебраических пространств конечного типа к аналитическим пространствам. Многообразия Хопфа дают примеры аналитических поверхностей, которые не происходят из собственного алгебраического пространства (хотя можно построить несобственные и неразделенные алгебраические пространства, аналитическим пространством которых является поверхность Хопфа). Также возможно, что разные алгебраические пространства соответствуют одному и тому же аналитическому пространству: например, эллиптическая кривая и фактор C по соответствующей решетке не изоморфны как алгебраические пространства, но соответствующие аналитические пространства изоморфны.

Артин показал, что собственные алгебраические пространства над комплексными числами более или менее аналогичны пространствам Мойшезона.

Обобщение

Далеко идущее обобщение алгебраических пространств дают алгебраические стеки . В категории стопок мы можем образовать даже больше частных групповыми действиями, чем в категории алгебраических пространств (полученное частное называется фактор-стеком ).

Ссылки

• Артин, Майкл (1969), «Теорема о неявной функции в алгебраической геометрии», в Абхьянкаре, Шрирам Шанкар (ред.), Алгебраическая геометрия: статьи, представленные на Бомбейском коллоквиуме, 1968 г. , Института фундаментальных исследований Таты в области математики, том . 4, Oxford University Press , стр. 13–34, MR   0262237.
• Артин, Майкл (1971), Алгебраические пространства , Йельские математические монографии, том. 3, издательство Йельского университета, ISBN  978-0-300-01396-2 , МР   0407012
• Кнутсон, Дональд (1971), Алгебраические пространства , Конспекты лекций по математике, том. 203, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , номер номера : 10.1007/BFb0059750 , ISBN.  978-3-540-05496-2 , МР   0302647

Внешние ссылки

• Данилов, В.И. (2001) [1994], «Алгебраическое пространство» , Энциклопедия Математики , EMS Press
• Алгебраическое пространство в проекте stacks