пространство Берковича

В математике пространство Берковича , введенное Берковичем ( 1990 ), является версией аналитического пространства над неархимедовым полем (например, p -адическим полем ), уточняя понятие Тейта о жестком аналитическом пространстве .

Мотивация

В сложном случае алгебраическая геометрия начинается с определения комплексного аффинного пространства как $\mathbb {C} ^{n}.$ Для каждого $U\subset \mathbb {C} ^{n},$ мы определяем ${\mathcal {O}}_{U},$ кольцо аналитических функций на $U$ быть кольцом голоморфных функций , т.е. функций на $U$ это можно записать в виде сходящегося степенного ряда в окрестности каждой точки.

Затем мы определяем локальное модельное пространство для $f_{1},\ldots ,f_{n}\in {\mathcal {O}}_{U}$ быть

X:=\{x\in U:f_{1}(x)=\cdots =f_{n}(x)=0\}

с ${\mathcal {O}}_{X}={\mathcal {O}}_{U}/(f_{1},\ldots ,f_{n}).$ Комплексное аналитическое пространство — это локально окольцованное пространство. $\mathbb {C}$ -космос $(Y,{\mathcal {O}}_{Y})$ которое локально изоморфно локальному модельному пространству.

Когда $k$ является полным неархимедовым полем, мы имеем, что $k$ отключен полностью . В таком случае, если мы продолжим использовать то же определение, что и в сложном случае, мы не получим хорошей аналитической теории. Беркович дал определение, которое дает хорошие аналитические пространства над такими $k$ , а также возвращает обычное определение над $\mathbb {C} .$

Помимо определения аналитических функций над неархимедовыми полями, пространства Берковича также имеют хорошее базовое топологическое пространство .

Спектр Берковича

Полунорма на кольце $A$ это непостоянная функция $|\!-\!|:A\to \mathbb {R} _{\geq 0}$ такой, что

{\begin{aligned}|0|&=0\\|1|&=1\\|f+g|&\leqslant |f|+|g|\\|fg|&\leqslant |f||g|\end{aligned}}

для всех $f,g\in A$ . Оно называется мультипликативным, если $|fg|=|f||g|$ и называется нормой , если $|f|=0$ подразумевает $f=0$ .

Если $A$ является нормированным кольцом с нормой $\|\!-\!\|$ то Берковича спектр $A$ , обозначенный ${\mathcal {M}}(A)$ , – множество мультипликативных полунорм на $A$ которые ограничены нормой $A$ .

Спектр Берковича имеет самую слабую топологию, такую, что для любого $f\in A$ карта

{\begin{cases}\varphi _{f}:{\mathcal {M}}(A)\to \mathbb {R} \\|\cdot |\mapsto |f|\end{cases}}

является непрерывным .

Спектр Берковича нормированного кольца $A$ непусто , если $A$ отличен от нуля и компактен , если $A$ завершен.

Если $x$ является точкой спектра $A$ тогда элементы $f$ с $|f|_{x}=0$ сформировать главный идеал $A$ . Поле частных частного по этому простому идеалу есть нормированное поле, пополнение которого есть полное поле с мультипликативной нормой; это поле обозначается ${\mathcal {H}}(x)$ и изображение элемента $f\in A$ обозначается $f(x)$ . Поле ${\mathcal {H}}(x)$ создается изображением $A$ .

Обратно, ограниченное отображение из $A$ к полному нормированному полю с мультипликативной нормой, порожденному образом $A$ дает точку в спектре $A$ .

Спектральный радиус $f,$

\rho (f)=\lim _{n\to \infty }\left\|f^{n}\right\|^{\frac {1}{n}}

равно

\sup _{x\in {\mathcal {M}}(A)}|f|_{x}.

Примеры

Полный по отношению к нормированию спектр поля — это одна точка, соответствующая его нормированию.
Если $A$ — коммутативная С*-алгебра , то спектр Берковича совпадает со спектром Гельфанда . Точка спектра Гельфанда по существу гомоморфизмом является $\mathbb {C}$ , а его абсолютное значение является соответствующей полунормой в спектре Берковича.
Теорема Островского показывает, что спектр Берковича целых чисел (с обычной нормой) состоит из степеней $|f|_{p}^{\varepsilon }$ обычной оценки, т. $p$ простое или $\infty$ . Если $p$ тогда это простое число $0\leqslant \varepsilon \leqslant \infty ,$ и если $p=\infty$ затем $0\leqslant \varepsilon \leqslant 1.$ Когда $\varepsilon =0$ все это совпадает с тривиальной оценкой, которая $1$ на всех ненулевых элементах. Для каждого $p$ (простое или бесконечность) мы получаем ветвь, гомеоморфную вещественному интервалу , ветви сходятся в точке, соответствующей тривиальному нормированию. Открытые окрестности тривиальных оценок таковы, что содержат все ветви, кроме конечного числа, и их пересечение с каждой ветвью открыто.

Аффинное пространство Берковича

Если $k$ — поле со нормированием , то n -мерное аффинное пространство Берковича над $k$ , обозначенный $\mathbb {A} _{k}^{n}$ , – множество мультипликативных полунорм на $k[x_{1},\ldots ,x_{n}]$ расширение нормы на $k$ .

Аффинное пространство Берковича оснащено слабейшей топологией, такой, что для любого $f\in k$ карта $\varphi _{f}:\mathbb {A} ^{n}\to \mathbb {R}$ принимая $|\cdot |\in \mathbb {A} ^{n}$ к $|f|$ является непрерывным.Это не спектр Берковича, а возрастающее объединение спектров Берковича колец степенных рядов, сходящихся в некотором шаре (поэтому он локально компактен).

Определим аналитическую функцию на открытом подмножестве $U\subset \mathbb {A} ^{n}$ как карта

f:U\to \prod _{x\in U}{\mathcal {H}}(x)

с $f(x)\in {\mathcal {H}}(x)$ , который является локальным пределом рациональных функций, т. е. таким, что каждая точка $x\in U$ имеет открытое окружение $U'\subset U$ со следующим свойством:

\forall \varepsilon >0\,\exists g,h\in {\mathcal {k}}[x_{1},\ldots ,x_{n}]:\qquad \forall x'\in U'\left(h(x')\neq 0\ \,\land \ \left|f(x')-{\frac {g(x')}{h(x')}}\right|<\varepsilon \right).

Продолжая те же определения, что и в комплексном случае, можно определить кольцо аналитических функций, локальное модельное пространство и аналитические пространства над любым полем с нормированием (можно также определить аналогичные объекты над нормированными кольцами). Это дает разумные объекты для полей, полных относительно нетривиальной оценки и кольца целых чисел. $\mathbb {Z} .$

В случае, когда $k=\mathbb {C} ,$ это даст те же объекты, что описаны в разделе мотивации.

Не все эти аналитические пространства являются аналитическими пространствами над неархимедовыми полями.

Аффинная линия Берковича

Одномерное аффинное пространство Берковича называется аффинной прямой Берковича . Когда $k$ — алгебраически замкнутое неархимедово поле, полное по нормированию, можно описать все точки аффинной прямой.

Существует каноническое вложение $k\hookrightarrow \mathbb {A} _{k}^{1}$ .

Пространство $\mathbb {A} ^{1}$ — локально компактное хаусдорфово однозначно линейно связное топологическое пространство, содержащее $k$ как плотное подпространство .

Можно также определить проективную линию Берковича $\mathbb {P} ^{1}$ путем присоединения к $\mathbb {A} ^{1}$ , соответствующим образом, точку на бесконечности. Полученное пространство представляет собой компактное хаусдорфово топологическое пространство однозначной линейной связности, содержащее $\mathbb {P} ^{1}(k)$ как плотное подпространство.

Ссылки

Бейкер, Мэтью; Конрад, Брайан ; Дасгупта, Самит ; Кедлайя, Киран С .; Тейтельбаум, Джереми (2008), Такур, Динеш С .; Савитт, Дэвид (ред.), p-адическая геометрия , серия университетских лекций, том. 45, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN. 978-0-8218-4468-7 , МР 2482343
Бейкер, Мэтью; Румели, Роберт (2010), Теория потенциала и динамика на проективной линии Берковича , Математические обзоры и монографии, том. 159, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN. 978-0-8218-4924-8 , МР 2599526
Беркович, Владимир Г. (1990), Спектральная теория и аналитическая геометрия над неархимедовыми полями , Математические обзоры и монографии, том. 33, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN. 978-0-8218-1534-2 , МР 1070709
Беркович, Владимир Г. (1993), «Этальные когомологии для неархимедовых аналитических пространств» , Publications Mathématiques de l'IHÉS (78): 5–161, ISSN 1618-1913 , MR 1259429

Внешние ссылки