Jump to content

Представительство Гельфанда

(Перенаправлено из спектра Гельфанда )

В математике в представление Гельфанда функциональном анализе (по имени И. М. Гельфанда ) представляет собой одно из двух:

В первом случае представление Гельфанда можно рассматривать как далеко идущее обобщение преобразования Фурье интегрируемой функции. В последнем случае теорема о представлении Гельфанда-Наймарка является одним из направлений развития спектральной теории нормальных операторов и обобщает понятие диагонализации нормальной матрицы .

Исторические замечания

[ редактировать ]

Одно из оригинальных приложений Гельфанда (и исторически мотивировавшее большую часть изучения банаховых алгебр). [ нужна ссылка ] ) должен был дать гораздо более короткое и концептуальное доказательство знаменитой леммы Норберта Винера (см. цитату ниже), характеризующей элементы групповых алгебр L 1 ( Р ) и чьи трансляты охватывают плотные подпространства в соответствующих алгебрах.

Модельная алгебра

[ редактировать ]

Для любого локально компактного хаусдорфова пространства X пространство C0 топологического ( X ) непрерывных комплекснозначных функций на X , обращающихся в нуль на бесконечности, естественным образом является коммутативной C*-алгеброй:

  • Структура алгебры над комплексными числами получается путем рассмотрения поточечных операций сложения и умножения.
  • Инволюция представляет собой поточечное комплексное сопряжение.
  • Норма — это равномерная норма функций.

Важность X локальной компактности и Хаусдорфа состоит в том, что это превращает X в полностью регулярное пространство . В таком пространстве каждое замкнутое подмножество X является общим нулевым множеством семейства непрерывных комплекснозначных функций на X позволяет восстановить топологию X из C0 , что ( X ).

что C0 единицей ( X ) является тогда и только тогда, когда компактно , Обратите внимание , и в этом случае ( C0 X ) равно C ( X ), алгебре всех непрерывных комплекснозначных функций на X. X

Гельфандовское представление коммутативной банаховой алгебры

[ редактировать ]

Позволять — коммутативная банахова алгебра , определенная над полем комплексных чисел. Ненулевой гомоморфизм алгебры (мультипликативный линейный функционал) называется персонажем ; набор всех персонажей обозначается .

Можно показать, что каждый символ на автоматически непрерывен и, следовательно, это подмножество пространства непрерывных линейных функционалов на ; более того, при использовании относительной топологииweak-* , оказывается локально компактным и хаусдорфовым. (Это следует из теоремы Банаха–Алаоглу .) Пространство компактен (в только что определенной топологии), если [ нужна ссылка ] и только если алгебра имеет элемент идентичности.

Данный , определяется функция к . Определение и топология на нем гарантируют, что непрерывен и исчезает на бесконечности [ нужна ссылка ] , и что карта определяет уменьшающий норму и сохраняющий единицу гомоморфизм алгебры из к . Этот гомоморфизм является представлением Гельфанда , и преобразование Гельфанда элемента . В общем, представление не является ни инъективным, ни сюръективным.

В случае, когда имеет единичный элемент, существует биекция между и множество максимальных идеалов в (это основано на теореме Гельфанда–Мазура ). Как следствие, ядро ​​представления Гельфанда можно отождествить с Джекобсона радикалом . Таким образом, представление Гельфанда инъективно тогда и только тогда, когда полупрост (Якобсон) .

В случае, когда , групповая алгебра , затем гомеоморфен и преобразование Гельфанда это преобразование Фурье .

В случае, когда , не является сложенной группой, поэтому преобразование Гельфанда неприменимо, и поэтому неверно говорить, что преобразование Лапласа является преобразованием Гельфанда в этой алгебре. Однако это группа при умножении, в которой преобразование Гельфанда является преобразованием Меллина .

Случай C*-алгебры

[ редактировать ]

В качестве мотивации рассмотрим частный случай A = C 0 ( X ). Учитывая x в X , пусть быть поточечной оценкой в ​​точке x , т.е. . Затем является символом A , и можно показать, что все символы A имеют эту форму; более точный анализ показывает, что мы можем отождествлять Ф А с X не только как множества, но и как топологические пространства. Тогда представление Гельфанда является изоморфизмом

Спектр коммутативной C*-алгебры

[ редактировать ]

Спектр * -гомоморфизмов или пространство Гельфанда коммутативной C*-алгебры A , обозначаемой Â , состоит из множества ненулевых из A в комплексные числа. спектра называются символами на A. Элементы (Можно показать, что каждый гомоморфизм алгебры из A в комплексные числа автоматически является *-гомоморфизмом , так что это определение термина «характер» согласуется с приведенным выше.)

В частности, спектр коммутативной C*-алгебры представляет собой локально компактное хаусдорфово пространство: в единичном случае, т. е. когда C*-алгебра имеет мультипликативный единичный элемент 1, все характеры f должны быть единичными, т. е. f (1) это комплекс номер один. Это исключает нулевой гомоморфизм. Таким образом, Â замкнуто относительно слабой сходимости, и спектр на самом деле компактен . В неединичном случае слабое замыкание Â есть Â ∪ {0}, где 0 — нулевой гомоморфизм, а удаление одной точки из компакта дает локально компактное хаусдорфово пространство.

Обратите внимание, что спектр — это перегруженное слово. Это также относится к спектру σ( x ) элемента x алгебры с единицей 1, то есть набора комплексных чисел r, для которых x r 1 не обратимо в A . Для единичных C*-алгебр эти два понятия связаны следующим образом: σ( x ) — это множество комплексных чисел f ( x ), где f пробегает пространство A. Гельфанда Вместе с формулой спектрального радиуса это показывает, что Â является подмножеством единичного шара A* и как таковое может быть задано относительной топологией слабого*. Это топология поточечной сходимости. Сеть f { f k } k элементов спектра A сходится к f тогда и только тогда, когда для каждого x в A сеть комплексных чисел { k ( x ) } k сходится к f ( x ).

Если А сепарабельная С*-алгебра, то топология слабого* метризуема на ограниченных подмножествах. Таким образом, спектр сепарабельной коммутативной С*-алгебры А можно рассматривать как метрическое пространство. Таким образом, топологию можно охарактеризовать через сходимость последовательностей.

Эквивалентно, σ( x ) — это диапазон γ( x ), где γ — представление Гельфанда.

Формулировка коммутативной теоремы Гельфанда–Наймарка.

[ редактировать ]

Пусть A — коммутативная C*-алгебра и X — спектр A . Позволять

— представление Гельфанда, определенное выше.

Теорема . Отображение Гельфанда γ является изометрическим *-изоморфизмом из на C0 ( A X ) .

См. ссылку на Арвесон ниже.

Спектр коммутативной C*-алгебры также можно рассматривать как множество всех максимальных идеалов m из A с топологией оболочки-ядра . (См. предыдущие замечания для общего случая коммутативной банаховой алгебры.) Для любого такого m факторалгебра A/m одномерна (по теореме Гельфанда-Мазура), и поэтому любое a в A порождает комплексную значимая функция на Y .

В случае С*-алгебр с единицей отображение спектра порождает контравариантный функтор из категории коммутативных С*-алгебр с единицей и сохраняющих единицу непрерывных *-гомоморфизмов в категорию компактов Хаусдорфа и непрерывных отображений. . Этот функтор представляет собой половину контравариантной эквивалентности между этими двумя категориями ( сопряженным к нему является функтор, сопоставляющий каждому бикомпакту X С*-алгебру ( C0 X ) ). частности, для данных бикомпактов X и Y C ( ) X изоморфна C ( Y C*-алгебра) тогда и только тогда, X гомеоморфно В Y. когда ) ( как

«Полная» теорема Гельфанда–Наймарка представляет собой результат для произвольных (абстрактных) некоммутативных C*-алгебр A , который, хотя и не совсем аналогичен представлению Гельфанда, но дает конкретное представление A как алгебры операторов.

Приложения

[ редактировать ]

Одним из наиболее важных приложений является существование непрерывного функционального исчисления для нормальных элементов в C*-алгебре A : элемент x является нормальным тогда и только тогда, когда x коммутирует с сопряженным ему x* или, что то же самое, тогда и только тогда, когда он порождает коммутативная C*-алгебра C*( x ). В силу изоморфизма Гельфанда, примененного к С*( х ), оно *-изоморфно алгебре непрерывных функций на локально компактном пространстве. Это наблюдение почти сразу приводит к следующему:

Теорема . Пусть A — C*-алгебра с единицей и x — элемент A. нормальный Тогда существует *-морфизм f f ( x ) из алгебры непрерывных функций спектра σ( x ) в A такой, что

  • Он отображает 1 в мультипликативное тождество A ;
  • Он отображает тождественную функцию спектра на x .

Это позволяет нам применять непрерывные функции к ограниченным нормальным операторам в гильбертовом пространстве.

  • Арвесон, В. (1981). Приглашение к C*-алгебрам . Спрингер-Верлаг. ISBN  0-387-90176-0 .
  • Бонсолл, ФФ; Дункан, Дж. (1973). Полные нормированные алгебры . Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN  0-387-06386-2 .
  • Конвей, Дж. Б. (1990). Курс функционального анализа . Тексты для аспирантов по математике. Том. 96. Спрингер Верлаг . ISBN  0-387-97245-5 .
  • Винер, Н. (1932). «Тауберовы теоремы». Энн. математики . II. 33 (1). Анналы математики: 1–100. дои : 10.2307/1968102 . JSTOR   1968102 .
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: 20c9be82f918b2c71a2b3e7dcf5a2491__1707741600
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/20/91/20c9be82f918b2c71a2b3e7dcf5a2491.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Gelfand representation - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)