Комплексное аналитическое разнообразие

В математике , и в частности в дифференциальной геометрии и комплексной геометрии , — комплексное аналитическое многообразие. или комплексное аналитическое пространство — это обобщение комплексного многообразия , допускающее наличие особенностей . Комплексные аналитические многообразия — это локально окольцованные пространства , локально изоморфные локальным модельным пространствам, где локальное модельное пространство — это открытое подмножество исчезающего локуса конечного набора голоморфных функций .

Определение

Обозначим постоянный пучок в топологическом пространстве со значением $\mathbb {C}$ к ${\underline {\mathbb {C} }}$. А $\mathbb {C}$-space — локально окольцованное пространство $(X,{\mathcal {O}}_{X})$, структурный пучок которого является алгеброй над ${\underline {\mathbb {C} }}$.

Выберите открытое подмножество $U$ некоторого сложного аффинного пространства $\mathbb {C} ^{n}$и зафиксируем конечное число голоморфных функций $f_{1},\dots ,f_{k}$ в $U$. Позволять $X=V(f_{1},\dots ,f_{k})$ — общее место схода в нуль этих голоморфных функций, т. е. $X=\{x\mid f_{1}(x)=\cdots =f_{k}(x)=0\}$. Определить связку колец на $X$ позволяя ${\mathcal {O}}_{X}$ быть ограничением на $X$ из ${\mathcal {O}}_{U}/(f_{1},\ldots ,f_{k})$, где ${\mathcal {O}}_{U}$ – пучок голоморфных функций на $U$. Затем местные окольцовали $\mathbb {C}$-космос $(X,{\mathcal {O}}_{X})$ — это локальное модельное пространство .

Комплексное аналитическое многообразие — это локально кольцевое $\mathbb {C}$-космос $(X,{\mathcal {O}}_{X})$ локально изоморфно локальному модельному пространству.

Морфизмы комплексных аналитических многообразий определяются как морфизмы лежащих в основе локально окольцованных пространств; их также называют голоморфными отображениями. Структурный пучок может иметь нильпотентный элемент, а также, когда комплексное аналитическое пространство, пучок структур которого редуцируется, то и комплексное аналитическое пространство редуцируется, т. е. комплексное аналитическое пространство не может быть редуцировано.

Соответствующее комплексное аналитическое пространство (разновидность) $X_{h}$ такое, что;

Пусть X — схемы конечного типа над $\mathbb {C}$и покроем X открытым аффинным подмножеством $Y_{i}=\operatorname {Spec} A_{i}$ ( $X=\cup Y_{i}$) ( Спектр кольца ). Затем каждый $A_{i}$ является алгеброй конечного типа над $\mathbb {C}$, и $A_{i}\simeq \mathbb {C} [z_{1},\dots ,z_{n}]/(f_{1},\dots ,f_{m})$. Где $f_{1},\dots ,f_{m}$ полиномиальны по $z_{1},\dots ,z_{n}$, которую можно рассматривать как голоморфную функцию на $\mathbb {C}$. Поэтому их общим нулем множества является комплексное аналитическое подпространство $(Y_{i})_{h}\subseteq \mathbb {C}$. Здесь схема X получена склейкой данных множества $Y_{i}$, а затем те же данные можно использовать для склейки комплексного аналитического пространства $(Y_{i})_{h}$ в сложное аналитическое пространство $X_{h}$, поэтому мы называем $X_{h}$ ассоциированное комплексное аналитическое пространство с X. Комплексное аналитическое пространство X редуцируется тогда и только тогда, когда ассоциированное комплексное аналитическое пространство $X_{h}$ уменьшенный.

См. также

• Алгебраическое многообразие . Грубо говоря, (комплексное) аналитическое многообразие — это нулевой локус множества (комплексной) аналитической функции, тогда как алгебраическое многообразие — это нулевой локус множества полиномиальной функции, допускающий особую точку.
• Аналитическое пространство
• Комплексное алгебраическое многообразие
• ГАГА
• Жесткое аналитическое пространство

Ссылки

• Арока, Хосе Мануэль; Хиронака, Хейсуке; Висенте, Хосе Луис (3 ноября 2018 г.). Комплексная аналитическая десингуляризация . дои : 10.1007/978-4-431-49822-3 . ISBN  978-4-431-49822-3 .
• Блум, Томас; Кузнец, Майкл (1969). «Когомологии Де Рама аналитического пространства » изобретения Математические 7 (4): 275–296. Бибкод : 1969InMat...7..275B . дои : 10.1007/BF01425536 . S2CID   122113902 .
• Картан, Х .; Брюа, Ф.; Серф, Жан; Дольбо, П.; Френкель, Жан; Эрве, Мишель; Больной.; Серр, Дж.П. «Семинар Анри Картана, том 4 (1951–1952)» . (№10-13)
• Фишер, Г. (14 ноября 2006 г.). Сложная аналитическая геометрия . Спрингер. ISBN  978-3-540-38121-1 .
• Ганнинг, Роберт Клиффорд; Росси, Хьюго (2009). «Глава III. Разнообразие (Разд. Б. Анлитическая обложка)» . Аналитические функции нескольких комплексных переменных . Американское математическое соц. ISBN  9780821821657 .
• Ганнинг, Роберт Клиффорд; Росси, Хьюго (2009). «Глава V. Анлитическое пространство» . Аналитические функции нескольких комплексных переменных . Американское математическое соц. ISBN  9780821821657 .
• Грауэрт, Ганс; Реммерт, Рейнхольд (1958). «Сложные пространства» . Математические летописи . 136 (3): 245–318. дои : 10.1007/BF01362011 . S2CID   121348794 .
• Грауэрт, Х.; Реммерт, Р. (6 декабря 2012 г.). Когерентные аналитические пучки . Спрингер. ISBN  978-3-642-69582-7 .
• Грауэрт, Х.; Петернелл, Томас; Реммерт, Р. (9 марта 2013 г.). Несколько комплексных переменных VII: Теоретико-пучковые методы в комплексном анализе . Спрингер. ISBN  978-3-662-09873-8 .
• Гротендик, Александр ; Рейно, Мишель (2002). «Плоские накрытия и фундаментальная группа §XII. Алгебраическая геометрия и аналитическая геометрия» . Плоские накрытия и фундаментальная группа (SGA 1) (на французском языке). arXiv : math/0206203 . дои : 10.1007/BFb0058656 . ISBN  978-2-85629-141-2 .
• Хартсхорн, Робин (1970). Обильные подмногообразия алгебраических многообразий . Конспект лекций по математике. Том. 156. дои : 10.1007/BFb0067839 . ISBN  978-3-540-05184-8 .
• Хартшорн, Робин (1977). Алгебраическая геометрия . Тексты для аспирантов по математике. Том. 52. Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . дои : 10.1007/978-1-4757-3849-0 . ISBN  978-0-387-90244-9 . МР   0463157 . S2CID   197660097 . Збл   0367.14001 .
• Гекльберри, Алан (2013). «Ганс Грауэрт (1930–2011)». Годовой отчет Немецкой ассоциации математиков . 115 : 21–45. arXiv : 1303.6933 . дои : 10.1365/s13291-013-0061-7 . S2CID   119685542 .
• Реммерт, Рейнхольд (1998). «От римановых поверхностей к комплексным пространствам». Семинары и конгрессы . Збл   1044.01520 .
• Серр, Жан-Пьер (1956). «Алгебраическая геометрия и аналитическая геометрия» . Анналы Института Фурье . 6 :1–42. дои : 10.5802/aif.59 . ISSN   0373-0956 . МР   0082175 .
• Тоньоли, А. (2 июня 2011 г.). Тоньоли, А. (ред.). Особенности аналитических пространств: лекции, прочитанные на летней школе Centro Internazionale Matematico Estivo (CIME), проходившей в Брессаноне (Больцано), Италия, 16-25 июня 1974 г. дои : 10.1007/978-3-642-10944-7 . ISBN  978-3-642-10944-7 .
• «Глава II. Предварительные сведения». Зариский-Разложение и Изобилие . Мемуары Математического общества Японии. Том. 14. Математическое общество Японии. 2004. стр. 13–78. doi : 10.2969/msjmemoirs/01401C020 . ISBN  978-4-931469-31-0 .
• Флорес, Артуро Джайлс; Тейсье, Бернар (2018). «Локальные полярные многообразия в геометрическом изучении особенностей». Анналы факультета естественных наук Тулузы: Математика . 27 (4): 679–775. arXiv : 1607.07979 . дои : 10.5802/afst.1582 . S2CID   119150240 .

Будущее чтение

• Гекльберри, Алан (2013). «Ганс Грауэрт (1930–2011)». Годовой отчет Немецкой ассоциации математиков . 115 : 21–45. дои : 10.1365/s13291-013-0061-7 . S2CID   256084531 .

Внешние ссылки

• Киран Кедлайя. 18.726 Алгебраическая геометрия ( LEC № 30–33 GAGA ), весна 2009 г. Массачусетский технологический институт: MIT OpenCourseWare Creative Commons BY-NC-SA .
• Вкусные кусочки нескольких комплексных переменных (стр. 137), книга с открытым исходным кодом Иржи Лебла BY-NC-SA .
• Онищик А.Л. (2001) [1994], «Аналитическое пространство» , Энциклопедия Математики , EMS Press
• Элькин, А.Г. (2001) [1994], «Аналитическое множество» , Энциклопедия Математики , EMS Press