Представительство Гельфанда
В математике в представление Гельфанда функциональном анализе (по имени И. М. Гельфанда ) представляет собой одно из двух:
- способ представления коммутативных банаховых алгебр как алгебр непрерывных функций;
- тот факт, что для коммутативных С*-алгебр это представление является изометрическим изоморфизмом.
В первом случае представление Гельфанда можно рассматривать как далеко идущее обобщение преобразования Фурье интегрируемой функции. В последнем случае теорема о представлении Гельфанда-Наймарка является одним из направлений развития спектральной теории нормальных операторов и обобщает понятие диагонализации нормальной матрицы .
Исторические замечания
[ редактировать ]Одно из оригинальных приложений Гельфанда (и исторически мотивировавшее большую часть изучения банаховых алгебр). [ нужна ссылка ] ) должен был дать гораздо более короткое и концептуальное доказательство знаменитой леммы Норберта Винера (см. цитату ниже), характеризующей элементы групповых алгебр L 1 ( Р ) и чьи трансляты охватывают плотные подпространства в соответствующих алгебрах.
Модельная алгебра
[ редактировать ]Для любого локально компактного хаусдорфова пространства X пространство C0 топологического ( X ) непрерывных комплекснозначных функций на X , обращающихся в нуль на бесконечности, естественным образом является коммутативной C*-алгеброй:
- Структура алгебры над комплексными числами получается путем рассмотрения поточечных операций сложения и умножения.
- Инволюция представляет собой поточечное комплексное сопряжение.
- Норма — это равномерная норма функций.
Важность X локальной компактности и Хаусдорфа состоит в том, что это превращает X в полностью регулярное пространство . В таком пространстве каждое замкнутое подмножество X является общим нулевым множеством семейства непрерывных комплекснозначных функций на X позволяет восстановить топологию X из C0 , что ( X ).
что C0 единицей ( X ) является тогда и только тогда, когда компактно , Обратите внимание , и в этом случае ( C0 X ) равно C ( X ), алгебре всех непрерывных комплекснозначных функций на X. X
Гельфандовское представление коммутативной банаховой алгебры
[ редактировать ]Позволять — коммутативная банахова алгебра , определенная над полем комплексных чисел. Ненулевой гомоморфизм алгебры (мультипликативный линейный функционал) называется персонажем ; набор всех персонажей обозначается .
Можно показать, что каждый символ на автоматически непрерывен и, следовательно, это подмножество пространства непрерывных линейных функционалов на ; более того, при использовании относительной топологииweak-* , оказывается локально компактным и хаусдорфовым. (Это следует из теоремы Банаха–Алаоглу .) Пространство компактен (в только что определенной топологии), если [ нужна ссылка ] и только если алгебра имеет элемент идентичности.
Данный , определяется функция к . Определение и топология на нем гарантируют, что непрерывен и исчезает на бесконечности [ нужна ссылка ] , и что карта определяет уменьшающий норму и сохраняющий единицу гомоморфизм алгебры из к . Этот гомоморфизм является представлением Гельфанда , и — преобразование Гельфанда элемента . В общем, представление не является ни инъективным, ни сюръективным.
В случае, когда имеет единичный элемент, существует биекция между и множество максимальных идеалов в (это основано на теореме Гельфанда–Мазура ). Как следствие, ядро представления Гельфанда можно отождествить с Джекобсона радикалом . Таким образом, представление Гельфанда инъективно тогда и только тогда, когда полупрост (Якобсон) .
Примеры
[ редактировать ]В случае, когда , групповая алгебра , затем гомеоморфен и преобразование Гельфанда это преобразование Фурье .
В случае, когда , не является сложенной группой, поэтому преобразование Гельфанда неприменимо, и поэтому неверно говорить, что преобразование Лапласа является преобразованием Гельфанда в этой алгебре. Однако это группа при умножении, в которой преобразование Гельфанда является преобразованием Меллина .
Случай C*-алгебры
[ редактировать ]В качестве мотивации рассмотрим частный случай A = C 0 ( X ). Учитывая x в X , пусть быть поточечной оценкой в точке x , т.е. . Затем является символом A , и можно показать, что все символы A имеют эту форму; более точный анализ показывает, что мы можем отождествлять Ф А с X не только как множества, но и как топологические пространства. Тогда представление Гельфанда является изоморфизмом
Спектр коммутативной C*-алгебры
[ редактировать ]Спектр * -гомоморфизмов или пространство Гельфанда коммутативной C*-алгебры A , обозначаемой Â , состоит из множества ненулевых из A в комплексные числа. спектра называются символами на A. Элементы (Можно показать, что каждый гомоморфизм алгебры из A в комплексные числа автоматически является *-гомоморфизмом , так что это определение термина «характер» согласуется с приведенным выше.)
В частности, спектр коммутативной C*-алгебры представляет собой локально компактное хаусдорфово пространство: в единичном случае, т. е. когда C*-алгебра имеет мультипликативный единичный элемент 1, все характеры f должны быть единичными, т. е. f (1) это комплекс номер один. Это исключает нулевой гомоморфизм. Таким образом, Â замкнуто относительно слабой сходимости, и спектр на самом деле компактен . В неединичном случае слабое замыкание Â есть Â ∪ {0}, где 0 — нулевой гомоморфизм, а удаление одной точки из компакта дает локально компактное хаусдорфово пространство.
Обратите внимание, что спектр — это перегруженное слово. Это также относится к спектру σ( x ) элемента x алгебры с единицей 1, то есть набора комплексных чисел r, для которых x − r 1 не обратимо в A . Для единичных C*-алгебр эти два понятия связаны следующим образом: σ( x ) — это множество комплексных чисел f ( x ), где f пробегает пространство A. Гельфанда Вместе с формулой спектрального радиуса это показывает, что Â является подмножеством единичного шара A* и как таковое может быть задано относительной топологией слабого*. Это топология поточечной сходимости. Сеть f { f k } k элементов спектра A сходится к f тогда и только тогда, когда для каждого x в A сеть комплексных чисел { k ( x ) } k сходится к f ( x ).
Если А — сепарабельная С*-алгебра, то топология слабого* метризуема на ограниченных подмножествах. Таким образом, спектр сепарабельной коммутативной С*-алгебры А можно рассматривать как метрическое пространство. Таким образом, топологию можно охарактеризовать через сходимость последовательностей.
Эквивалентно, σ( x ) — это диапазон γ( x ), где γ — представление Гельфанда.
Формулировка коммутативной теоремы Гельфанда–Наймарка.
[ редактировать ]Пусть A — коммутативная C*-алгебра и X — спектр A . Позволять
— представление Гельфанда, определенное выше.
Теорема . Отображение Гельфанда γ является изометрическим *-изоморфизмом из на C0 ( A X ) .
См. ссылку на Арвесон ниже.
Спектр коммутативной C*-алгебры также можно рассматривать как множество всех максимальных идеалов m из A с топологией оболочки-ядра . (См. предыдущие замечания для общего случая коммутативной банаховой алгебры.) Для любого такого m факторалгебра A/m одномерна (по теореме Гельфанда-Мазура), и поэтому любое a в A порождает комплексную значимая функция на Y .
В случае С*-алгебр с единицей отображение спектра порождает контравариантный функтор из категории коммутативных С*-алгебр с единицей и сохраняющих единицу непрерывных *-гомоморфизмов в категорию компактов Хаусдорфа и непрерывных отображений. . Этот функтор представляет собой половину контравариантной эквивалентности между этими двумя категориями ( сопряженным к нему является функтор, сопоставляющий каждому бикомпакту X С*-алгебру ( C0 X ) ). частности, для данных бикомпактов X и Y C ( ) X изоморфна C ( Y C*-алгебра) тогда и только тогда, X гомеоморфно В Y. когда ) ( как
«Полная» теорема Гельфанда–Наймарка представляет собой результат для произвольных (абстрактных) некоммутативных C*-алгебр A , который, хотя и не совсем аналогичен представлению Гельфанда, но дает конкретное представление A как алгебры операторов.
Приложения
[ редактировать ]Одним из наиболее важных приложений является существование непрерывного функционального исчисления для нормальных элементов в C*-алгебре A : элемент x является нормальным тогда и только тогда, когда x коммутирует с сопряженным ему x* или, что то же самое, тогда и только тогда, когда он порождает коммутативная C*-алгебра C*( x ). В силу изоморфизма Гельфанда, примененного к С*( х ), оно *-изоморфно алгебре непрерывных функций на локально компактном пространстве. Это наблюдение почти сразу приводит к следующему:
Теорема . Пусть A — C*-алгебра с единицей и x — элемент A. нормальный Тогда существует *-морфизм f → f ( x ) из алгебры непрерывных функций спектра σ( x ) в A такой, что
- Он отображает 1 в мультипликативное тождество A ;
- Он отображает тождественную функцию спектра на x .
Это позволяет нам применять непрерывные функции к ограниченным нормальным операторам в гильбертовом пространстве.
Ссылки
[ редактировать ]- Арвесон, В. (1981). Приглашение к C*-алгебрам . Спрингер-Верлаг. ISBN 0-387-90176-0 .
- Бонсолл, ФФ; Дункан, Дж. (1973). Полные нормированные алгебры . Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 0-387-06386-2 .
- Конвей, Дж. Б. (1990). Курс функционального анализа . Тексты для аспирантов по математике. Том. 96. Спрингер Верлаг . ISBN 0-387-97245-5 .
- Винер, Н. (1932). «Тауберовы теоремы». Энн. математики . II. 33 (1). Анналы математики: 1–100. дои : 10.2307/1968102 . JSTOR 1968102 .