Адекватное отношение эквивалентности

В алгебраической геометрии , разделе математики , адекватное отношение эквивалентности — это отношение эквивалентности на алгебраических циклах гладких проективных многообразий, используемое для получения хорошо работающей теории таких циклов и, в частности, четко определенных продуктов пересечений . Пьер Самуэль формализовал концепцию адекватного отношения эквивалентности в 1958 году. ^[1] С тех пор оно стало центральным в теории мотивов. Для каждого адекватного отношения эквивалентности можно определить категорию чистых мотивов по отношению к этому отношению.

Возможные (и полезные) адекватные отношения эквивалентности включают рациональную , алгебраическую , гомологическую и числовую эквивалентность . Они называются «адекватными», потому что деление по отношению эквивалентности является функториальным , т.е. прямое (с изменением коразмерности) и обратное циклов четко определено. модулю рациональной эквивалентности образуют классическую группу дивизоров Циклы коразмерности 1 по по модулю линейной эквивалентности. Все циклы по модулю рациональной эквивалентности образуют кольцо Чоу .

Определение

Пусть Z ^*( X ) := Z [ X ] — свободная абелева группа на алгебраических циклах X . Тогда адекватное отношение эквивалентности — это семейство отношений эквивалентности , ~ _X на Z ^*( X ), по одному для каждого гладкого проективного многообразия X , удовлетворяющего следующим трем условиям:

(Линейность) Отношение эквивалентности совместимо со сложением циклов.
( Перемещающаяся лемма ) Если $\alpha ,\beta \in Z^{*}(X)$ являются циклами на X , то существует цикл $\alpha '\in Z^{*}(X)$ такой, что $\alpha$ ~ _Х $\alpha '$ и $\alpha '$ пересекает $\beta$ правильно.
(Толкание вперед) Пусть $\alpha \in Z^{*}(X)$ и $\beta \in Z^{*}(X\times Y)$ быть такими циклами, что $\beta$ пересекает $\alpha \times Y$ правильно. Если $\alpha$ ~ _Х 0, тогда $(\pi _{Y})_{*}(\beta \cdot (\alpha \times Y))$ ~ _Y 0, где $\pi _{Y}:X\times Y\to Y$ это проекция.

Цикл продвижения вперед в последней аксиоме часто обозначается

\beta (\alpha ):=(\pi _{Y})_{*}(\beta \cdot (\alpha \times Y))

Если $\beta$ является графиком функции , то это сводится к продвижению функции вперед. Обобщения функций от X до Y до циклов на X × Y известны как соответствия . Последняя аксиома позволяет нам продвигать циклы вперед по соответствию.

Примеры отношений эквивалентности

Наиболее распространенные отношения эквивалентности, перечисленные от самого сильного к самому слабому, собраны в следующей таблице.

	определение	замечания
рациональная эквивалентность	Z ~ _rat Z' существует цикл V , если на X × P ¹ квартира над P ¹, такой, что [ V ∩ X × {0}] − [ V ∩ X × {∞}] = [ Z ] − [ Z' ].	тончайшее адекватное отношение эквивалентности (лемма 3.2.2.1 в книге Ива Андре ^[2]) «∩» обозначает пересечение в теоретико-цикловом смысле (т.е. с кратностями) и [ . ] обозначает цикл, связанный с подсхемой. см. также кольцо Чоу
алгебраическая эквивалентность	Z ~ _alg Z ′, если существуют кривая C и цикл V на X × C, плоские над C , такие, что [ V ∩ X × { c }] − [ V ∩ X × { d }] = [ Z ] − [ Z' ] для двух точек c и d на кривой.	Строго сильнее, чем гомологическая эквивалентность, измеряемая группой Гриффитса . См. также группу Нерона – Севери .
эквивалентность разбивающей нильпотентности	Z ~ _sn Z ′, если Z − Z ′ смэш-нильпотентно на X , то есть если $(Z-Z')^{\otimes n}$ ~ _крыса 0 на X ^н для n >> 0.	введен Воеводским в 1995 году. ^[3]
гомологическая эквивалентность	для заданных когомологий Вейля H , Z ~ _hom Z ′, если образы циклов при отображении классов циклов согласуются	априори зависит от выбора H , не предполагая стандартную гипотезу D
числовая эквивалентность	Z ~ _num Z ′, если deg( Z ∩ T ) = deg( Z ′ ∩ T ), где T — любой цикл такой, что dim T = codim Z (пересечение представляет собой линейную комбинацию точек, и мы добавляем кратности пересечения в каждой точка, чтобы получить степень.)	самое грубое отношение эквивалентности (упражнение 3.2.7.2 в книге Ива Андре ^[4])

Примечания

^ Самуэль, Пьер (1958), «Отношения эквивалентности в алгебраической геометрии» (PDF) , Proc. ICM , Кембриджский университет. Пресса: 470–487, заархивировано из оригинала (PDF) 22 июля 2017 г. , получено 22 июля 2015 г.
^ Андре, Ив (2004), Введение в паттерны (чистые паттерны, смешанные паттерны, периоды) , Панорамы и синтезы, том. 17, Париж: Математическое общество Франции, ISBN. 978-2-85629-164-1 , МР 2115000
^ Воеводский В. (1995), "Теорема о нильпотентности для циклов, алгебраически эквивалентных 0", Int. Математика. Рез. Уведомления , 4 : 1–12
^ Андре, Ив (2004), Введение в паттерны (чистые паттерны, смешанные паттерны, периоды) , Панорамы и синтезы, том. 17, Париж: Математическое общество Франции, ISBN. 978-2-85629-164-1 , МР 2115000

Ссылки

Клейман, Стивен Л. (1972), «Мотивы», в Оорте, Ф. (редактор), Алгебраическая геометрия, Осло, 1970 (Proc. Fifth Nordic Summer School in Math., Осло, 1970) , Гронинген: Wolters-Noordhoff , стр. 53–82, МР 0382267.
Яннсен, У. (2000), «Отношения эквивалентности на алгебраических циклах», Арифметика и геометрия алгебраических циклов, НАТО, 200 , Kluwer Ac. Опубл. Ко: 225–260

[1] Самуэль, Пьер (1958), «Отношения эквивалентности в алгебраической геометрии» (PDF) , Proc. ICM , Кембриджский университет. Пресса: 470–487, заархивировано из оригинала (PDF) 22 июля 2017 г. , получено 22 июля 2015 г.

[2] Андре, Ив (2004), Введение в паттерны (чистые паттерны, смешанные паттерны, периоды) , Панорамы и синтезы, том. 17, Париж: Математическое общество Франции, ISBN. 978-2-85629-164-1 , МР 2115000

[3] Воеводский В. (1995), "Теорема о нильпотентности для циклов, алгебраически эквивалентных 0", Int. Математика. Рез. Уведомления , 4 : 1–12

[4] Андре, Ив (2004), Введение в паттерны (чистые паттерны, смешанные паттерны, периоды) , Панорамы и синтезы, том. 17, Париж: Математическое общество Франции, ISBN. 978-2-85629-164-1 , МР 2115000

[1]

[2]

[3]

[4]