Аналитическое пространство

Аналитическое пространство — это обобщение аналитического многообразия , допускающее особенности . Аналитическое пространство — это пространство, которое локально совпадает с аналитическим многообразием . Они играют важную роль при изучении нескольких сложных переменных , но появляются и в других контекстах.

Определение

Зафиксируйте поле k со оценкой. Предположим, что поле является полным и не дискретным относительно этой оценки. Например, сюда входят R и C относительно их обычных абсолютных значений, а также поля рядов Пюизо относительно их натуральных значений.

Пусть U — открытое подмножество k ^н, и пусть f ₁ , ..., f _k — набор аналитических функций на U . Обозначим через Z общее исчезающее множество f ₁ , ..., f _k , т. е. пусть Z = { x | ж ₁ ( Икс ) знак равно ... знак равно ж _k ( Икс ) знак равно 0 }. Z — аналитическое многообразие.

что структурный пучок U Предположим , есть ${\mathcal {O}}_{U}$ . Тогда Z имеет структурный пучок ${\mathcal {O}}_{Z}={\mathcal {O}}_{U}/{\mathcal {I}}_{Z}$ , где ${\mathcal {I}}_{Z}$ — идеал, порожденный f ₁ , ..., f _k . Другими словами, структурный пучок Z состоит из всех функций на U возможных различий за пределами Z. по модулю

Аналитическое пространство — это локально окольцованное пространство. $(X,{\mathcal {O}}_{X})$ такой, что вокруг каждой точки x из X существует открытая окрестность U такая, что $(U,{\mathcal {O}}_{U})$ изоморфно (как локально окольцованные пространства) аналитическому многообразию со своим структурным пучком. Такой изоморфизм называется локальной моделью в X точке x .

Аналитическое отображение или морфизм аналитических пространств — это морфизм локально окольцованных пространств.

Это определение аналогично определению схемы . Разница лишь в том, что для схемы локальные модели представляют собой спектры колец , тогда как для аналитического пространства локальные модели являются аналитическими многообразиями. По этой причине основные теории аналитических пространств и схем очень схожи. Более того, аналитические многообразия ведут себя гораздо проще, чем произвольные коммутативные кольца (например, аналитические многообразия определены над полями и всегда конечномерны), поэтому аналитические пространства ведут себя очень похоже на схемы конечного типа над полем.

Основные результаты

Каждая точка аналитического пространства имеет локальную размерность. Размерность в точке x находится путем выбора локальной модели в точке x и определения локальной размерности аналитического многообразия в точке, соответствующей x .

Каждая точка аналитического пространства имеет касательное пространство . Если x — точка X , а m _x — идеальный пучок всех функций, исчезающих в точке x , то кокасательное пространство в точке x равно m _x / m _x.². Касательное пространство равно ( m _x / m _x²) ^*, векторное пространство, двойственное к кокасательному пространству. Аналитические отображения вызывают отображения прямого продвижения в касательных пространствах и отображения обратного хода в кокасательных пространствах.

Размерность касательного пространства в точке x называется размерностью вложения в точке x . Глядя на локальную модель, легко увидеть, что размерность всегда меньше или равна размерности внедрения.

Гладкость

Аналитическое пространство называется гладким в точке x, если оно имеет локальную модель в точке x , которая является открытым подмножеством k. ^н для некоторых н . Аналитическое пространство называется гладким, если оно гладко в каждой точке, и в этом случае оно является аналитическим многообразием . Подмножество точек, в которых аналитическое пространство не является гладким, является замкнутым аналитическим подмножеством.

Аналитическое пространство является редуцированным , если каждая локальная модель пространства определяется радикальным пучком идеалов. аналитическое пространство X Нередуцированное имеет редукцию X _red , уменьшенное аналитическое пространство с тем же базовым топологическим пространством. Существует канонический морфизм r : X _red → X . Каждый морфизм из X в приведенное аналитическое пространство факторизуется через r .

Аналитическое пространство является нормальным , если каждый слой структурного пучка является нормальным кольцом (имеется в виду целозамкнутая область целостности). В нормальном аналитическом пространстве сингулярное пространство имеет коразмерность не менее двух. Когда X является локальным полным пересечением в точке x , тогда X является нормальным в точке x .

Ненормальные аналитические пространства можно сгладить до нормальных каноническим способом. Эта конструкция называется нормализацией . Нормализация N ( X аналитического пространства X сопровождается каноническим отображением ν: N ( X ) → X. ) Каждый доминантный морфизм нормального аналитического пространства в X факторизуется через ν.

Когерентные пучки

Аналитическое пространство является когерентным, если его структурный пучок ${\mathcal {O}}$ представляет собой связный пучок . Связный пучок ${\mathcal {O}}$ -модулей называется когерентным аналитическим пучком . Например, в когерентном пространстве локально свободные пучки и пучки идеалов являются когерентными аналитическими пучками.

Аналитические пространства над алгебраически замкнутыми полями когерентны. В сложном случае это известно как теорема когерентности Оки . Это неверно для неалгебраически замкнутых полей; есть примеры реальных аналитических пространств, которые не являются когерентными.

Обобщения

В некоторых ситуациях концепция аналитического пространства является слишком ограничительной. Часто это происходит потому, что основное поле имеет дополнительную структуру, которая не фиксируется аналитическими наборами. В таких ситуациях существуют обобщения аналитических пространств, которые обеспечивают большую гибкость в пространствах локальных моделей.

Например, над действительными числами рассмотрим круг x ² + и ² = 1 . Окружность — это аналитическое подмножество аналитического пространства R ². Но его проекция на ось x — это замкнутый интервал [−1, 1] , который не является аналитическим множеством. Поэтому образ аналитического множества при аналитическом отображении не обязательно является аналитическим множеством. Этого можно избежать, работая с субаналитическими множествами , которые гораздо менее жестки, чем аналитические множества, но не определены над произвольными полями. Соответствующее обобщение аналитического пространства является субаналитическим пространством. (Однако при мягких гипотезах топологии точечного множества оказывается, что субаналитические пространства по существу эквивалентны субаналитическим множествам.)

См. также

Ссылки

Онищик А.Л. (2001) [1994], «Аналитическое пространство» , Энциклопедия Математики , EMS Press
Пономарев, Д.А. (2001) [1994], «Реально-аналитическое пространство» , Энциклопедия Математики , EMS Press