Полупростота

В математике полупростота — широко распространенное понятие в таких дисциплинах, как линейная алгебра , абстрактная алгебра , теория представлений , теория категорий и алгебраическая геометрия . Полупростой объект — это объект, который можно разложить на сумму простых объектов, а простые объекты — это те, которые не содержат нетривиальных собственных подобъектов. Точные определения этих слов зависят от контекста.

Например, если G — конечная группа , то нетривиальное конечномерное представление V над полем называется простым , если единственными подпредставлениями, которые оно содержит, являются либо {0}, либо V (их также называют неприводимыми представлениями ). Теперь теорема Машке утверждает, что любое конечномерное представление конечной группы является прямой суммой простых представлений (при условии, что характеристика основного поля не делит порядок группы). Таким образом, в случае конечных групп с этим условием каждое конечномерное представление является полупростым. Полупростота, особенно в алгебре и теории представлений, также называется полной сводимостью . Например, теорема Вейля о полной сводимости утверждает, что конечномерное представление полупростой компактной группы Ли является полупростым.

( Квадратная матрица другими словами, линейный оператор $T:V\to V$ где V — конечномерное векторное пространство) называется простым , если его единственными инвариантными линейными подпространствами относительно T являются {0} и V . Если поле алгебраически замкнуто (например, комплексные числа ), то единственные простые матрицы имеют размер 1 на 1. — Полупростая матрица это матрица, подобная прямой сумме простых матриц ; если поле алгебраически замкнуто, это то же самое, что быть диагонализуемым .

Эти понятия полупростоты можно унифицировать, используя язык полупростых модулей , и обобщить до полупростых категорий .

Вводный пример векторных пространств

Если рассматривать все векторные пространства (над полем , например действительными числами ), то простые векторные пространства — это те, которые не содержат собственных нетривиальных подпространств. Следовательно, одномерные векторные пространства являются простыми. Итак, основной результат линейной алгебры состоит в том, что любое конечномерное векторное пространство является прямой суммой простых векторных пространств; другими словами, все конечномерные векторные пространства полупросты.

Полупростые матрицы

или Квадратная матрица , что то же самое, линейный оператор T в конечномерном векторном пространстве V называется полупростой , если каждое T -инвариантное подпространство имеет дополнительное T -инвариантное подпространство. ^[1]^[2] Это эквивалентно тому, что полином T минимальный не содержит квадратов.

Для векторных пространств над алгебраически замкнутым полем F полупростота матрицы эквивалентна диагонализуемости . ^[1] Это связано с тем, что у такого оператора всегда есть собственный вектор; если он, кроме того, полупрост, то он имеет дополнительную инвариантную гиперплоскость , которая сама имеет собственный вектор и, следовательно, по индукции диагонализуема. И наоборот, диагонализуемые операторы легко увидеть полупростыми, поскольку инвариантные подпространства представляют собой прямые суммы собственных пространств, и любой собственный базис этого подпространства может быть расширен до собственного базиса полного пространства.

Полупростые модули и кольца

Для фиксированного кольца R нетривиальный R -модуль M отличных от 0 и M. называется простым, если он не имеет подмодулей , R прямым слагаемым R -модуль M полупрост , если каждый R -подмодуль M является . -модуля M (тривиальный модуль 0 полупрост, но не прост) Для R -модуля M . M полупрост тогда и только тогда, когда он является прямой суммой простых модулей (тривиальный модуль — это пустая прямая сумма) Наконец, R называется полупростым кольцом, если оно полупросто как R -модуль. Как оказывается, это эквивалентно требованию, чтобы любой конечно порожденный R -модуль M был полупростым. ^[3]

Примеры полупростых колец включают поля и, в более общем смысле, конечные прямые произведения полей. Для конечной группы G теорема Машке утверждает, что групповое кольцо R [ G ] над некоторым кольцом R полупросто тогда и только тогда, когда R полупросто и | г | обратима R. в Поскольку теория модулей R [ G ] совпадает с представлений G теорией на R -модулях, этот факт представляет собой важную дихотомию, обуславливающую модулярную теорию представлений , т. е. случай, когда | г | делит характеристику когда R | сложнее, чем случай, г | не делит характеристику, в частности, если R — поле нулевой характеристики.По теореме Артина–Веддерберна с единицей артиново кольцо R полупросто тогда и только тогда, когда оно (изоморфно) $M_{n_{1}}(D_{1})\times M_{n_{2}}(D_{2})\times \cdots \times M_{n_{r}}(D_{r})$ , где каждый $D_{i}$ является телом и $M_{n}(D)$ — кольцо матриц размером n × n в D. с элементами

Оператор T полупрост в указанном выше смысле тогда и только тогда, когда подалгебра $F[T]\subseteq \operatorname {End} _{F}(V)$ порожденный степенями (т.е. итерациями) T внутри кольца эндоморфизмов V , полупрост.

Как указано выше, теория полупростых колец гораздо проще, чем теория общих колец. Например, любая короткая точная последовательность

0\to M'\to M\to M''\to 0

модулей над полупростым кольцом должно расщепляться, т. е. $M\cong M'\oplus M''$ . С точки зрения гомологической алгебры это означает, что не существует нетривиальных расширений . Кольцо целых чисел Z не является полупростым: Z не является прямой суммой n Z и Z / n .

Полупростые категории

Многие из приведенных выше понятий полупростоты восстанавливаются с помощью понятия полупростой категории C . Вкратце, категория — это совокупность объектов и карт между такими объектами, причем идея состоит в том, что карты между объектами сохраняют некоторую структуру, присущую этим объектам. Например, R -модули и R -линейные отображения между ними образуют категорию для любого кольца R .

Абелева категория ^[4] C называется полупростым, если существует набор простых объектов. $X_{\alpha }\in C$ , т. е. те, у которых нет подобъектов, кроме нулевого объекта 0 и $X_{\alpha }$ такой, что любой объект X является прямой суммой (т. е. сопроизведением или, что то же самое, произведением) конечного числа простых объектов. следует Из леммы Шура , что кольцо эндоморфизмов

\operatorname {End} _{C}(X)=\operatorname {Hom} _{C}(X,X)

в полупростой категории есть произведение колец матриц над телами, т. е. полупросто.

Более того, кольцо R полупросто тогда и только тогда, когда категория конечно порожденных R -модулей полупроста.

Примером из теории Ходжа является категория поляризуемых чистых структур Ходжа , т. е. чистых структур Ходжа, снабженных подходящей положительно определенной билинейной формой . Наличие этой так называемой поляризации делает категорию поляризуемых структур Ходжа полупростой. ^[5]Другой пример из алгебраической геометрии — категория чистых мотивов гладких . проективных многообразий над полем k $\operatorname {Mot} (k)_{\sim }$ по модулю адекватного отношения эквивалентности $\sim$ . Как было предположено Гротендиком и показано Яннсеном , эта категория полупроста тогда и только тогда, когда отношение эквивалентности является числовой эквивалентностью . ^[6] Этот факт является концептуальным краеугольным камнем теории мотивов.

Полупростые абелевы категории также возникают в результате комбинации t -структуры и (соответственно связанной) весовой структуры в триангулированной категории . ^[7]

Полупростота в теории представлений

Можно задаться вопросом, является ли категория конечномерных представлений группы или алгебры Ли полупростой, т. е. каждое ли конечномерное представление разлагается в прямую сумму неприводимых представлений. Ответ, в общем, нет. Например, представление $\mathbb {R}$ данный

\Pi (x)={\begin{pmatrix}1&x\\0&1\end{pmatrix}}

не является прямой суммой неприводимых. ^[8] (Существует ровно одно нетривиальное инвариантное подпространство — оболочка первого базисного элемента, $e_{1}$ .) С другой стороны, если $G$ компактно , то любое конечномерное представление $\Pi$ из $G$ допускает внутренний продукт, относительно которого $\Pi$ унитарна, что показывает, что $\Pi$ распадается как сумма неприводимых. ^[9] Аналогично, если ${\mathfrak {g}}$ — комплексная полупростая алгебра Ли, каждое конечномерное представление ${\mathfrak {g}}$ представляет собой сумму неприводимых. ^[10] Первоначальное доказательство этого Вейля использовало унитарный трюк : каждое такое ${\mathfrak {g}}$ является комплексификацией алгебры Ли односвязной компактной группы Ли. $K$ . С $K$ односвязен, между конечномерными представлениями существует взаимно однозначное соответствие. $K$ и из ${\mathfrak {g}}$ . ^[11] Таким образом, применим только что упомянутый результат о представлениях компактных групп. Также можно доказать полупростоту представлений ${\mathfrak {g}}$ непосредственно алгебраическими средствами, как в разделе 10.3 книги Холла.

См. также: Категория Fusion (полупростая).

См. также

Полупростая алгебра Ли — это алгебра Ли, являющаяся прямой суммой простых алгебр Ли.
Полупростая алгебраическая группа — это линейная алгебраическая группа, радикал единичной компоненты которой тривиален.
Полупростая алгебра
Полупростое представление

Ссылки

^ Jump up to: ^а ^б Лам (2001), с. 39
^ Хоффман, Кеннет; Кунце, Рэй (1971). «Полупростые операторы». Линейная алгебра (2-е изд.). Prentice-Hall, Inc. Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси: ISBN 9780135367971 . МР 0276251 .
^ Лам, Цит-Юэн (2001). Первый курс некоммутативных колец . Дипломные тексты по математике. Том. 131 (2-е изд.). Спрингер. п. 27. ISBN 0-387-95183-0 . «(2.5) Теорема и определение»
^ В более общем плане то же определение полупростоты работает для псевдоабелевых аддитивных категорий . См., например, Ив Андре, Бруно Кан: Нильпотенция, корни и моноидальные структуры. С приложением Питера О'Салливана . Ренд. Сем. Мат. унив. Падова 108 (2002), 107–291. https://arxiv.org/abs/math/0203273 .
^ Питерс, Крис AM; Стинбринк, Джозеф Х.М. Смешанные структуры Ходжа . Результаты математики и ее пограничные области. 3-й эпизод. Серия современных обзоров по математике [Результаты по математике и смежным областям. 3-я серия. Серия современных обзоров по математике], 52. Springer-Verlag, Берлин, 2008. xiv+470 стр. ISBN 978-3-540-77015-2 ; см. следствие 2.12.
^ Уве Яннсен: Мотивы, числовая эквивалентность и полупростота , Invent. математика. 107, 447~452 (1992)
^ Бондарко, Михаил В. (2012), «Весовые структуры и «веса» в основе t -структур», Приложение гомологий гомотопии. , 14 (1): 239–261, doi : 10.4310/HHA.2012.v14.n1.a12 , Zbl 1251.18006
^ Холл 2015 г. Пример 4.25.
^ Холл, 2015 г. Теорема 4.28.
^ Холл, 2015 г., Теорема 10.9.
^ Холл, 2015 г. Теорема 5.6.

Холл, Брайан К. (2015), Группы Ли, алгебры Ли и представления: элементарное введение , Тексты для аспирантов по математике, том. 222 (2-е изд.), Спрингер

Внешние ссылки

[Lam-2001-p39-1] Jump up to: ^а ^б Лам (2001), с. 39

[2] Хоффман, Кеннет; Кунце, Рэй (1971). «Полупростые операторы». Линейная алгебра (2-е изд.). Prentice-Hall, Inc. Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси: ISBN 9780135367971 . МР 0276251 .

[3] Лам, Цит-Юэн (2001). Первый курс некоммутативных колец . Дипломные тексты по математике. Том. 131 (2-е изд.). Спрингер. п. 27. ISBN 0-387-95183-0 . «(2.5) Теорема и определение»

[4] В более общем плане то же определение полупростоты работает для псевдоабелевых аддитивных категорий . См., например, Ив Андре, Бруно Кан: Нильпотенция, корни и моноидальные структуры. С приложением Питера О'Салливана . Ренд. Сем. Мат. унив. Падова 108 (2002), 107–291. https://arxiv.org/abs/math/0203273 .

[5] Питерс, Крис AM; Стинбринк, Джозеф Х.М. Смешанные структуры Ходжа . Результаты математики и ее пограничные области. 3-й эпизод. Серия современных обзоров по математике [Результаты по математике и смежным областям. 3-я серия. Серия современных обзоров по математике], 52. Springer-Verlag, Берлин, 2008. xiv+470 стр. ISBN 978-3-540-77015-2 ; см. следствие 2.12.

[6] Уве Яннсен: Мотивы, числовая эквивалентность и полупростота , Invent. математика. 107, 447~452 (1992)

[7] Бондарко, Михаил В. (2012), «Весовые структуры и «веса» в основе t -структур», Приложение гомологий гомотопии. , 14 (1): 239–261, doi : 10.4310/HHA.2012.v14.n1.a12 , Zbl 1251.18006

[8] Холл 2015 г. Пример 4.25.

[9] Холл, 2015 г. Теорема 4.28.

[10] Холл, 2015 г., Теорема 10.9.

[11] Холл, 2015 г. Теорема 5.6.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]