Спектр C*-алгебры

В математике спектр C*-алгебры или двойственной к C*-алгебре A , обозначаемый Â , представляет собой множество эквивалентности унитарных классов неприводимых -представлений A. * * -представление π группы A в гильбертовом пространстве H неприводимо A не существует замкнутого подпространства K, отличного от H и {0}, которое инвариантно относительно всех операторов π( x ) с x ∈ тогда и только тогда, когда . Мы неявно предполагаем, что неприводимое представление означает ненулевое неприводимое представление, тем самым исключая тривиальные (т. е. тождественно 0) представления в одномерных пространствах . Как поясняется ниже, спектр Â , естественно, также является топологическим пространством ; это похоже на понятие спектра кольца .

Одним из наиболее важных применений этой концепции является создание понятия двойственного объекта для любой локально компактной группы . Этот двойственный объект пригоден для формулировки преобразования Фурье и теоремы Планшереля для унимодулярных сепарабельных локально компактных групп типа I, а также теоремы о разложении для произвольных представлений сепарабельных локально компактных групп типа I. Полученная в результате теория двойственности для локально компактных групп, однако, очень сложна. слабее, чем теория двойственности Таннаки–Крейна для компактных топологических групп или двойственность Понтрягина для локально компактных абелевых групп, обе из которых являются полными инвариантами. То, что двойственный инвариант не является полным инвариантом, легко увидеть, поскольку двойственный элемент любой конечномерной полной матричной алгебры M _n ( C ) состоит из одной точки.

Примитивный спектр

Топологию способами Â . можно определить несколькими эквивалентными Сначала мы определим его в терминах примитивного спектра .

Примитивный спектр A — это набор примитивных идеалов Prim( A ) A , где примитивный идеал — это ядро ​​ненулевого неприводимого *-представления. Множество примитивных идеалов представляет собой топологическое пространство с топологией оболочки-ядра (или топологией Джекобсона ). Это определяется следующим образом: если X — набор примитивных идеалов, его замыкание оболочки-ядра есть

${\overline {X}}=\left\{\rho \in \operatorname {Prim} (A):\rho \supseteq \bigcap _{\pi \in X}\pi \right\}.$

Легко показать, что замыкание ядра ядра является идемпотентной операцией, т. е.

${\overline {\overline {X}}}={\overline {X}},$

и можно показать, что оно удовлетворяет аксиомам замыкания Куратовского . Как следствие, можно показать, что существует единственная топология τ на Prim( A ) такая, что замыкание множества X относительно τ идентично оболочечному замыканию X .

Поскольку унитарно эквивалентные представления имеют одно и то же ядро, отображение π ↦ ker(π) факторизуется через сюръективное отображение

$\operatorname {k} :{\hat {A}}\to \operatorname {Prim} (A).$

Мы используем карту k для определения топологии на Â следующим образом:

Определение . Открытые множества Â являются прообразами k ⁻¹ ( U ) открытых подмножеств U в Prim( A ). Это действительно топология.

Топология оболочка-ядро является для некоммутативных колец аналогом топологии Зарисского для коммутативных колец.

Топология на Â имеет другие характеристики в терминах состояний A. индуцированная из топологии оболочка-ядро , ,

Примеры

Коммутативные C*-алгебры

Трехмерная коммутативная C*-алгебра и ее идеалы. Каждый из 8 идеалов соответствует замкнутому подмножеству дискретного трехточечного пространства (или открытому дополнению). Примитивные идеалы соответствуют закрытым синглтонам . Подробности смотрите на странице описания изображения.

Спектр коммутативной С*-алгебры А совпадает с двойственным к А Гельфанду (не путать с двойственным А' к банаховому пространству А ). В частности, предположим, что X — компактное хаусдорфово пространство . Тогда существует естественный гомеоморфизм

$\operatorname {I} :X\cong \operatorname {Prim} (\operatorname {C} (X)).$

Это отображение определяется

$\operatorname {I} (x)=\{f\in \operatorname {C} (X):f(x)=0\}.$

I( x ) — замкнутый максимальный идеал в C( X ), поэтому он фактически примитивен. Подробности доказательства см. в ссылке Диксмье. Для коммутативной C*-алгебры

${\hat {A}}\cong \operatorname {Prim} (A).$

С*-алгебра ограниченных операторов

Пусть H — сепарабельное бесконечномерное гильбертово пространство . L ( H ) имеет два *-идеала, замкнутых по норме: I0 _{= {0}} и идеал K = K ( H ) компактных операторов. Таким образом, как множество Prim( L ( H )) = { I ₀ , K }. Сейчас

• { K } — замкнутое подмножество Prim( L ( H )).
• Замыкание { I ₀ } есть Prim( L ( H )).

Таким образом, Prim( L ( H )) — нехаусдорфово пространство.

С другой стороны, спектр L ( H ) намного шире. Существует множество неэквивалентных неприводимых представлений с ядром K ( H ) или с ядром {0}.

Конечномерные C*-алгебры

Предположим, что А — конечномерная С*-алгебра. Известно, что A изоморфна конечной прямой сумме полных матричных алгебр:

$A\cong \bigoplus _{e\in \operatorname {min} (A)}Ae,$

где min( A ) — минимальные центральные проекции A . Спектр A канонически изоморфен min( A ) с дискретной топологией . Для конечномерных С*-алгебр также имеет место изоморфизм

${\hat {A}}\cong \operatorname {Prim} (A).$

Другие характеристики спектра

Топологию оболочки-ядра легко описать абстрактно, но на практике для C*-алгебр, ассоциированных с локально компактными топологическими группами , желательны другие характеристики топологии на спектре в терминах положительно определенных функций.

Фактически топология на Â тесно связана с концепцией слабой вместимости представлений, как показывает следующее:

Теорема . Пусть S — подмножество Â . Тогда следующие утверждения эквивалентны для неприводимого представления π;

1. Класс эквивалентности π в Â находится в замыкании S
2. Каждое состояние, связанное с π, которое имеет одну из форм

$f_{\xi }(x)=\langle \xi \mid \pi (x)\xi \rangle$

с ||ξ|| = 1, является слабым пределом состояний, связанных с представлениями в S .

Второе условие в точности означает, что π слабо содержится в S .

Конструкция GNS это рецепт связывания состояний C*-алгебры A с представлениями A. — По одной из основных теорем, связанных с конструкцией GNS, состояние f является чистым тогда и только тогда, когда ассоциированное представление π _f неприводимо. Более того, отображение κ : PureState( A ) → Â , определенное равенством f ↦ π _f, является сюръективным отображением.

Из предыдущей теоремы легко доказать следующее;

Теорема. Отображение

$\kappa :\operatorname {PureState} (A)\to {\hat {A}}$

заданная ГНС конструкция непрерывна и открыта.

Пространство Irr _n ( A )

Существует еще одна характеристика топологии на В, которая возникает, если рассматривать пространство представлений как топологическое пространство с подходящей топологией поточечной сходимости. Точнее, пусть n — кардинальное число, а H _n — каноническое гильбертово пространство размерности n .

Irr _n ( A ) — пространство неприводимых *-представлений A на H _n с точечно-слабой топологией. С точки зрения сходимости сетей эта топология определяется соотношением π _i → π; тогда и только тогда, когда

$\langle \pi _{i}(x)\xi \mid \eta \rangle \to \langle \pi (x)\xi \mid \eta \rangle \quad \forall \xi ,\eta \in H_{n}\ x\in A.$

Оказывается, что эта топология на Irr _n ( A ) совпадает с точечно-сильной топологией, т.е. π _i → π тогда и только тогда, когда

$\pi _{i}(x)\xi \to \pi (x)\xi \quad {\mbox{ normwise }}\forall \xi \in H_{n}\ x\in A.$

Теорема . Пусть Â _n — подмножество Â , состоящее из классов эквивалентности представлений, базовое гильбертово пространство которых имеет размерность n . Каноническое отображение Irr _n ( A ) → Â _n непрерывно и открыто. В частности, Â _n можно рассматривать как фактор-топологическое пространство Irr _n ( A ) при унитарной эквивалентности.

Замечание . Соединение различных Â _n может быть довольно сложным.

Структура Макки – Бореля

 является топологическим пространством и поэтому его также можно рассматривать как борелевское пространство . Известная гипотеза Дж. Макки предположила, что сепарабельная локально компактная группа имеет тип I тогда и только тогда, когда борелевское пространство стандартно, т. е. изоморфно (в категории борелевских пространств) базовому борелевскому пространству полного сепарабельного метрического пространства. . Макки назвал борелевские пространства с этим свойством гладкими . Эта гипотеза была доказана Джеймсом Глиммом для сепарабельных C*-алгебр в статье 1961 года, указанной в ссылках ниже.

Определение . Невырожденное *-представление π сепарабельной C*-алгебры A является факторным представлением тогда и только тогда, когда центр алгебры фон Неймана, порожденный π( A ), одномерен. AC*-алгебра A имеет тип I тогда и только тогда, когда любое сепарабельное фактор-представление A является конечным или счетным кратным неприводимому.

Примерами сепарабельных локально компактных групп G таких, что C*( G ) имеет тип I, являются связные (вещественные) нильпотентные группы Ли и связные вещественные полупростые группы Ли. Таким образом, все группы Гейзенберга относятся к типу I. Компактные и абелевы группы также относятся к типу I.

Теорема . Если A сепарабельно, то Â является гладким тогда и только тогда, когда A имеет тип I.

Результат подразумевает далеко идущее обобщение структуры представлений IC*-алгебр сепарабельного типа и, соответственно, сепарабельных локально компактных групп типа I.

Алгебраические примитивные спектры

Смотрите также: Примитивный спектр

Поскольку С*-алгебра А является кольцом , мы можем рассмотреть также множество примитивных идеалов А , где А рассматривается алгебраически. Для кольца идеал примитивен тогда и только тогда, когда он является аннулятором модуля простого . Оказывается, для С*-алгебры А идеал алгебраически примитивен тогда и только тогда, когда он примитивен в определенном выше смысле.

Теорема . Пусть А — С*-алгебра. Любое алгебраически неприводимое представление A в комплексном векторном пространстве алгебраически эквивалентно топологически неприводимому *-представлению в гильбертовом пространстве. Топологически неприводимые *-представления в гильбертовом пространстве алгебраически изоморфны тогда и только тогда, когда они унитарно эквивалентны.

Это следствие теоремы 2.9.5 из ссылки Диксмье.

Если G — локально компактная группа, топология двойственного пространства групповой C*-алгебры C*( G ) группы G называется топологией Фелла , названной в честь Дж. М. Фелла .

Ссылки

• Дж. Диксмье, C*-алгебры , Северная Голландия, 1977 (перевод C*-алгебр и их представлений )
• Дж. Диксмье, С*-алгебры и их представления , Готье-Виллар, 1969.
• Дж. Глимм, IC*-алгебры типа , Annals of Mathematics, том 73, 1961.
• Дж. Макки, Теория представлений групп , Издательство Чикагского университета, 1955.